专题27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（原卷版+解析版）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

这是一份专题27.8 相似三角形的常见模型【八大题型】（原卷版+解析版）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版），文件包含专题278相似三角形的常见模型八大题型举一反三人教版解析版docx、专题278相似三角形的常见模型八大题型举一反三人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28027" 【题型1 A字型】 PAGEREF _Tc28027 \h 2
\l "_Tc27968" 【题型2 “8”字形】 PAGEREF _Tc27968 \h 6
\l "_Tc13487" 【题型3 AX字型】 PAGEREF _Tc13487 \h 12
\l "_Tc31320" 【题型4 子母型】 PAGEREF _Tc31320 \h 19
\l "_Tc17647" 【题型5 三角形内接矩形型】 PAGEREF _Tc17647 \h 26
\l "_Tc1063" 【题型6 双垂直型】 PAGEREF _Tc1063 \h 31
\l "_Tc21621" 【题型7 手拉手型】 PAGEREF _Tc21621 \h 35
\l "_Tc14553" 【题型8 一线三角型】 PAGEREF _Tc14553 \h 44
【基本模型】
①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．
②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；

③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．
【题型1 A字型】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________．
【答案】4.5
【详解】如图，设之间的距离为x米，
根据题意可得，，
∴
∴，，
∴，，
即，，
∴，
解得，经检验是所列方程的解，
∴，解得，
经检验是所列方程的解，
故路灯的高为4.5米．
故答案为：4.5．
【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
【答案】（1），；（2）t＝3或
【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．
【答案】甲同学
【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴
即
∴x＝
图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．
由勾股定理得：
AC＝
∵，
∴
设乙同学加工的桌面边长为ym，
∵DE∥AC
∴△BDE∽△BAC
∴
即
∴y＝
∵＞，即x＞y，x2＞y2
∴甲同学的加工方法更好．
【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足为F、E、G，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AF=4，BE=DG=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中，，
∴△BCE≌△CAF，
∴CF=BE=3，
∴AC==5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
∴，即，
解得：CD=，
∴BD==．
故选：A．
【基本模型】
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．

③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．
【题型2 “8”字形】
【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【详解】∵平行四边形ABCD
∴，AD=BC
∵E为边AD的中点
∴BC=2AE
∵
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，
则，
∴，
∵△AEF的面积为2
∴
故选C．
【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
【答案】C
【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．
∵，
∴EG∥BC，
∴∠G＝∠GBC，
∵∠GBC＝∠GBP，
∴∠G＝∠PBG，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG，
∵CQ＝EC，
∴EQ＝3CQ，
∵EG∥BC，
∴△EQG∽△CQB，
∴＝＝3，
∵BC＝6，
∴EG＝18，
∴EP+PB＝EG＝18，
故选：C．
【变式2-2】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长．
【答案】
【详解】解：如解图，补成矩形，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，
又∵在矩形中，，
∴，
∴，即，
解得．
∴．
【变式2-3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
【基本模型】
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX字型】
【例3】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
【变式3-1】（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，交于点．
①若，求的长；
②作，垂足为，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【详解】（1）∵是等边三角形
∴，
在中，
∴
∵点是线段的中点
∴
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
∴
∴四边形为平行四边形；
（2）①如图，连接，交于点
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴；
②如图，作，垂足为
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴．
【变式3-2】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．
【答案】； ．
【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，
∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
【变式3-3】（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．
（1）请你探究：，是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．
【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）
【详解】解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，

因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，
∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
AD＝B1D，

综上：这两个等式都成立；
（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：
如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
线段AD为其内角角平分线
∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴，
即对任意三角形结论仍然成立；
（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，
∵AD为△ABC的内角角平分线，
∴
∵DE∥AC，


∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

【基本模型】
如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当时，，则有．
【题型4 子母型】
【例4】（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在中，，，，，，则CD的长为______．
【答案】5
【详解】解：在CD上取点F，使，
，，
由，
，
，，
且，
，
，
∽，
，
，
，
又，
，
∽，
，
又，
，
或舍去，
经检验：符合题意，
．
故答案为：5．
【变式4-1】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．
【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2，故选：C
（2）是的角平分线，，
，
．
又，
与互为母子三角形．
（3）如图，当分别在线段上时，
与互为母子三角形，
，
，
是中线，
，
又，．
，
，
．
如图，当分别在射线上时，
与互为母子三角形，
，
，
是中线，
，
又，
．
，
，
．
综上所述，或3
【变式4-2】（2022·辽宁鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．
①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求的值．
【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②．
【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ACB.
又∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，即，
∴AD＝
①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠EAC＝90°.
又∵∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△ECA，
∴∠BAF＝∠CEA.
∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，
∴∠ABC＝∠EAP.
②如图，取CE的中点M，连接AM.
在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AME，
∴AM＝AB，
∴．
【变式4-3】（2022·北京市第一五六中学九年级期中）如图，中，点分别是的中点，与点．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2．
【详解】（1），，
在和中，，，，；
，
是等腰直角三角形，
，
由（1）可知，，
，
点E是AC的中点，
，
，
在和中，，
，
，
又，
，
；
（3）设，
是等腰直角三角形，
，
点分别是的中点，
，
在中，，
，
由（1）知，，
，即，解得，
在中，，
，
在和中，，，
，即，解得，
又，，解得，
，
则的面积为．
【基本模型】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。

结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【题型5 三角形内接矩形型】
【例5】（2022秋•南岗区校级月考）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=BC=3，
在Rt△ABM中，AM==4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE，
设MN=DE=x，
∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，∴，
解得：DG=﹣x+6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，即x=﹣x+6，
解得x=，
∴正方形DEFG的边长为；
（2）由题意得：DN=2DE，
由（1）知：，
∴DE=．
故答案为．
【变式5-1】（2022秋•道里区期末）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．
【答案】
【详解】解： ∵四边形EFGH是正方形
∴EH∥BC
∴△AEH∽△ABC
∴ ，即
解得：EH=
∴四边形EFGH的边长为
【变式5-2】（2022秋•八步区期中）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．
【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图
∵
∴
∵
∴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴，解得
设正方形的边长为x米，如图乙
∵DE∥AB
∴
∴，解得
∵
∴乙木匠的加工方法符合要求．
【变式5-3】（2022秋•渭滨区期末）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴，
同理在△ACQ和△APE中，，
∴；
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC
∴AD：AB=1：3，
∴AD=，DE=，
∵DE边上的高为，MN：GF=：，
∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，
由（1）得，
∴，
∴，
∵GF2=CF•BG
∴MN2=DM•EN．
【基本模型】
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．

【题型6 双垂直型】
【例6】（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将
两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADF＋∠FCB＝180°.
根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3，
∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，
∠DFE＝∠EFC＝90°，
∴∠FDE＝∠FEC，
∴△DEF∽△ECF，
∴eq \f(EF,CF)＝eq \f(DF,EF)，
∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，
∴EF＝eq \r(15).故选A.
【变式6-1】（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，
∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
故选：A．
【变式6-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【变式6-3】（2022秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【详解】证明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）点为的中点，
，
由（1）已证：，
，
设，则，，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
又，
，
即；
（3）由（2）已证：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，设，则，
，
解得或（不符题意，舍去），
，
则在中，．
【基本模型】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.
②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．

总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示，，则，，且．
【题型7 手拉手型】
【例7】（2022春•江阴市期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3B．4：3C．5：2D．2：3
【解答】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，ACAB=AEAD，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△ABD，
∴BDCE=ABAC，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3，
故选：A．
【变式7-1】（2022秋•岳阳县期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，∴，
由旋转的性质可得：，
∴△PBD为等边三角形，∴，
∴
在和中，
∴，∴
（2）过点作，如下图：
∵当α＝120°时，，∴，，∴
由勾股定理得
∴，∴
由旋转的性质可得：，
∴，
又∵，∴
又∵，
∴，∴，∴
∴
（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度
当在线段上时，如下图：
由题意可得：，∵α＝120°，∴
在中，，∴，
在中，，，∴
∴，
由（2）得
由旋转的性质可得：
设，则
由勾股定理可得：
即，解得，则
当在线段延长线上，如下图：
则，
由（2）得，，设，则
由勾股定理可得：
即，解得，则
综上所述：点D到CP的距离为或
【变式7-2】（2022秋•炎陵县期末）如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数及的长；
（3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）60°，12；（3）
【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ADC与△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
设AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，
∴∠DPB=∠DAB=60°；
如图①，在PE上取点F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，
∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG=x，AB=x，
∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
∴．
【变式7-3】（2022春•栖霞市期末）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为．
【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；
（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM−DN=BC．
故答案为：BM−DN=BC；
（3）MB：MC=3：1，
设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
设EF=a，则FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的长为．
【基本模型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

补充：其他常见的一线三等角图形

【题型8 一线三角型】
【例8】（2022秋•灌云县期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，即，解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【变式8-1】（2022•雨城区校级开学）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，
∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD ；
∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴，
∵△ABP∽△PCD
，
设，则，

∴
经检验：是原方程的解，
所以三角形的边长为：3．
【变式8-2】（2022秋•渝中区期末）如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵CD＝4，tan∠AEB，
∴BE＝3，
在Rt△ABE中，AE，
∵E是BC的中点，
∴AD＝6，
由折叠可知，PD＝PD'，
设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，
当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P＝90°时，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
②当∠APD'＝90°时，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或；
故选：B．
【变式8-3】（2022秋•椒江区校级月考）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【详解】（1）如图，由折叠得到，
，
．
又四边形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．
（2）如图，连接，
由（1）得，
，
由折叠得，，
．
四边形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．
，
，
（舍去）．
（3）如图，连结HE，
由已知可设，，可令，
①当点H在D点左边时，如图，同（2）可得，，
，
由折叠得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．
②当点在点右边时，如图，
同理得，
，同理可得，
可得，，
，
，
（舍去）．
．