人教A版 (2019)3.2 双曲线精品第二课时课后练习题

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
3.2.2 双曲线
思维导图
常见考法
考点一 双曲线的离心率
【例1】(2020·云南省下关第一中学高二月考)若实数数列：1，，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是( )
A．或B．或C．D．或10
【答案】A
【解析】由1，，81成等比数列有：，所以，
当时，方程为，表示焦点在y轴的椭圆，
其中，，故离心率；
当时，方程为，表示焦点在x轴的双曲线，
其中，，故离心率,故选择A.
常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．
【举一反三】
1．(2020·江苏南京)在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为( )
A．2B．4C．D．
【答案】A
【解析】双曲线C：的一条渐近线为，则，解得，.故选：A.
2．(2020·贵州省思南中学高二期末(理))已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，，，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意作图如下：
设.
∵
∴
∵由双曲线焦半径公式知，
∴
∴故选C.
3．(2020·全国)已知，为双曲线的焦点，为与双由线的交点，且有，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理得，，
又由得，所以.
故选：C
4．(2020·沙坪坝.重庆八中高二月考)若双曲线(，)的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线经过点，
点在直线上，
．
则该双曲线的离心率为.
故选：．
考点二 直线与双曲线的位置关系
【例2】已知双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点．
【答案】见解析
【解析】①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点．当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq \f(5,2).
综上可知，当k＝eq \f(5,2)或k＝±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点．
【举一反三】
1．(2018·福建高二期末(理))若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，
化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知
即解得＜k＜－1.
答案：D.
2．(2020·天水市第一中学高二月考(理))直线：与双曲线：的右支交于不同的两点，则斜率的取值范围是()
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由 可得， ，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以， 解得 ，所以斜率的取值范围是，故选C.
3．(2020·四川资阳)直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则实数k的值为
A．－1或1B．－1
C．1D．1，－1，0
【答案】A
【解析】因为直线l：kx－y－2k＝0过定点(2,0),而直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，所以直线l：kx－y－2k＝0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为－1或1，选A.
4．(2020·宁波市北仑中学高一期中)过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为( )
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【解析】设，
当直线与轴垂直时，，满足题意
当直线与轴不垂直时，设直线：，
联立直线与双曲线方程得：，整理得：，
所以， ，又
=，解得：，
综上：满足这样的直线l的条数为3条
考点三 弦长
【例3】(2019·全国高三课时练习)过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．
直线AB的方程为．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.
∴，.
∴
(2)直线AB的方程变形为.
∴原点O到直线AB的距离为.
∴.
【举一反三】
1．(2020·全国)已知直线y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为( )
A．±B．±或±
C．±D．±
【答案】B
【解析】由直线与双曲线交于两点，得，将代入得，则，即.
设，，则，.
∴
∴或.故选B.
2．(2018·全国高二课时练习)求双曲线被直线截得的弦长 .
【答案】
【解析】由，得，即． (*)
设方程(*)的解为，，则有，，
故．
3．(2020·邢台市第八中学高二期末)已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)因为双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点，所以解得，所以双曲线的方程为
(2)双曲线的右焦点为
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为．
联立得.
设，则.
所以.
4．(2020·宾县第二中学高二期末(文))已知曲线及直线．
(1)若与左支交于两个不同的交点，求实数的取值范围；
(2)若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值．
【答案】(1)；(2)或
【解析】(1)由消去，得．
∵与左支交于两个不同的交点
∴且
∴的取值范围为
(2)设，由(1)得．
又过点，∴．
∴，即．
∴或．
考点四 点差法
【例4】(1)(2020·黑龙江南岗)已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．3
(2)(2020·河南南阳.高二其他(文))直线经过且与双曲线交于，两点，如果点是线段的中点，那么直线的方程为( )
A．B．
C．D．不存在
(3)(2019·黑龙江大庆四中高二月考(理))已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则
A．B．C．D．
【答案】(1)B(2)A(3)A
【解析】(1)设、，则，，
所以，所以，
又弦中点坐标为，所以，，又，
所以，即，所以双曲线的离心率.
故选：B.
(2)当斜率不存在时，显然不符合题意；
当斜率存在时，设，，
因为点是线段的中点，所以，，
代入双曲线方程得，两式相减得，
则，又直线过点P，所以直线方程为，
联立，得到，经检验，方程有解，
所以直线满足题意.故选：A
(3)设直线l的方程为，代入双曲线方程
得到，得到
设，则
则，故，故选A．
【举一反三】
1．(2020·青海西宁)已知倾斜角为的直线与双曲线C：(，)相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：(，)相交于A，B两点，
所以直线的斜率，
设，
则①
②
由①②得
则
因为是弦的中点，
因为直线的斜率为1
即
所以
，
则，
故选：D
2．(2020·湖北武汉)已知分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点异于)，则直线的斜率之比( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知得双曲线，，．
故，，．
设直线，且，，，．
由消去整理得，
，
两式相比得①，
②，
将①代入②得：上式．
故．
故选：B．
3．(2019·会泽县第一中学校高二月考(理))点 平分双曲线 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________．
【答案】
【解析】设弦的两端点分别为的中点是 把代入双曲线 得 ，
∴
∴这条弦所在的直线方程是
故答案为．