专题：平面直角坐标系

专题：平面直角坐标系

一．面直角坐标系中的图形面积

　类型一　直接利用面积公式求图形的面积

1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是(　　)

A．2  B．4  C．8  D．6

第1题图　第2题图

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．

类型二　利用分割法求图形的面积

3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．

4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】

(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；

(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？

(3)求多边形ABCDEF的面积．

类型三　利用补形法求图形的面积

5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】

(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；

(2)求出此三角形的面积．

类型四　与图形面积相关的点的存在性问题

6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.

(1)求点B的坐标；

(2)求三角形ABC的面积；

(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二．平面直角坐标系中的变化规律

类型一　沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究

1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．

2．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．

类型二　绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究

3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有(　　)

A．10个  B．20个

C．40个  D．80个

第3题图　　第4题图

4．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为(　　)

A．(－6，24)  B．(－6，25)

C．(－5，24)  D．(－5，25)

类型三　图形变化中的点的坐标探究

5．

如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是(　　)

A．(16＋4π，0)  B．(14＋4π，2)

C．(14＋3π，2)  D．(12＋3π，0)

6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．

(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；

(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点An的坐标是__________，点Bn的坐标是__________．

参考答案与解析

一

1．B　2.

3．11　解析：过点B作BD⊥x轴于D.∵A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，∴OC＝2，BD＝4，OD＝3，OA＝4，∴AD＝OA－OD＝1，则S四边形ABCO＝S梯形OCBD＋S三角形ABD＝×(4＋2)×3＋×1×4＝9＋2＝11.

4．解：(1)A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)．

(2)线段BC平行于x轴(或线段BC垂直于y轴)，线段CE垂直于x轴(或线段CE平行于y轴)．

(3)S多边形ABCDEF＝S三角形ABF＋S长方形BCEF＋S三角形CDE＝×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.

5．解：(1)A(3，3)，B(－2，－2)，C(4，－3)．

(2)如图，分别过点A，B，C作坐标轴的平行线，交点分别为D，E，F.S三角形ABC＝S正方形DECF－S三角形BEC－S三角形ADB－S三角形AFC＝6×6－×6×1－×5×5－×6×1＝.

6．解：(1)点B在点A的右边时，－1＋3＝2，点B在点A的左边时，－1－3＝－4，所以点B的坐标为(2，0)或(－4，0)．

(2)S三角形ABC＝×3×4＝6.

(3)存在这样的点P.设点P到x轴的距离为h，则×3h＝10，解得h＝.点P在y轴正半轴时，P，点P在y轴负半轴时，P，综上所述，点P的坐标为或.

二

1．(2016，0)　解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．

2．(672，1)　解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．

3．C　解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶点外的整点个数如下表所示：

可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.

4．B　解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.

5．C

6．(1)(16，3)　(32，0)　(2)(2n，3)　(2n＋1，0)

解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点An的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点Bn的坐标为(2n＋1，0)．