专题:勾股定理
展开专题:勾股定理
1.思想方法
类型一 分类讨论思想
一、直角边与斜边不明需分类讨论
1.一直角三角形的三边长分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为( )
A.13 B.5 C.13或5 D.4
2.直角三角形的两边长是6和8,则这个三角形的面积是____________.
二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论
3.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则BC的长为( )
A.10 B.8 C.6或10 D.8或10
4.在等腰△ABC中,已知AB=AC=5,△ABC的面积为10,则BC=____________类型二 方程思想
一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长
5.如图,小华将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为________.
二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长
6.如图,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上.若AB=6,BC=9,求BF的长
三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长
7.如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
类型三 利用转化思想求最值
8.一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点,那么它的最短路线的长是________cm.
9.如图,A,B两个村在河CD的同侧,且AB=km,A,B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km.现要在河边CD上建一水厂分别向A,B两村输送自来水,铺设水管的工程费每千米需3000元.请你在河岸CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用W(元)
2.股定理与面积问题
类型一 三角形中利用面积法求高
1.直角三角形的两条直角边的长分别为5cm,12cm,则斜边上的高线的长为( )
A.cm B.13cm C.cm D.cm
2.点A、B、C在格点图中的位置如图所示,格点小正方形的边长为1,则点C到线段AB所在直线的距离是________.
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=12cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.48cm2 B.24cm2 C.16cm2 D.11cm2
4.若一个直角三角形的面积为6cm2,斜边长为5cm,则该直角三角形的周长是( )
A.7cm B.10cm
C.(5+)cm D.12cm
5.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
类型三 巧妙利用割补法求面积
6.如图,已知AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形ABCD的面积.
7.如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2,求四边形ABCD的面积.
类型四 利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
8.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为9cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为________cm2.
9.在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话,其中就有勾股定理的最早文字记录,即“勾三股四弦五”,亦被称作商高定理.如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图②是将图①放入长方形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,则D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上,那么长方形KLMJ的面积为________.