第30讲 变功率及机车启动模型（解析版）

第30讲 变功率及机车启动模型

（多选）1．（2022·广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　）

A．从M到N，小车牵引力大小为40N 

B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J 

C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J 

D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J

【解答】解：AB、在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，则小车的牵引力等于小车受到的摩擦力，因此

从M到N过程中，小车摩擦力做功为Wf＝﹣40×20J＝﹣800J，即小车克服摩擦力做功800J，故AB正确；

C、从P到Q的过程中，根据功能关系可知，重力势能的增加量为ΔEp＝mgΔh＝50×10×20×sin30°J＝5000J，故C错误；

D、在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶，则

代入数据解得：f2＝35N

则此过程中，小车摩擦力做功为Wf2＝f2s＝﹣35×20J＝﹣700J，即小车克服摩擦力做功为700J，故D正确；

故选：ABD。

1．（2021·湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（　　）

A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变 

B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动 

C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm 

D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2﹣Pt

【解答】解：A、若动车组做匀加速启动，则加速度不变，而速度增大，则阻力也增大，要使合力不变则牵引力也将增大，故A错误；

B、若动车组输出功率均为额定值，则其加速a，随着速度增大，加速度减小，所以动车组做加速度减小的加速运动，故B错误；

C、当动车组的速度增大到最大vm时，其加速度为零，则有：，若总功率变为2.25P，则同样有：，联立两式可得：vm′，故C正确；

D、对动车组根据动能定理有：4Pt﹣Wf，所以克服阻力做的功Wf＝4Pt，故D错误。

故选：C。

一.知识回顾

1.平均功率的计算方法

(1)利用＝。

(2)利用＝F·cosθ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。

2．瞬时功率的计算方法

利用公式P＝F·vcosθ，其中v为该时刻的瞬时速度。

3.求力做功的功率时应注意的问题

(1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。求平均功率首选＝，其次是用＝F·cosα，应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率。

(2)求瞬时功率用P＝Fvcosα，要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。

4.两种启动方式的比较

5．三个重要关系式

(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。

(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。

二.例题精析

题型一：常规题

例1．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0时刻开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝t1时刻F的功率和时间t1内的平均功率分别为（　　）

A．， B．t1，t1 

C．t1， D．t1，

【解答】解：由牛顿第二定律可以得到，

  F＝ma，所以a

t1时刻的速度为v＝att1，

t1内通过的位移为x

所以t1时刻F的功率为P＝Fv＝F•t1

做的总功为W＝Fx

平均功率为

故选：C。

题型二：机车启动

例2．下列各图是反映汽车（额定功率为P额）从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其加速度、牵引力、功率随速度变化的图像和速度—时间图像，其中不正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：ABC、汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得：F0﹣f＝ma，可知牵引力在匀加速阶段保持不变，由公式P＝F0v，可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速度的增大而增大，当P＝P额时，功率保持不变，设此时的速度为v1，则有，之后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力F＝f时，加速度为零，故A错误，BC正确；

D、汽车先匀加速度直线运动，且由分析知，匀加速结束的速度为，之后做加速度减小的加速运动，最后汽车速度达到最大，为，之后汽车做匀速直线运动，故D正确。

本题选择不正确的，

故选：A。

三.举一反三，巩固练习

1. 质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：当汽车以最大速度行驶时，牵引力与阻力大小相等，所以有f，

当汽车的车速为时，牵引力大小为

根据牛顿第二定律有F﹣f＝ma

解得a，故ABC错误，D正确；

故选：D。

2. 一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图所示。若汽车的质量为1.2×103kg，阻力恒定，汽车的最大功率恒定，则以下说法正确的是（　　）

A．汽车的最大功率为5×104W 

B．汽车匀加速运动阶段的加速度为（m/s2） 

C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动 

D．汽车从静止开始运动12s内位移是60m

【解答】解：ABC、由图可知，汽车在前4s内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，4﹣12s内汽车的牵引力逐渐减小，则车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到车的速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在4s末汽车的功率达到最大值；

汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力：f＝2×103N

前4s内汽车的牵引力为：F＝5×103N

由牛顿第二定律：F﹣f＝ma

可得：a＝2.5m/s2

4s末汽车的速度：v1＝at1＝2.5×4m/s＝10m/s

所以汽车的最大功率：P＝Fv1＝5×103×10W＝5×104W，故A正确，BC错误；

D、汽车在前4s内的位移：

汽车的最大速度为

汽车在4﹣12s内的位移设为x2，根据动能定理可得：

代入数据可得：x2＝42.5m

所以汽车的总位移：x＝x1+x2＝20m+42.5m＝62.5m。故D错误。

故选：A。

3. （多选）国家十三五规划中提出实施新能源汽车推广计划，提高电动车产业化水平。某款电动概念车质量为m，在一段平直公路上由静止匀加速启动，加速度大小为a，经时间t达到额定功率。若汽车运动过程中阻力恒为f，则下列说法中正确的是（　　）

A．牵引力做的功为 

B．牵引力做的功为 

C．该汽车的额定功率为fat 

D．该汽车的额定功率为（ma+f）at

【解答】解：AB、假定匀加速运动阶段的牵引力大小为F，则根据牛顿运动定律得F﹣f＝ma

则有＝ma+f

则期间牵引力做功为W＝Fl，故A正确，B错误；

CD、依题意，达到额定功率时的汽车的速率大小为v＝at

则汽车额定功率大小为P＝Fv（ma+f）at，故C错误，D正确。

故选：AD。

4. 如图所示是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车由静止开始沿平直公路行驶，其质量为2×103kg，所受阻力恒定，且最大车速为30m/s，则以下说法正确的是（　　）

A．汽车的额定功率为6×103W 

B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103N 

C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动 

D．汽车做匀加速运动的时间是5s

【解答】解：AB、当速度为30m/s时，牵引车的速度达到最大，做匀速直线运动，此时F＝f，所以f＝2×103N．牵引车的额定功率P＝fv＝2×103×30W＝6×104W，故AB错误。

C、匀加速直线运动的加速度am/s2＝2m/s2，

匀加速直线运动的末速度m/s＝10m/s，则匀加速运动的时间ts＝5s．因为15m/s＞10m/s，所以汽车速度为15m/s时，功率已达到额定功率，后面通过减小牵引力来增加速度，所以以后做加速度越来越小的加速运动。故C错误，D正确。

故选：D。

5. 一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示，已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）

A．汽车在前5s内的加速度为2m/s2 

B．汽车在前5s内的牵引力为4×103N 

C．汽车的额定功率为50kW 

D．汽车的最大速度为15m/s

【解答】解：A、由题图可知，前5s内汽车做匀加速直线运动，根据v﹣t可知其加速度为，故A正确；

B、对车进行受力分析有F﹣f＝ma，f＝0.1mg

带入数据解得F＝6×103N

故B错误；

C、根据汽车恒定加速度启动规律可知，当匀加速直线运动阶段的结束就是汽车达到额定功率，此时有P额＝Fv1＝6×103×10W＝60000W＝60kW

故C错误；

D、当汽车的加速度为零时其达到最大速度，即此时牵引力等于阻力，有P额＝fvmax

代入数据解得vmax＝30m/s

故D错误。

故选：A。

6. 一辆新能源汽车在平直的公路上由静止开始启动，在启动过程中，汽车牵引力的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力恒为重力的，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　）

A．该汽车的质量为2.0×103kg 

B．在前5s内，汽车前进位移大小为25m 

C．整个过程中汽车的牵引力大小保持不变 

D．在前5s内，汽车牵引力做功为3.75×104J

【解答】解：A、设汽车的质量为m，汽车受到的阻力为

由图可知，该汽车在0～5s内做匀加速直线运动，加速度大小为am/s2＝1m/s2

牵引力F的功率为P＝Fv＝Fat

代入数据解得：F＝3000N

由牛顿第二定律可得：

解得：m＝1.0×103kg，故A错误；

B、在前5s内，汽车做初速度为零的匀加速直线运动，前进的位移大小为：m＝12.5m，故B错误；

C、前5s内汽车做匀加速直线运动，牵引力保持不变，5～15s时间内汽车牵引力功率保持不变，汽车的速度逐渐增加，由牵引力的功率P＝Fv可知，在5～15s时间内汽车牵引力不断减小，故C错误；

D、在前5s内，汽车牵引力保持不变，牵引力做功为：W＝Fx＝3000×12.5J＝3.75×104J，故D正确。

故选：D。

7. 2022年3月以来，上海新一轮疫情爆发，驻马店一爱心组织迅速筹集一批生活援助物资发往上海。一装载援助物资的汽车启动过程的加速度a随位移x变化的图像，如图所示。已知汽车（含援助物资）的质量为m，在距离出发点x1处达到额定功率P，汽车所受阻力恒为f，则该汽车从距离出发点x1处到速度增至最大所用的时间为（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：汽车从出发到x1处做匀加速直线运动，根据v2＝2a0x1

汽车匀加速阶段的最大速度v'

所以该汽车从距离出发点x1处到速度增至最大的过程中根据动能定理有：Pt﹣f（x2﹣x1）

联立解得：t

故ABD错误，C正确；

故选：C。

8.  “能源危机”是人类社会面临的重大问题，开发“绿色能源”是解决“能源危机”的重要途径。如图所示为育才中学科技小组刘某呈同学制作的新能源“汽车”——“太阳能驱动小车”。当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流流经电动机，于是电动机带动小车前进。若小车质量为m，在平直的路面上由静止开始沿直线加速行驶，经过一段时间速度达到最大值vm，此加速过程所用时间为t，电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，则这段时间内（　　）

A．小车做匀加速运动 

B．小车受到的牵引力逐渐增大 

C．小车受到的合外力所做的功为Pt 

D．小车从静止开始到达到最大速度vm，小车前进的距离为

【解答】解：AB、对小车利用牛顿第二定律有F牵﹣F＝ma，根据P＝F牵v可知在功率恒定时，v增大，则牵引力F牵减小；由题意可知阻力F恒定，故小车的加速度变小，故AB错误；

C、小车的功率指的是牵引力的功率，故牵引力所做的功为W＝Pt，即Pt不是合外力的功率，故C错误；

D、在小车运动过程，利用动能定理，有Pt﹣Fxmvm2，整理可得小车前进的位移为x，故D正确；

故选：D。

9. 复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F保持不变。列车在整个过程中，下列说法正确的是（　　）

A．做匀加速直线运动 

B．牵引力的功率P＝Fvm 

C．当动车速度为时，其加速度为 

D．牵引力做功等于mv02

【解答】解：B、复兴号动车做的是以初速度为v0恒定功率运动，功率始终保持不变，并且P额＝F牵v，随着速度的增加，牵引力逐渐减小，当达到最大速度时候，动车处于平衡状态，此时牵引力等于阻力F，所以此时的功率为Fvm，故B正确

A、随着速度的逐渐增加，牵引力逐渐减小，所以动车做的是加速度逐渐减小的加速运动，故A错误；

C、当动车速度为时，根据P＝F′，解得F′＝3F，根据牛顿第二定律可得：F′﹣F＝ma，解得加速度为a，故C错误；

D、根据动能定理可以得知W牵﹣WFmvm2mv02，故D错误；

故选：B。

10. 如图所示为某品牌的电动车，质量为60kg，电动车行驶时所受阻力大小为车和人总重力的0.05倍。一质量为40kg的人骑着该电动车在水平地面上由静止开始以额定功率行驶，5s内行驶了15m，速度达到5m/s。已知重力加速度为g＝10m/s2.该电动车以额定功率行驶能达到的最大速度为（　　）

A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s

【解答】解：设5s内电动车位移为x，额定功率为p，由动能定理：pt﹣fx，其中f＝0.05（M+m）g＝50N，解得p＝400W，达到最大速度时F＝f，由p＝fvm，得vmm/s＝8m/s，故D正确，ABC错误；

故选：D。

11. 如图所示为高速磁悬浮列车在水平长直轨道上的模拟运行图，5节质量均为m的车厢编组运行，只有1号车厢为动力车厢。列车由静止开始以额定功率P运行，经过一段时间达到最大速度。列车向右运动过程中，1号车厢会受到前方空气的阻力，假设车厢碰到空气前空气的速度为0，碰到空气后空气的速度立刻与列车速度相同，已知空气密度为ρ，1号车厢的超风面积（垂直运动方向上的投影面积）为S。不计其他阻力，忽略2号、3号、4号、5号车厢受到的空气阻力。当列车以额定功率运行到速度为最大速度的一半时，3号车厢对4号车厢的作用力大小为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：设动车的速度为v，动车对空气的作用力为F，根据动量定律可得：Ft＝ρvtSv﹣0，解得F＝ρSv2

当牵引力等于阻力时，速度达到最大，则P＝Fvm，解得，当速度达到最大速度一半时，此时速度为，此时受到的牵引力，解得，此时受到的阻力，对整体根据牛顿第二定律F牵﹣f＝5ma

对45号车厢，根据牛顿第二定律可得：F′＝2ma

联立解得：，故A正确，BCD错误

故选：A。