第1讲 追及与相遇模型（原卷版）

第1讲 追及与相遇模型

（多选）1．（2021•海南）甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间（x﹣t）图像和速度—时间（v﹣t）图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是（　　）

A． B． 

C． D．

（多选）2．（2021•广东）赛龙舟是端午节的传统活动。下列v﹣t和s﹣t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐的有（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2019•全国）甲、乙两车在一条平直公路上同向行驶，t＝0时甲车在乙车前方4m处，它们的位置x随时间t变化的关系如图所示。已知乙车做初速度不为零的匀加速运动。下列说法正确的是（　　）

A．甲车的速度为6m/s 

B．乙车的加速度为2m/s2 

C．t＝0时乙车的速度为2m/s 

D．t＝2s时甲、乙两车的速度相等

4．（2019•浙江）甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移﹣时间图象如图所示，则在0～t1时间内（　　）

A．甲的速度总比乙大 B．甲、乙位移相同 

C．甲经过的路程比乙小 D．甲、乙均做加速运动

一.知识总结

1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系

(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。

2．追及相遇问题的两种典型情况

(1)速度小者追速度大者

(2)速度大者追速度小者

3.追及相遇问题的解题思路及技巧

(1)解题思路

(2)解题技巧

①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。

②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。

③若被追的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。

④紧紧抓住速度相等这个临界点。

⑤遇到此类选择题时，图像法往往是最便捷的解法。

二.例题精讲

例1． A、B两车沿同一直线向同一方向运动，A车的速度vA＝4m/s，B车的速度vB＝10m/s。当B车运动至A车前方L＝7m处时，B车刹车并以a＝﹣2m/s2的加速度开始做匀减速直线运动。求：

（1）从该时刻开始计时，A车追上B车需要的时间；

（2）在A车追上B车之前，二者之间的最大距离。

例2． 2022年北京冬奥会开幕式又一次让中国惊艳世界，其中“五环破冰”寓意打破隔阂，大家融为一体，向世界展示了中国人的浪漫。设定“五环”均为半径r＝3m的圆环（厚度忽略不计），上三环的下边缘与下两环圆心在同一水平面上。整个过程可简化为如图所示物理模型：初始时，“五环”位于同一竖直面内，恰藏于“冰”中置于水平地面上，“冰”上下表面均水平，其中上三环上边缘与“冰”上表面齐平，下两环下边缘与“冰”下表面齐平。现使“五环”和“冰”同时以大小相等的加速度a＝0.30m/s2分别竖直向上、向下做匀加速直线运动，速度达到某同一值后均匀速运动，各自快到达终点时分别以加速度a＝0.30m/s2做匀减速直线运动直至静止，最终“五环”用时43s上升12.6m，悬挂在空中，“冰”上表面恰好与水平地面融为一体。求：

（1）“五环”运动过程中的速度最大值；

（2）“五环破冰”（从开始运动到两者分离）所用时间。

例3．如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图中A、B两车相距L＝20m时，B车正以vB＝10m/s的速度匀速行驶，A车正以vA＝15m/s的速度借道超车，此时A司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来，其速度为vC＝8m/s，C车和B车之间相距d＝54m，现在A车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B与C相遇之前超过B车，不考虑变道过程的时间和速度的变化，且三辆车都可视为质点，则：

（1）若无C车，求A超车所需时间；

（2）若A车选择放弃超车，回到B车所在车道，则A至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免与B车相撞；

（3）若A车选择加速超车

①求A车能够安全超车的加速度范围；

②若A车身长6m，不考虑变道过程的时间和速度变化，求A车能够安全超车的加速度范围。

例4．某天大雾弥漫，能见度很低，甲、乙两辆汽车同向行驶在同一平直公路上，甲车在前，乙车在后，甲车的速度v1＝15m/s，乙车的速度v2＝25m/s，当乙车行驶到距甲车s＝60m时，驾驶员发现了前方的甲车，设两车驾驶员的反应时间均为Δt＝0.5s.

（1）若乙车的驾驶员发现甲车后经反应时间Δt后立即刹车做匀减速运动，加速度大小a1＝2m/s2，当乙车速度与甲车速度相同时（两车末相撞），求乙车在该过程发生的位移大小；

（2）若乙车的驾驶员发现甲车后经反应时间Δt后，仅采取鸣笛警告措施，甲车驾驶员听到呜笛后经反应时间Δt后立即做匀加速运动，为了防止相撞，求甲车加速运动的最小加速度的大小a2（声音的传播时间忽略不计）.

三.举一反三，巩固练习

1．如图所示，图甲为质点a和b做直线运动的x﹣t图像，图乙为质点c和d做直线运动的v﹣t图像，由图可知（　　）

A．t1到t2时间内，b和d两个质点的运动方向均发生了改变 

B．t1到t2时间内，b和d两个质点的速度均一直减小 

C．若t1时刻a、b两质点第一次相遇，则t2时刻a、b两质点第二次相遇 

D．若t1时刻c、d两质点第一次相遇，则t2时刻c、d两质点第二次相遇

2．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v0＝8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经t1＝2.5s警车发动起来，以加速度a＝2m/s2做匀加速直线运动，再经时间t2追上货车，追上前两车的最大距离是s，则（　　）

A．t2＝10s，s＝36m B．t2＝4s，s＝36m 

C．t2＝10s，s＝16m D．t2＝4s，s＝16m

3．同向运动的甲、乙两质点在某时刻恰好通过同一路标，以此时为计时起点，此后甲质点的速度随时间的变化关系为v＝6+4t（m/s），乙质点位移随时间的变化关系为x＝2t+4t2（m），下列说法正确的是（　　）

A．之后两质点不会相遇 

B．两质点之后会相遇两次 

C．相遇之前，t＝1s时两质点相距最远 

D．相遇之前两质点间的最大距离为4m

4．一步行者以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距公共汽车25m处时，绿灯亮了，公共汽车以1.0m/s2的加速度匀加速启动前进，则（　　）

A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36m 

B．人不能追上公共汽车，人、公共汽车最近距离为7m 

C．人能追上公共汽车，追上公共汽车前人共跑了43m 

D．人不能追上公共汽车，且公共汽车开动后，人、公共汽车距离越来越远

5．随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重。雾和霾相同之处都是视程障碍物，会使有效水平能见度减小从而带来行车安全隐患。在一大雾天，一辆小汽车以30m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v﹣t图像（忽略刹车反应时间），以下说法正确的是（　　）

A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追尾事故 

B．在t＝3s时发生追尾事故 

C．在t＝5s时发生追尾事故 

D．若紧急刹车时两车相距40米，则不会发生追尾事故且两车最近时相距10米

（多选）6．某人驾驶一辆汽车甲正在平直的公路上以某一速度匀速运动，突然发现前方50m处停着一辆乙车，甲车司机立即刹车，甲车刹车后做匀减速直线运动。已知甲车刹车后第1个2s内的位移是24m，第4个2s内的位移是1m。则下列说法正确的是（　　）

A．汽车甲刹车后第3个2s内的位移为8m 

B．汽车甲刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为m/s2 

C．汽车甲刹车后第4s末的速度大小为6m/s 

D．汽车甲可能与乙车相撞

（多选）7．在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移x（m）随时间t（s）变化的规律为：汽车为x＝10tt2，自行车为x＝6t，则下列说法正确的是（　　）

A．汽车作匀减速直线运动，自行车作匀加速直线运动 

B．经过路标时自行车的速度小于汽车的速度 

C．经过路标后到再次相遇前自行车与汽车之间的最大距离为24m 

D．当自行车与汽车再次相遇时，它们距路标96m

8．如图在一条平直的道路上有三个红绿灯A、B、C，其中AB间距L2＝450m，BC间距L3＝120m。三个灯都是绿灯持续10s，红灯持续20s，假设红绿灯切换不需要时间。有可视为质点的甲、乙两个车行驶在路上依次经过A、B、C，两车加速时加速度大小均为a1＝2.5m/s2，减速时加速度大小均为a2＝5m/s2。当乙车以v0＝10m/s走到A处时，甲车以同样速度v0走到距离A处L1＝40m的地方，此时A显示绿灯还有3s，B显示红灯还剩1s，C显示红灯还有18s。当甲、乙两车不能够匀速通过红绿灯时，就会匀减速运动至刚好停到红绿灯处；绿灯亮起，甲、乙两车马上从静止做匀加速直线运动，加速到v0保持匀速直线。求：

（1）甲车从A前40m的地方运动到A所需要的时间；

（2）甲、乙两车在AB之间的最大距离；

（3）甲、乙两车通过A、B、C之后的最近距离。

9．驾车打盹极其危险。某轿车在平直公路上以大小v1＝30m/s的速度匀速行驶，轿车司机老王疲劳驾驶开始打盹时，轿车与前方正以大小v2＝18m/s的速度匀速行驶的大货车间的距离L＝100m。若老王打盹的时间t1＝6s，醒来时发现险情紧急刹车，从老王醒来到轿车开始减速行驶所用的时间t0＝1s，轿车减速行驶过程，视为匀减速运动，加速度的大小为6m/s2。请通过计算判断轿车是否会撞上货车。若会撞上，求出相撞的时间，若不会相撞，求出两车的最小距离。