专题10 天体运动（原卷版）

专题10 天体运动 目录 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc28184" 题型一 开普勒定律的应用  PAGEREF _Toc28184 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc13250" 题型二 万有引力定律的理解  PAGEREF _Toc13250 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc31331" 类型1 万有引力定律的理解和简单计算  PAGEREF _Toc31331 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc1745" 类型2 不同天体表面引力的比较与计算  PAGEREF _Toc1745 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2824" 类型3 重力和万有引力的关系  PAGEREF _Toc2824 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc25233" 类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算  PAGEREF _Toc25233 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc19803" 题型三 天体质量和密度的计算  PAGEREF _Toc19803 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc7937" 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度  PAGEREF _Toc7937 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc368" 类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度  PAGEREF _Toc368 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc27564" 类型3 利用椭圆轨道求质量与密度  PAGEREF _Toc27564 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc29006" 题型四 卫星运行参量的分析  PAGEREF _Toc29006 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc26780" 类型1　卫星运行参量与轨道半径的关系  PAGEREF _Toc26780 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc10882" 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较  PAGEREF _Toc10882 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc27664" 类型3 宇宙速度  PAGEREF _Toc27664 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc21909" 题型五 卫星的变轨和对接问题  PAGEREF _Toc21909 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc682" 类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较  PAGEREF _Toc682 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc8693" 类型2 卫星的对接问题  PAGEREF _Toc8693 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc26150" 题型六 天体的“追及”问题  PAGEREF _Toc26150 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc12872" 题型七 星球稳定自转的临界问题  PAGEREF _Toc12872 \h 25  HYPERLINK \l "_Toc18158" 题型八 双星或多星模型  PAGEREF _Toc18158 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc5196" 类型1 双星问题  PAGEREF _Toc5196 \h 27  HYPERLINK \l "_Toc26356" 类型2 三星问题  PAGEREF _Toc26356 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc26791" 类型4 四星问题  PAGEREF _Toc26791 \h 31  题型一 开普勒定律的应用 【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理． 2.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 【例1】(2022·山东潍坊市模拟)中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为(　　) A．365天 B．400天 C．670天 D．800天 【例2】(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　) A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4) B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 【例3】(2021·全国甲卷，18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　) A．6×105 m B．6×106 m C．6×107 m D．6×108 m 题型二 万有引力定律的理解 【解题指导】1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：Geq \f(m地m,R2)＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：Geq \f(m地m,R2)＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力Geq \f(m地m,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(Gm地m,R2)＝mg。 2．星球上空的重力加速度g′ 星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝eq \f(Gm地m,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(Gm地,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。 类型1 万有引力定律的理解和简单计算 【例1】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　) 【例2】(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有(　　) A．月球和地球的质量 B．引力常量G和月球公转周期 C. 地球半径和“月—地”中心距离 D．月球公转周期和地球表面重力加速度g 类型2 不同天体表面引力的比较与计算 【例1】(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　) A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1 【例2】 (2020·全国Ⅰ卷，15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　) A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5 类型3 重力和万有引力的关系 【例1】(多选)如表格中列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上地点纬度的增大，该处的重力加速度增大．已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，是形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有(　　) A.地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差 B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大 C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大 D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大 【例2】(多选)如图，某次发射火箭的过程中，当火箭距地面的高度恰好为地球半径的3倍时，火箭的加速度为a，方向竖直向上，火箭内有一电子台秤，物体在该台秤上显示的示数为发射前在地面上静止时示数的一半．已知地球的第一宇宙速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A．距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为地球表面重力加速度的eq \f(1,16) B．地球表面的重力加速度约为16a C．地球的半径为R＝eq \f(7v2,16a) D．地球的质量为M＝eq \f(9v4,16aG) 【例3】．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为(　　) A.eq \f(4π2,g1T2) B.eq \f(4π2,g2T2) C.eq \f(g2－g1T2,4π2) D.eq \f(g1＋g2T2,4π2) 类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 【例1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　) A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2 【例2】(2022·河南洛阳名校联考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　) A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \f(R－d2,R＋h2) C.eq \f(R－dR＋h2,R3) D.eq \f(R－dR＋h,R2) 题型三 天体质量和密度的计算 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 【例1】2020年7月23日，我国首个独立火星探测器“天问一号”在文昌航天发射场成功升空并进入预定轨道，已于今年5月15日成功着陆火星表面，对我国持续推进深空探测、提升国家软实力和国际影响力具有重要意义．已知火星半径为R且质量分布均匀，火星两极表面的重力加速度大小为g，火星赤道表面重力加速度大小为ng(n<1)，引力常量为G.则下列说法正确的是(　　) A．在火星赤道上质量为m的探测器，它对火星表面的压力大小为mg B．火星的平均密度为eq \f(3g,4πGR) C．探测器在近火轨道上的绕行速度为eq \r(ngR) D．火星的自转周期为2πeq \r(\f(R,ng)) 【例2】嫦娥四号是我国探月工程二期发射的月球探测器，也是人类第一个着陆月球背面的探测器．嫦娥四号于2018年12月12日完成近月制动被月球捕获．若探测器近月环绕周期为T，探测器降落到月球表面后，从距月球表面高度为h处由静止释放一物体，测出物体落到月球表面的时间为t，已知月球半径为R，引力常量为G，将月球视为质量均匀分布的球体，通过以上物理量可求得月球的平均密度为(　　) A.eq \f(h,2πGRt2) B.eq \f(πGRt2,6h) C.eq \f(3π,GT) D.eq \f(3h,2πGRt2) 类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 【例1】(2021·5月贵阳模拟)2021年2月10日19时52分，“天问一号”探测器成功进入环绕火星的轨道，开启了我国首次火星探测之旅。假定探测器贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动，经时间t，探测器运动的弧长为s，探测器与火星中心连线扫过的圆心角为θ，已知引力常量为G，t小于探测器绕火星运行的周期，不考虑火星自转的影响，根据以上数据可计算出(　　) A．探测器的环绕周期为eq \f(πt,2θ) B．火星的质量为eq \f(s2,Gt2θ) C．火星表面的重力加速度大小为eq \f(sθ,t2) D．火星的第一宇宙速度大小为eq \f(3θ2,4Gt2) 【例2】中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、近月制动、环月飞行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是(　　) A．“龙江二号”的质量 B．“龙江二号”的线速度大小 C．月球的质量 D．月球表面的重力加速度大小 【例3】(多选)(2021·湖南衡阳市联考)2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载“嫦娥五号”探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，“嫦娥五号”进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，“嫦娥五号”返回器携带月壤着陆地球。假设“嫦娥五号”环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响)，测出飞行周期T，已知万有引力常量G和月球半径R。则下列说法正确的是(　　) A．“嫦娥五号”绕月球飞行的线速度为eq \f(2π（R＋h）,T) B．月球的质量为eq \f(4π2（R＋h）2,GT2) C．月球的第一宇宙速度为eq \f(2π（R＋h）,T)eq \r(\f(R＋h,R)) D．月球表面的重力加速度为eq \f(4π2（R＋h）2,R2T2) 类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 【例1】(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 【例2】(多选)(2022·山东济南市模拟)2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，探测器顺利进入近火点高度约400千米，周期约10个地球日的环火椭圆轨道，轨道如图所示，“天问一号”成为我国第一颗人造火星卫星。已知火星的直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，自转周期约为一个地球日，关于火星和天问一号，下列说法正确的是(　　) A．天问一号在近火点的速度比远火点速度大 B．天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度大 C．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度 D．根据以上信息可以估算出火星的密度 【例3】（2022·安徽高三开学考试）2020年1月24目4时30分，在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送人预定轨道，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨到近月圆轨道。如图所示、两点分别为椭圆环月轨道Ⅰ的远月点和近月点，近月圆轨道Ⅱ与椭圆环月轨道Ⅰ在B点相切。若只考虑嫦蛾五号和月球之间的相互作用，则关于嫦娥五号的运行情况，下列说法正确的是（　　） A．在轨道Ⅰ上运行经过A点时的速率大于B点时的速率 B．在轨道Ⅰ上运行到B点的速度小于在轨道Ⅱ上运动到B点的速度 C．在轨道Ⅰ上运行到B点时的加速度大于在轨道Ⅱ上运行到B点时的加速度 D．若已知引力常量G和卫星在轨道Ⅱ上运动的周期T，则可以推知月球的平均密度 题型四 卫星运行参量的分析 类型1　卫星运行参量与轨道半径的关系 1．天体(卫星)运行问题分析 将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． 2．物理量随轨道半径变化的规律 Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3))) 即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢) 3．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h. 4．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关． 【例1】(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　) A．轨道周长之比为2∶3 B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2) C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3) D．向心加速度大小之比为9∶4 【例2】(多选)(2020·江苏卷·7改编)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有(　　) A．由v＝eq \r(gr)可知，甲的速度是乙的eq \r(2)倍 B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍 C．由F＝Geq \f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4) D．由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍 【例3】2021年6月17日我国神舟十二号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的“天和”核心舱交会对接，航天员将进驻“天和”核心舱．交会对接后神舟十二号飞船与“天和”核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是(　　) A．组合体的环绕速度大于神舟十二号飞船的环绕速度 B．组合体的环绕周期大于神舟十二号飞船的环绕周期 C．组合体的向心加速度大于神舟十二号飞船的向心加速度 D．组合体所需的向心力大于神舟十二号飞船所需的向心力 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3. 【例1】如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T。则(　　) A．卫星b也是地球同步卫星 B．卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍 C．卫星c的周期为eq \r(\f(1,k3))T D．a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为 va＝vb＝eq \r(k)vc 【例2】(2022·山东枣庄八中月考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有(　　) A．c在4个小时内转过的圆心角是eq \f(π,3) B．a的向心加速度等于重力加速度g C．线速度大小关系为va>vb>vc>vd D．d的运动周期有可能是20小时 【例3】（2022·云南省师大附中高三上学期12月月考）“北斗来了不迷路”，从跟跑到并跑，随着中国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗、也就是第55颗组网卫星2020年6月23日成功发射，中国北斗卫星导航系统终于来到了和世界其他系统并肩前行的位置。北斗卫星导航系统空间段由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗傾斜地球同步轨道卫星。其中中地球轨道卫星离地高度约2.1万千米，静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星离地高度均约为3.6万千米。以下说法正确的是（　　） A. 倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星线速度相同 B. 地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中地球轨道卫星线速度要大 C. 中地球轨道卫星的运行周期小于地球自转周期 D. 静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星的发射速度一定要超过7.9km/s，中地球轨道卫星的发射速度可以小于7.9km/s 类型3 宇宙速度 1．第一宇宙速度的推导 方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)，得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得 v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min. 2．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动． (2)7.9 km/sv1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1r1＝r3角速度ω1>ω2＝ω3线速度v1>v2>v3向心加速度a1>a2>a3