高中物理人教版 (2019)必修 第二册3 向心加速度教学设计

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做曲线运动的物体速度一定是变化的，因此做曲线运动的物体，一定有加速度，圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何确定呢？

——这就是我们今天要研究的课题。

回忆做曲线运动的物体速度一定是变化的，因此一定存在加速度。

为引出本节课题做圆周运动的物体，加速度的大小和方向做铺垫。

讲授新课

一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向

1．向心加速度的方向：总是指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。

物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。

物体做匀速圆周运动时，合力的方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，物体运动的加速度方向与它所受合力的方向相同，即：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心。

2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

3．向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响。

注意：无论an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动

思考讨论1：变速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？

做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：

一是向心加速度；

二是切向加速度，切向加速度改变速度的大小。因此一般情况下，物体做圆周运动的加速度方向不一定指向圆心。

思考讨论2：匀速圆周运动的加速度和向心加速度有什么关系？匀速圆周运动是否为匀变速运动？

匀速圆周运动的加速度和向心加速度含义相同。由于匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，其大小不变，但方向时刻在改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动。

思考讨论3：向心加速度与合加速度之间有什么关系？

对于匀速圆周运动而言，物体的加速度即为向心加速度，因此其方向一定指向圆心；物体做变速圆周运动时，合加速度必有一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度。对于非匀速圆周运动，沿切线方向的加速度改变线速度的大小。

4．向心加速度的物理意义

思考讨论：向心加速度是从哪个角度描述速度变化快慢的？说明理由？

因为向心加速度的方向总指向圆心，与速度方向垂直，所以向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量，向心加速度大，即速度方向改变得快。

二、向心加速度的大小

1．向心加速度表达式

思考讨论：由向心力的表达式，你能推导出向心加速度表达式吗？

由向心力：Fn=m或Fn=mrω2

根据牛顿第二定律F＝ma，得

an=或an=rω2

注意：向心加速度的公式适用于任何圆周运动。

2．向心加速度的各种表达式

由匀速圆周运动向心加速度的基本公式，结合各物理量间的关系，你能推导出匀速圆周运动向心加速度的几种表达形式？

由an=rω2   an=    v=ωr

ω=2π/T=2πf=2πn得

an=vω    an=（）2r    an=（2πf）2r

an=（2πn）2r

思考与讨论：从公式an＝v2/r看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an＝ω2r看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。

自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释。

B、C两点在同一轮上，同轴传动时，这两点的角速度相同，由公式

an＝ω2r知ω一定时，向心加速度与半径成正比。

A、B两点在同一个链条上，两点的线速度大小相同，由an＝v2/r知v一定时，向心加速度与半径成反比。

【例题】如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少？

通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。

分析由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度ω与夹角θ之间的关系。

解：根据对小球的受力分析，可得小球的向心力Fn＝mgtanθ

根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度：

an＝Fn/m＝gtanθ（1）

根据几何关系可知小球做圆周运动的半径

r＝lsinθ（2）

把向心加速度公式an＝ω2r和（2）式代入（1）式，可得cosθ＝g/lω2

从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。

拓展学习推导向心加速度公式

用运动学的方法求做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向与大小。

1．向心加速度的方向

（1）一物体沿着圆周运动，在A、B两点的速度分别为vA、vB，画出物体经过A、B两点时的速度方向。

（2）平移vA至B点，根据矢量运算法则，做出物体由A点到B点的速度变化量Δv。

由于物体做匀速圆周运动，vA、vB的大小相等，所以，Δv与vA、vB构成等腰三角形。

（3）假设由A点到B点的时间逐渐减小直到极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A点到B点的距离将非常小，作出此时的Δv。

Δv逐渐趋向于平行OA

A点到B点的时间极短时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。

2．向心加速度的大小

推导向心加速度公式

由图可知，当Δt足够小时，vA、vB的夹角θ就足够小，θ角所对的弦和弧的长度就近似相等。因此，θ＝v\Δv，在Δt时间内，速度方向变化的角度θ＝ωΔt。由此可以求得：

Δv＝vωΔt

将此式代入加速度定义式a＝Δv\Δt，并把v＝ωr代入，可以导出向心加速度大小的表达式为

an＝ω2r

上式也可以写成an＝v2/r

它与根据牛顿第二定律得到的结果是一致的。

课堂练习

1．质量相等的A、B两质点分别做匀速圆周运动，若在相等的时间内通过的弧长之比为2：3，而转过角度之比为3：2，则A、B两质点周期之比为——————，向心加速度之比为——————。

答案：2：3；1：1

2．一物体在水平面内沿半径R=20cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s，那么，它的向心加速度为0.2m/s2，它的角速度为_______rad/s，它的周期为_______s。

答案：1；2π

3．关于向心加速度的说法正确的是（　　）

A．向心加速度越大，物体速率变化越快

B．向心加速度的大小与轨道半径成反比

C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

答案：C

4．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，则它们（　　）

A．线速度大小之比为3：4

B．角速度大小之比为3：4

C．圆周运动的半径之比为8：9

D．向心加速度大小之比为1：2

答案：C

5．转笔是一项深受广大中学生喜爱的休闲活动，其中也包含了许多的物理知识。假设某同学将笔套套在笔杆的一端，在转笔时让笔杆绕其手指上的某一点O在竖直平面内做匀速圆周运动，则下列叙述中正确的是（　　）

A．笔套做圆周运动的向心力是由笔杆对其的摩擦力提供的

B．笔杆上离O点越近的点，做圆周运动的向心加速度越大

C．当笔杆快速转动时笔套有可能被甩走

D．由于匀速转动，笔套受到的摩擦力大小不变

答案：C

拓展提高

1．两架飞机在空中沿水平面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路径之比为2：3，运动方向改变的角度之比为4：3．它们的向心加速度之比为多少（　　）

A．2：3

B．8：9

C．2：1

D．1：2

答案：B

2．如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑。则A、B、C三点的角速度大小之比，线速度大小之比，向心加速度大小之比分别为（　　）

A．ωA：ωB：ωC=1：3：3

B．vA：vB：vC=3：3：1

C．aA：aB：aC=3：6：1

D．aA：aB：aC=1：9：3

答案：B

3．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　）

A．因为向心加速度大小不变，故是匀变速运动

B．由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动

C．用线系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，线断后。物体受到离心力作用，而背离圆心运动

D．向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力

答案：B

观察图片说出向心加速度的方向。

学生思考讨论

学生思考讨论问题2

学生思考讨论问题3

思考讨论向心加速度的物理意义

学生由向心力的表达式推导出向心加速度表达式

推导出向心加速度的各种表达式。

学生思考与讨论

在教师的引导下分析计算

学生阅读课文

理解用运动学的方法求做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向与大小。

学生练习

理解向心加速度的方向。

理解做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，切向加速度改变速度的大小。

理解匀速圆周运动加速度和向心加速度相同，方向时刻在改变

理解向心加速度与合加速度之间的关系。

理解向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。

锻炼学生的推导能力

锻炼学生的逻辑思维能力。

理解公式

an＝v2/r和

an＝ω2r的含义。

锻炼学生的分析计算能力

锻炼学生的自主学习能力，体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。

巩固本节知识

课堂小结

1．做匀速圆周运动的物体，其向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，匀速圆周运动为变加速曲线运动。

2．向心加速度只改变做圆周运动的物体的速度方向，而切向加速度改变做圆周运动的物体的速度大小。

an=  an=rω2

an=（）2r  an=（2πf）2r

3．向心加速度意义：描述速度方向变化的快慢的物理量。

梳理自己本节所学知识进行交流

根据学生表述，查漏补缺，并有针对性地进行讲解补充。

板书

一、匀速圆周运动的向心加速度及其方向

1．方向：总指向圆心，方向时刻改变，方向总是与速度方向垂直。

2．向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

3．物理意义：向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量。

二、向心加速度的大小

an=   an=rω2

an=（）2r  an=（2πf）2r