数学（宁波卷）-学易金卷：2023年中考第二次模拟考试卷

2023年中考数学第二次模拟考试卷（宁波卷）

数学·参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．．

12．（3x﹣2）（3x+2）．

13.．

14．1．

15．①③④．

16．2．

三、解答题（本大题共8小题，共80分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）解：（1）2a（a+b）﹣（a+b）2＝2a2+2ab﹣（a2+2ab+b2），

＝2a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2，

＝a2﹣b2，

（2），

由①得：x＞﹣5，

由②得：x≤3，

在数轴上表示：

，

则不等式组的解集为：﹣5＜x≤3，

18．（8分）解：（1）如图：CD即为所求；

（2）如图：BE即为所求；在线段AC上截取AE＝，则EC＝5﹣＝，

∵△ABE与△CBE面积比即为AE：EC＝3：7．

（3）如图：点F即为所求．CT⊥AB，AF⊥BC，∠B是公共角，所以∠BAF＝∠TCB，

又因为∠ACB＝2∠TCB，所以∠ACB＝2∠BAF．

【点睛】本题考查了作图﹣应用和设计作图，熟悉网格中的垂直作图规则是解题的关键．

19．（8分）解：（1）把点A（a，3）代入y2＝3x得；3＝3a，

解得a＝1，即点A（1，3），

又∵点A（1，3）在y函数图象上，

∴3＝，解得k＝3，

∴y．

当x＜1时，y1＜0或y1＞3．

（2）当x＝b﹣1，代入y2＝3x得，

∴y2＝3b﹣3，

则点B（b﹣1，3b﹣3），

又∵点B在y函数图象上，

∴k＝3（b﹣1）2，

∵﹣3＜b≤﹣2，

∴27≤k＜48．

20．（10分）解：（1）被抽查的400名学生中2020年初视力正常（类别A）的人数为400﹣148﹣91﹣48＝113（人）；

（2）2020年视力正常的人数所占的比例为×100%＝28.25%，

∴2021年初该市八年级学生2万中视力正常的人数比2020年初增加了20000×（31.25%﹣28.25%）＝600（人）；

（3）该市八年级学生2021年初视力不良率为1﹣31.25%＝68.75%＜69%，

∴该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求．

21．（10分）解：（1）BD⊥DE，

理由：连接BD，

∵EC＝36cm，DE＝50cm，

∴CD＝DE﹣EC＝14cm，

∵BC＝50cm，BD＝48cm，

∴CD2+BD2＝142+482＝2500，BC2＝502＝2500，

∴CD2+BD2＝BC2，

∴△BCD是直角三角形，

∴∠BDC＝90°，

∴BD⊥DE；

（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，

∵BC＝AB＝50cm，

∴AC＝AB+BC＝100（cm），

∵CF＝AC，

∴CF＝×100＝20（cm），

在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，

∴FH＝CF•sin45°＝20×＝10（cm），

CH＝CF•cos45°＝20×＝10（cm），

∵DF＝30cm，

∴DH＝＝＝10（cm），

∴CD＝CH+DH＝（10+10）cm，

∴CD的长为（10+10）cm．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

22．（10分）解：（1）当40≤x＜58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x+b1，

由图象可得，

，

解得：．

∴y＝﹣2x+140；

当58≤x≤71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x+b2，

由图象得，

，

解得．

∴y＝﹣x+82．

综上所述：y＝．

（2）设人数为a，

当x＝48时，

y＝﹣2×48+140＝44，

则（48﹣40）×44＝106+82a，

解得a＝3．

答：该店员工人数为3．

（3）设每件服装的价格为x元时，每天获得的利润为w元．

当40≤x＜58时，

w＝（x﹣40）（﹣2x+140）﹣82×2﹣106

＝﹣2x2+220x﹣5870

＝﹣2（x﹣55）2+180，

当x＝55时，w最大值＝180．

当58≤x≤71时，

w＝（x﹣40）（﹣x+82）﹣82×2﹣106

＝﹣x2+122x﹣3550

＝﹣（x﹣61）2+171，

当x＝61时，w最大值＝171．

∵180＞171

∴w最大值为180

答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．

23．（12分）解：[教材呈现]∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，

∴DE＝＝，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD＝∠C＝90°，

∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，

∴∠DAF＝∠CDE，

∴△ADF∽△DCE，

∴，即，

∴点A到直线DE的距离AF＝；

[拓展]

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，

∴DE＝＝，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD＝∠CDA＝90°，

∴∠CDE+∠ADE＝∠DAG+∠ADE＝90°，

∴∠DAG＝∠CDE，

∴△ADG∽△DCE，得

∴，即，

∴AG＝，

∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝；

故答案为：；

（2）如图③，

作FG⊥AD于G，

设DF＝BF＝x，则CF＝4﹣x，

∵将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，

∴∠DFE＝∠BFE，

∵AB∥CD，

∴∠DFE＝∠BEF，

∴∠BFE＝∠BEF，

∴BE＝BF＝x，

在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2﹣CF2＝BC2，

∴x2﹣（4﹣x）2＝32，

∴x＝，

∴DF＝BF＝BE＝，BG＝CF＝4﹣＝，

∴GE＝BE﹣BG＝＝﹣＝，

在Rt△EFG中，GF＝AD＝3，

EF＝＝＝，

故答案是：．

24．（14分）（1）证明：如图①，连接BD，

∵点D为的中点，

∴，

∵AB∥DF，

∴∠ABD＝∠FDB，

∴，

∴，

∴DF＝BC；

（2）解：由（1）可得，＝，

∵CF＝CA，则，

∴＝2，

∵∠ABC＝α，

∴∠BAE＝2α，

∴∠E＝180°﹣3α；

（3）①证明：如图②，延长EA至点G，使AG＝AC＝AB，连接BG，CD，

则∠G＝∠BAE＝α，

又∵∠CDE＝∠ABC＝α，

∴∠G＝∠CDE，

∴CD∥BG，

∵BC＝CE，

即点C为BE的中点，

∴点D为EG的中点，

∴AC+AD＝AG+AD＝DG＝DE，

即AC+AD＝DE；

②解：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝α，

∴∠ADC＝180°﹣α＝∠ACE，

又∵∠CAD＝∠EAC，

∴△ACD∽△AEC，

∴，

即AC2＝AD•AE，

设AD＝a，AC＝ka，

则（ka）2＝a×（2a+ka），

解得k＝2或k＝﹣1（舍去），

∴AG＝AB＝AC＝2a，AE＝4a，

又∵△EAB∽△EBG，

同理得EB2＝EA•EG，

∴BE＝＝2a，

过点A作AH⊥BC于点H，

∵BC＝CE，

∴BH＝BE＝a，AH＝＝＝a，

∴tan∠E＝＝．