2023年中考数学第一轮复习：二次函数与一次函数的综合应用

2023年中考数学第一轮复习：二次函数与一次函数的综合应用

一、单选题

1．如图，抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x.当y1＜y2 时，x 的取值范围是(　　)

A．0＜x＜2 B．x＜0 或 x＞2

C．x＜0 或 x＞4 D．0＜x＜4

2．已知 的图像如图所示，则 的方程的两实根 ，则满足（　　）

A． B．

C． D．

3．函数y=2x+1的图象与函数y=x2+2x-3的图象交点的个数为   （　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．抛物线y=x²+2x-3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B（A点在B点左侧），点P是抛物线上的动点，当△PAC的面积为下列何值时，满足条件的点P有且只有三个（　　）  

A． B． C． D．

5．如图，抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC＝180°时，点D的坐标为  （　　）

A．（﹣8，﹣3） B．（﹣7，﹣）

C．（﹣6，﹣7） D．（﹣5，﹣8）

6．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（　　） 

A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0

C．x＜﹣3 D．0＜x＜3

7．两位同学在足球场上玩游戏，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB，小王从点A出发沿线 段AB运动到点B，小林从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示，结合图象分析以下结论：

①小王的运动路程比小林的长②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇③当小王运动到点D的时候，小林已经过了点D④在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径上述说法正确的个数的是（　　）

A．  1个 B．  2个 C．  3个 D．    4个

8．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2＋c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（　　）

A．﹣1≤c≤0 B．﹣1≤c≤ C．﹣1≤c≤ D．0≤c≤

9．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（　　）

A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）

11．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）

A．﹣ ＜m＜3 B．﹣ ＜m＜2

C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2

12．如图，直线 与抛物线 交于 、 两点，则 的图象可能是（　　） 

A． B．

C． D．

二、填空题

13．如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是　         　．

14．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物线p的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　            　．

15．如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，则使成立的x的取值范围是　            　

16．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 　     　．

17．抛物线y＝x2＋8x﹣4与直线y＝5的交点坐标是　                    　．

18．如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为　                       　．

三、解答题

19．如图，抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，并且点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设△AEC的面积为S1，△DEC的面积为S2，求S1：S2的值．

（3）点F坐标为（6，0），连接DF，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值．

20．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点C、D是抛物线上的一对对称点

（1）求抛物线的解析式

（2）求点D的坐标，并在图中画出直线BD

（3）求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值

21．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．

（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；

（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；

22．已知，关于x的二次函数，y=2x2+4x+k-1（k为正整数）.

（1）若二次函数y=2x2+4x+k-1的图象与x轴有两个交点，求k的值.

（2）若关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0（k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+2，y3）都在二次函数y=2x2+4x+k-1（k为正整数）图象上，求使y1≤y2≤y3成立的m的取值范围.

（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y=2x+b交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

23．如图，抛物线y＝x2－2x＋c的顶点A在直线l：y＝x－5上．

(1)求抛物线顶点A的坐标；

(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)，试判断△ABD的形状．

24．如图，抛物线 交x轴的正半轴于点A，点B（ ，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作□ABCD，记点C纵坐标为n，

（1）求a的值及点A的坐标；

（2）当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；

（3） 　     　 记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当三角形AEB的面积为7时，n=

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】C

5．【答案】B

6．【答案】A

7．【答案】A

8．【答案】C

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】D

12．【答案】A

13．【答案】

14．【答案】y=x2﹣2x﹣3

15．【答案】x＜-2或x＞8

16．【答案】17

17．【答案】（9，5）和（-1，5）

18．【答案】（1，﹣4）和（﹣2，5）

19．【答案】解：（1）∵对称轴为，

∴﹣=，

∵抛物线经过点A，∴a﹣b+4=0，

∴a=﹣1，b=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（2）∵x=0时，y=4，

∴点C坐标为（0，4），

当y=4时，x=0或3，

∴CD=3，

∴==；

（3）存在4种情况：

①DQ⊥x轴，∠PDQ=90°，如图1，

∴2t=3，t=时，△DPQ是直角三角形；

②PQ⊥x轴，∠DPQ=90°，如图2，

∴6﹣2t=3t﹣3，∴t=时，△DPQ是直角三角形；

③PQ⊥DF，∠DPQ=90°，如图3，

∴cos∠F=，

∴=，

解得：t=，△DPQ是直角三角形；

如备用图

当∠PDQ=90°时，

∵点A坐标为（﹣1，0），点D坐标为（3，4），

∴直线AD的解析式为y=x+1，

∴D点坐标为（0，1），

经过t秒后点P（0，1+3t），

CP=3﹣3t，CD=3，PO=3t+1，OQ=（6﹣2t），

∴DP2=（3﹣3t）2+9，

DQ2=（6﹣2t﹣3）2+16，

PQ2=（3t+1）2+（6﹣2t）2，

∴PD2+DQ2=PQ2，

解得t=，

∴当t=或或或时，△DPQ是直角三角形．

20．【答案】解：（1）二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（-3，0），B（1，0）

∴9a-3b+3="0" ，a+b+3=0；解得a=-1、b=-2；

∴二次函数图象的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）∵y=-x2-2x+3，

∴图象与y轴的交点坐标为（0，3）

∵点C、D是抛物线上的一对对称点．对称轴x=-b/2a=-1，

∴D点的坐标为（-2，3）．

（3）设直线BD的一次函数解析式为y=kx+b

把B（1，0），D（-2，3）分别代入得：0=k+b、3=-2k+b

解得：k=-1，b=1。

∴BD的解析式为y=-x+1。

由图象可知二次函数的值大于该一次函数的值时：-2＜x＜1。

21．【答案】解：（1）m=1时，抛物线为：y=x2+x﹣2，

令y=0得到：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或1，

所以点A（﹣2，0），点B（1，0），

所以AB=3．

（2）由消去y得到：x2+（2m﹣1﹣k）x﹣2m﹣mk=0，

∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点，

∴△=0，

∴（2m﹣1﹣k）2+8m+4mk=0，

整理得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，

∵（k+1）2≥0，

设y=﹣4m2﹣4m，当y≥0时，﹣1≤m≤0，

∴﹣1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．

22．【答案】解：（1）∵二次函数y=2x2+4x+k-1的图象与x轴有两个交点 ，

∴△=16-8（k-1)＞0，∴16-8k+8＞0，解得k<3.

∵k为正整数，∴k=1、2.

(2) ∵关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0（k为正整数）有两个不相等的整数解，

∴k=1 ∴y=2x2+4x.

∴y1=2m2+4m， y2=2(m+1)2+4(m+1)，y3=2(m+2)2+4(m+2)

∴，解得m≥.

(3) 存在.因为内心在y轴上，所以∠ACO=∠BCO，找A点关于y轴的对称点A ′(1，2)，直线A ′B：y=6x-4，与y轴的交点即为所求C点，坐标为（0，-4）.

23．【答案】解：(1)∵顶点 A的横坐标为x＝－＝1，

且顶点A在y＝x－5上，

∴当x＝1时，y＝1－5＝－4，∴A(1，－4)．

(2)△ABD是直角三角形．

将A(1，－4)代入y＝x2－2x＋c，

可得1－2＋c＝－4，

∴c＝－3，∴y＝x2－2x－3，∴B(0，－3)．

当y＝0时，x2－2x－3＝0，得x1＝－1，x2＝3，

∴C(－1，0)，D(3，0)．

∵BD2＝OB2＋OD2＝18，

AB2＝(4－3)2＋12＝2，AD2＝(3－1)2＋42＝20，

∴BD2＋AB2＝AD2，∴∠ABD＝90°，

即△ABD是直角三角形．

24．【答案】（1）解：把B点坐标代入函数解析式可以得到a==.令y=0，可以得到x=0或3，所以A点的坐标为（3,0）.

（2）由A（3,0），B（，），过点B向x轴作垂线垂足为E，可知BE=，AE=.过点D向对称轴作垂线，垂足为F，可以得出CF=BE，AE=DF。设D坐标为（c，d），由CF=BE，AE=DF可以得出n=.

（3）