中考培优竞赛专题经典讲义 第30讲 几何三大变换之翻折

第30讲 几何三大变换之翻折

翻折的性质（轴对称的性质）

如图，将△ABC沿着DE翻折，使得点A落在BC的点F处结论有：

①（即AD=DF，AE=EF，∠A=∠DFE，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED）

②DE垂直平分AF

函数的对称变换

①一次函数

关于x轴对称后的解析式：

关于y轴对称后的解析式：

②二次函数

关于x轴对称后的解析式：

关于y轴对称后的解析式：

【例题讲解】

例题1.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数是______

解：如图，连接、，

，为的平分线，

，

又，

，

是的垂直平分线，

，

，

，

为的平分线，，

，

，

点在的垂直平分线上，

又是的垂直平分线，

点是的外心，

，

将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，

，

，

在中，，

故选：．

例题2.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为与边AD、BC交于点F、H，点C落在Q处，EQ与BC交于点G.

（1）尺规作图作出折痕FH；

（2）求折痕FH的长；

（3）求△EBG的周长；

（4）若将题目中的“点E为AB中点”改为“点E为AB上任意一点”，其它条件不变，则△EBG的周长是否发生变化，若不变，请求出该值，若发生变化，请说明理由.

例题3、如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，且，则的长为　   　．

解：四边形是矩形，

，，，

由折叠的性质可知，

，，，

在和中，

，

，

，，

，

设，则，，

，，

根据勾股定理得：，

即，

解得：，

，

故答案为：4.8．

例题4.如图1，在矩形纸片中，，，点是中点，将这张纸片依次折叠两次；

第一次折叠纸片使点与点重合，如图2，折痕为，连接、；第二次折叠纸片使点与点

重合，如图3，点落到处，折痕为，连接，则________．

解：如图2中，作于．设，则，

，，

，

在中，，

，

解得，

，，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

如图3中，，，

，

，

，，

，

．

方法二，．

故答案为．

例5.如图，已知的三个顶点、、，，作关于直线的

对称图形

（1）若，试求四边形面积的最大值；

（2）若点恰好落在轴上，试求的值．

解：（1）如图1，

与四边形关于直线对称，

四边形是平行四边形，，，

，，

四边形、是平行四边形，

，

．

、、、，

，，

，

．

，当时，最大值为9；

（2）当点恰好落在轴上，如图2，

，，

，，

．

，

△，

，

，

．

由轴对称的性质可得．

在中，

，

整理得．

，，

．

例题6.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴的正半轴上，为边的中点，一抛物线经过点、

（1）求点、的坐标（用含的式子表示）；

（2）把沿直线折叠后点落在点处，连接并延长与线段的延长线交于点，

①若抛物线经过点，求抛物线的解析式；

②若抛物线与线段相交，直接写出抛物线的顶点到达最高位置时的坐标：

解：（1）当时，，

，

当时，或

；

（2）①如图，设与轴交于点，过点作轴于点．

把沿直线折叠后点落在点处，

△，，，，，

矩形中，，

，

，

．

设，则，

在△中，，

，

解得，

，

，

，

点坐标为，，

易求直线的解析式为，

当时，，

点坐标为．

代入得（舍，，

抛物线的解析式为：．

②当时，，

即抛物线与直线的交点为，

抛物线与线段相交，

，

，

解得：，

，

当时，有最大值，

又，

当时，随的增大而增大，

当时，顶点到达最高位置，，

抛物线顶点到达最高位置时的坐标为，．

【巩固练习】

1、如图，在矩形中，点为边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的值为________.

2.如图，先将一平行四边形纸片沿，折叠，使点，，在同一直线上，再将折叠的纸片沿折叠，使落在上，则　　度．

3、点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上，将这张纸条沿着直线EF对折后如图，BF与DE交于点G，长方形纸条的宽AB=2cm，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的最小值为_____________。

4.如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，

如图②，若图②中，则的度数为　　（用含的代数式表示）．

5、在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．第一小组的同学将矩形纸片按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕（如图；再沿折叠，使点落在上的点处（如图，请求出的度数．

6.如图，在中，，，点是的中点，将沿着直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，那么的值为　　．

7、如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的解析式为　　．

8.如图①，点为一等腰直角三角形纸片的斜边的中点，是边上的一点，将这张纸片沿折成如图②，使与边相交于点，若图①中，则图②中的周长为　　．

9.如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为　　．

10.已知中，，，，是边上一点，交于点，将沿

翻折得到△，若△是直角三角形，则长为_________．

11.如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点

处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，

则线段的长为________

12、如图，中，，，，点是的中点， 将沿翻折得到，连，则线段的长等于_____

13.如图所示，四边形是矩形，点、的坐标分别为，，点是线段上的动点（与

端点、不重合），过点作直线交折线于点．

（1）记的面积为，求与的函数关系式；

（2）当点在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试探究

与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

14.如图，将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线与此图象有两个公共点时，求的取值范围________．

15.如图1，在矩形中，，，点是边上的一个动点（不与点、点重合），点在边上，将和分别沿、折叠，使点与点重合，点与点重合，且、、三点共线．

（1）若点平分线段，则此时的长为多少？

（2）若线段与线段所在的平行直线之间的距离为2，则此时的长为多少？

（3）在“线段”、“线段”、“点”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．

16．如图，矩形中，，，是边上一点，将沿直线对折，得到．

（1）当平分时，求的长；

（2）连接，当时，求的面积；

（3）当射线交线段于点时，求的最大值．

17．如图1，已知矩形纸片中，，若将该纸片沿着过点的直线折叠（折痕为，点恰好落在边的中点处．

（1）求矩形的边的长．

（2）若为边上的一个动点，折叠纸片，使得与重合，折痕为，其中在边上，在边上，如图2所示．设 ， ，试求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）①当折痕的端点在上时，求当为等腰三角形时的值；

②当折痕的端点在上时，设折叠后重叠部分的面积为，试求与之间的函数关系式．

18．如图， 已知矩形中，，，动点从点出发， 在边上以每秒 1 个单位的速度向点运动， 连接，作点关于直线的对称点，设点的运动时间为．

（1） 若，求当，，三点在同一直线上时对应的的值 ．

（2） 已知满足： 在动点从点到点的整个运动过程中， 有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于 3 ，求所有这样的的取值范围 ．

19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，翻折矩形，使点与点重合，得到折痕，设点的对应点为，折痕所在直线与轴相交于点，经过点，，的抛物线为．

（1）求点的坐标（用含的式子表示）；

（2）若点的坐标为，求该抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，设线段的中点为，在线段上方的抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

参看答案

1.解：根据题意可得：在中：，，

则，

又，，

，

故．

故答案为：．

2.解：根据沿直线折叠的特点，△，△，

，，

，

，

点，，在同一直线上，

，

将折叠的纸片沿折叠，使落在上，

，

故答案为：45．

3.

4.解：，，

、△都为、、 的三角形，

，

，

，

，

，

．

故答案为：．

5.解：如图2，连接，由题意得垂直平分，故，

由翻折可得，，

△为等边三角形，

，

，

；

6.解：是翻折而成，

，，

是等腰直角三角形，

，由三角形外角性质得，

，

设，，则，

，

在中，由勾股定理得，，即，

解得，

，

故答案为：

7.解：法一：

当时，，即，

当时，，即，

所以，即，

因为点与关于对称，

所以的中点为，，即在直线上，

设直线的解析式为，把；，

代入可得．

法二：

直线与轴，轴分别交于点和，

，

设，则，

又

直线的解析式为

故答案为．

8.解：如图，作于，于，于，连接．

，，，

，，．

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

的周长，

，

，

（解法二：连接，只要证明，即可推出的周长

故答案为．

9.解：如图1所示：当时，过点作，则．

当时，．

由，，得．

由翻折的性质，得．

，

，

，

当时，则（易知点在上且不与点、重合）．

如图2所示：

当时，

，，

点、在的垂直平分线上，

垂直平分，

由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去．

综上所述，的长为16或．

故答案为：16或．

10.解：在中，，，，

，

，

，即，

设，则，，，

在△中，，

△是直角三角形，

①当落在边上时，，，，；

②点在线段的延长线上，

解得（不合题意舍去），．

故长为或．

故答案为：或．

11.解：中，，，，

，

根据折叠的性质可知，，，

，

，

，

，

△，

，

，

12.解： 如图连接交于，作于．

在中，，，

，

，

，

，

，

，

点在的垂直平分线上 ．

，

点在的垂直平分线上，是直角三角形，

垂直平分线段，

，

，

，

在中，，

13.解：（1）四边形是矩形，点、的坐标分别为，，

，

若直线经过点时，则

若直线经过点时，则

若直线经过点时，则

①若直线与折线的交点在上时，即，如图1，

此时

；

②若直线与折线的交点在上时，即，如图2

此时，，

，

；

（2）如图3，设与相交于点，与相交于点，则矩形与矩形的重叠部分的面积即为四边形的面积．

由题意知，，，

四边形为平行四边形

根据轴对称知，

又，

，

，

平行四边形为菱形．

过点作，垂足为，设菱形的边长为，

由题意知，，，

，，

，

则在中，由勾股定理知：，

，

．

矩形与矩形的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

14.. 解：二次函数与轴的交点坐标为，、，，

当直线与有一个公共点时，，△，解得，所以当时，直线与此图象有两个公共点时，

当直线经过点，与点，之间时，直线与此图象有两个公共点时，解得，

所以的取值范围为或．

故答案为或．

15.解：（1）由和分别沿、折叠，得到和，则，

，，，．

，

．

，

，

．

，

．

四边形是矩形，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

．

（2）由题意，得或．

当时，

，，

．

，

，

，

．

当时，

，，

．

，

．

．

故的长为1或3．

（3）①若与点在同一直线上，如图2，连接，点在上，

在和中，

，

，

．

设，则，

在中，

，，

，

．

解得．

②若与在同一直线上，如图3，

，，

，

，

．

16.【解答】解：（1）由折叠性质得：，

，

平分，，

，

四边形是矩形，

，

，

；

（2）延长交延长线于点，如图1所示：

四边形是矩形，

，

，

由折叠性质得：，

，，，

，

，

设，则，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

解得：，

，，

，，

；

（3）过点作于点，如图2所示：

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，，

可以看到点是在以为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线与圆相切时，最大，此时、、三点共线，如图3所示：

由折叠性质得：，

，

，

在和中，，

，

，

由勾股定理得：，

，

的最大值．

17.【解答】解：（1）根据题意得：，

四边形是矩形，

，，，

为的中点，

，

根据勾股定理得：，

；

（2）根据题意得：，在中，，

．

，

其中，；

（3）①当点在上，，

，而，．

为等腰三角形，只可能；

过点作于，如图3所示：

则，，

在中，．

．

解得：．

②当点在上时，在上；如图4所示：

根据题意得：垂直平分，

，

，，

四边形是平行四边形，

又，

四边形是菱形，

折叠后重叠部分的面积的面积，

设，在中，，

．

解得：，

．

18.【解答】解： （1） 如图 1 中， 设． 则．

、、共线，

，

，

，

，

，

在中，，

，

或（舍 弃） ，

，

时，、、共线 ．

（2） 如图 2 中， 当点与重合时， 点在的下方， 点到的距离为 3 ．

作于，于． 则，

易证四边形是矩形，

，，

，

，，

，

，

，

， （当时， 直线上方还有一个点满足条件， 见图

如图 3 中， 当点与重合时， 点在的上方， 点到的距离为 3 ．

作于，延长交于． 则，

在中，，

由，

，

，

，

综上所述， 在动点从点到点的整个运动过程中， 有且只有一个时刻，使点到直线的距离等于 3 ，这样的的取值范围．

19.【解答】解：（1）根据折叠的性质得：，，，，，

设，则，

根据勾股定理得：，

即，

解得：，

点的坐标为：，；

（2）方法一：

四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

即，

解得：，

，，，

作于，如图1所示：

则，

，

，

，

即，

，，，

，，

把点，，，，代入得：，

解得：，，，

抛物线的解析式为：；

（3）存在；点的坐标为：，，或，；理由如下：

如图2所示：，，

，

线段的中点为，，

，点与点重合，

点的坐标为：，；

由抛物线的对称性得另一点的坐标为，；

在线段上方的抛物线上存在点，使，点的坐标为：，，或，．