中考培优竞赛专题经典讲义 第16讲 代数型坐标转化

第16讲 代数型坐标转化

【例题讲解】

例题1  ①点A（a，a＋2）无论a取何值，都在直线l上，则l的直线解析式为______.

答案：y＝x＋2.

②无论a取什么实数，点P（a－1,2a－3）都在直线l上，若点Q（m，n）是直线l上的点，则2m－n＋3的值是　      　．

答案：4.

③若点P坐标为（2m，－m2－m－4），点P随着m的变化在某一个函数上运动，则该函数解析式为_________.

答案：y＝－－－4.

例题2、已知，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（m，），点C为线段OA上一点（点O为原点），则AB＋BC的最小值为　　     ．

答案：．

【解析】∵点B（m，m），

∴点B在y＝m的直线上，

如图，作点A关于直线OB的对称点D，过D作DC⊥OA于C交直线OB于B，

则CD＝AB＋BC的最小值，

∵B（m，m）,

∴tan∠BOC＝，

∴∠AOB＝30°，

∵∠AHO＝90°，

∴AH＝OA，

∵A（4，0），

∴OA＝4，

∴AD＝2AH＝4，

∴DC＝，

∴AB＋BC的最小值＝，

故答案为：．

例题3  在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，－2）、点B（3m，4m＋1）（m≠－1），点C（6,2），则对角线BD的最小值是　    　    ．

答案：6.

【解析】如图，∵点B（3m，4m＋1），

∴令，

∴y＝x＋1，

∴B在直线y＝x＋1上，

∴当BD⊥直线y＝x＋1时，最小，

过B作BH⊥x轴于H，则BH＝4m＋1，

∵BE在直线y＝x＋1上，且点E在x轴上，

∴E（－，0），G（0,1），

∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，

∴F是AC中点，

∵A（0，－2），点C（6,2），

∴F（3,0）

在Rt△BEF中，

∵BH²＝EH·FH，

∴（4m＋1）²＝（3m＋）（3－3m），

解得：＝－（舍），＝，

∴B（，）

∴BD＝2BF＝2×＝6，

则对角线BD的最小值是6；

故答案为：6．

【巩固练习】

1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,2），点M的坐标为（m－1，－m－）（其中m为实数），则PM的最小值为　         　．

2．已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O（0,0）、A（5,0）、B（m，2）、C（m－5,2）．

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．

参考答案

1.答案：16.

2.【解析】（1）存在；（2）m的值为3.5或6.5.

（1）存在．

∵O（0,0）、A（5,0）、B（m，2）、C（m－5,2）,

∴OA＝BC＝5，BC∥OA，

以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OEA＝90°，如图1，作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，EG＝GF，

∴EG＝＝1.5，

∴E（1，2），F（4，2），

∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90°；

（2）如图2，

∵BC＝OA＝5，BC∥OA,

∴四边形OABC是平行四边形，

∴OC∥AB，

∴∠AOC＋∠OAB＝180°，

∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，

∴∠AOQ＝∠AOC，∠OAQ＝∠AOB，

∴∠AOQ＋∠OAQ＝90°，

∴∠AQO＝90°，

以OA为直径作⊙D，与直线BC分别交于点E、F，则∠OEA＝∠OFA＝90°，

∴点Q只能是点E或点F，

当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA，

∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，

∴CF＝OC，BF＝AB，

而OC＝AB，

∴CF＝BF，即F是BC的中点．

而F点为（4,2），则＝4，解得m＝6.5，

∴此时m的值为6.5，

当Q在E点时，同理可得＝1，此时m的值为3.5，

综上所述，m的值为3.5或6.5．