平行线的判定和性质证明题基础+提高（含答案）

平行线的判定及性质证明题（基础）

1.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=90°

证明：

∵BE平分∠ABC（已知）

∴∠2             （                           ）

同理∠1            

∴∠1+∠2=           

又∵AB∥CD（已知）

∴∠ABC+∠BCD=             （                           ）

∴∠1+∠2=90°

2.如图，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，点F，G在AG上，连接DG、BG、EF．己知∠1=∠2，∠3+∠ABC=180°，求证：BG∥EF．

证明：

∵_____________（已知）

∴DG∥BC（_______________________）

∴∠CBG________（____________________）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠2________（等量代换）

∴BG∥EF（___________________）

3.如图，已知∠A = ∠C，∠E=∠F，试说明AB∥CD．

4.如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD，求证：CE∥AB．

5.已知：如图，直线DE//AB．求证：∠B+∠D=∠BCD．

6.如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．试判断CH和DF的位置关系并说明理由．

7.已知:如图，BE//CD，∠A=∠1．求证:∠C=∠E.

8.已知：如图所示，DE⊥AC于点E，BC⊥AC于点C，FG⊥AB于点G，∠1=∠2，试说明CD⊥AB.

9.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，EF平分∠AED交AB于F，已知∠ADE=∠B，求证：EF∥CD．

10.如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB．

（1）判断∠A与∠EDF之间的大小关系，并说明理由．

（2）求∠A+∠B+∠C的度数．

11.如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE.

12.在三角形ABC中，CD⊥AB于D，F是BC上一点，FH⊥AB于H，E在AC上，∠EDC=∠BFH．

(1)如图1，求证：DE∥BC；

(2)如图2，若∠ACB＝90°，请直接写出图中与∠ECD互余的角，不需要证明．

平行线的判定及性质证明题（提高）

1.把下列证明过程补充完整。

已知：如图，BC、AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．

证明：∵AD∥BC（已知）

∴∠3＝　   　（　   　）

∵∠3＝∠4（已知）

∴∠4＝　   　（　   　）

∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（　   　）

即∠BAF＝　   　

∴∠4＝∠BAF（　   　）

∴AB∥CD（　   　）

2.把下列证明过程补充完整。

已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F

证明：∵∠1＝∠2（已知）

又∠1＝∠DMN（　      　）

∴∠2＝∠DMN（等量代换）

∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）

∴　      　（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠C＝∠D（已知）

∴∠DBC+∠D＝180°

∴DF∥AC（　      　）

∴∠A＝∠F（　      　）

3.如图直线a∥b，直线EF与a、b分别和交于点A、B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．

（1）若∠1＝60°，直接写出∠2     ；

（2）若AC=3，AB=4，BC=5，则点B到直线AC的距离是      ；

（3）在图中直接画出并求出点A到直线BC的距离．

4.已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交CD于点F， ∠2+∠3＝180°，∠1=∠B．

（1）求证：DE∥BC；

（2）若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求∠2的度数．

5.如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF。

(1)求证：∠DAF＝∠F；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与∠CED互余的角。

6.如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．

（1）试说明：AD∥EF；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．

7.如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．

（1）求证：CE∥GF；

（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；

（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数。

8.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：

（1）∠EDC的度数；

（2）若∠BCD=n°，试求∠BED度数.(用含n的式子表示）

9.[感知]如图①AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数

解；如图①过点P作PM∥AB

∴∠1＝∠AEP＝40°

∵AB∥CD

∴PM∥CD

∴∠2+∠PFD＝180°

∵∠PFD＝130°

∴∠2＝180°﹣130°＝50°

∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°

即∠EPF＝90°

[探究]如图②AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．

[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是　   　°

10.问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小强的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC______．

问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动∠PAD＝∠α，∠PCB＝∠β．

（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系．

11.直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND．

（1） 如图1，若MR平分∠EAM，则MR与NP的位置关系是      ．

（2） 如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．

（3） 如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由．

参考答案（基础）

1. ∠ABC；角平分线的定义；∠BCD；∠ABC+∠BCD；180°；两直线平行，同旁内角互补．

2.，同旁内角互补，两直线平行，∠1，两直线平行，内错角相等，∠CBG，同位角相等，两直线平行。

3.证明：∵∠E=∠F  ∴AE∥CF  ∴∠A=∠ABF  ∵∠A=∠C  ∴∠ABF=∠C ∴AB∥CD．

4.∵CE平分∠ACD  ∴∠ACD=2∠ECD  ∵∠ACD=2∠B  ∴∠ECD=∠B  ∴AB//CE．

5.证明：过点C作CF∥AB  ∴∠B=∠BCF  ∵DE//AB，CF∥AB  ∴CF∥DE ∴∠D=∠DCF，

∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=∠B+∠D．

6. ∵ ∴ ∴ ∵∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴CH//DF

7.∵∠A=∠1  ∴DE//AC   ∴∠E=∠EBA  ∵BE//CD  ∴∠EBA=∠C   ∴∠C=∠E

5．证明：∵DE⊥AC，BC⊥AC ∴DE∥BC  ∴∠2=∠DCF ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠DCF

∴GF∥DC ∵FG⊥AB ∴CD⊥AB．

8.证明： 平分，平分，

，

9.（1）两角相等。

∵DE∥AC  ∴∠A=∠BED  ∵DF∥AB  ∴∠EDF=∠BED  ∴∠A=∠EDF

（2）∵DE∥AC  ∴∠C=∠EDB  ∵DF∥AB  ∴∠B=∠FDC ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°  ∴∠A+∠B+∠C=180°

10.∵AB∥CD  ∴∠4=∠BAE  ∵∠3=∠4  ∴∠3=∠BAE  ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE  即∠BAE=∠CAD  ∴∠3=∠CAD  ∴AD∥BE

11.∵，  ∴  ∴  ∵

∴  ∴

(2)与互余的角有：

参考答案（提高）

1.∠CAD，两直线平行，内错角相等，∠CAD，等量代换，等式的性质，∠CAD，等量代换，同位角相等，两直线平行。

2.∠DMN，对顶角相等，∠DBC+∠C＝180°，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等。

3.（1）（2）4

（3）过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度。

∵∴为直角三角形∴，，

∴点A到直线BC的距离为。

4.（1）∵，∠2+∠DFE＝180°∴∠3＝∠DFE ∴EF//AB ∴∠ADE＝∠1

∵ ∴∠ADE＝∠B ∴DE//BC，

（2）∵平分 ∴∠ADE＝∠EDC  ∵DE//BC  ∴∠ADE＝∠B  ∵

∴∠5+∠ADE+∠EDC＝＝180° ∴∠ADC＝2∠B＝72° ∵EF//AB

∴∠2＝∠ADC＝180°－108°＝72°

5.（1）∵AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C ∴∠B+∠C＝180° ∴AB∥CF

∴∠BAF+∠F＝180°  ∵∠BAF＝∠EDF ∴∠EDF+∠F＝180° ∴ED∥AF ∴∠ADE＝∠DAF，∠EDC＝∠F ∵DE平分∠ADC ∴∠ADE＝∠CDE ∴∠DAF＝∠F

（2）∵∠C＝90° ∴∠CED+∠CDE＝90° ∴∠CED与∠CDE互余，又∵∠ADE＝∠DAF＝∠EDC＝∠F ∴与∠CED互余的角有∠ADE、∠CDE、∠F、∠FAD。

6.（1）∵AB∥DG ∴∠BAD＝∠1 ∵∠1+∠2＝180° ∴∠BAD+∠2＝180° ∵AD∥EF

（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142° ∴∠1＝38° ∵DG是∠ADC的平分线 ∴∠CDG＝∠1＝38° ∵AB∥DG  ∴∠B＝∠CDG＝38°

7.（1）∵∠CED＝∠GHD  ∴CB∥GF

（2）∠AED+∠D＝180°  ∵CB∥GF ∴∠C＝∠FGD  ∵∠C＝∠EFG  ∴∠FGD＝∠EFG ∴AB∥CD∴∠AED+∠D＝180°

（3）∵∠GHD＝∠EHF＝80° ∠D＝30° ∴∠CGF＝80°+30°＝110° 又∵CE∥GF ∴∠C＝180°﹣110°＝70°   ∵AB∥CD ∴∠AEC＝∠C＝70° ∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°

8.（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴

（2）过点作，则有

又∵ ∴EF∥AB∥CD  ∴，又∵平分

∴ ∴ ∴

9.解；（1）如图①，过点P作PM∥AB ∴∠1＝∠AEP＝40°∵AB∥CD ∴PM∥CD

∴∠2+∠PFD＝180° ∵∠PFD＝130° ∴∠2＝180°﹣130°＝50°∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°即∠EPF＝90°

如图②，过点P作PM∥AB ∴∠MPE＝∠AEP＝50°

∵AB∥CD（已知） ∴PM∥CD ∴∠PFC＝∠MPF＝120°

∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°

如图③所示，

∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线

∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°

过点G作GM∥AB ∴∠MGE＝∠AEG＝25° ∵AB∥CD（已知） ∴GM∥CD ∴∠GFC＝∠MGF＝60°∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°

10.∵AB∥CD，PE∥AB  ∴PE∥AB∥CD ∴∠A+∠APE=180° ∠C+∠CPE=180° ∵∠PAB=130° ∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°

（1）；过点P作，

又因为，所以，

则，，

所以；

（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，

过P作PE∥AD，交ON于E，

∵AD∥BC  ∴AD∥BC∥PE

∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β

∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β

情况2：如图所示，点P在射线AM上时，

过P作PE∥AD，交ON于E  ∵AD∥BC ∴AD∥BC∥PE ∴∠DPE=∠ADP=∠α ∠CPE=∠BCP=∠β ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α

11.（1）

（2）如题图2 平分，平分

（3）如图，设交于点，过点作

，

平分，平分