数系的扩充与复数的引入专题讲义-2023二轮复习

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1 数系的扩充与复数的引入
【课前诊断】
入门测 成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
1.复数的虚部为
A.B.C.D.
2.复数（）的实部是虚部的两倍，则的值为
A.B.C.D.
3.若复数满足，则实数的取值范围是
A.B.
C.D.
4.已知复数（为虚数单位，为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数的虚部可以是
A.B.C.D.
5.复数，其中是虚数单位，则
A.B.C.D.
【知识点一：复数的基本概念】
一、复数的定义
虚数满足。
二：复数的代数表示
，形如的数叫做复数。把复数表示成的形式叫做复数的代数形式，通常用小写字母表示，即。其中，叫做复数的实部，叫做复数的虚部，i叫做虚数单位。注：当且仅当时，复数就成了纯实数；当时,复数就成了纯虚数，当时，复数就为虚数。
三：复数集
全部复数构成的集合叫做复数集，通常用大写字母C表示。即显然，实数集R是复数集C的真子集。
四：复数相等
【典型例题】
考点一：复数的基本概念
例1.下列复数为纯虚数的是
A．B.C.D.
例2.复数的实部为
A．B.C.D.
例3.已知，则的值为
A．B.C.D.
练1.若复数是纯虚数，则实数.
练2.“”是“复数为纯虚数”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点二：复数的表示
一、复数的几何表示
复数被一个有序实数对所唯一确定，点或向量就是复数的几何表示。
二、复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴，轴的单位是1，轴的单位是；实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。
三、共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。复数的共轭复数用表示，即的共轭复数为.任一实数的共轭复数仍是它本身。在复平面内，表示共轭复数的两个点关于实轴对称，并且它们的模相等，且两个互为共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）的模的平方。
四、复数的模
设对应的复数为，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记做。由向量长度的计算公式得。
【典型例题】
考点一：复数的表示
例1.对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是
A.B.C.D.
例2.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
例3.在复平面内，复数对应的点的坐标为
A.B.C.D.
例4.在复平面内，复数对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
例5.在复平面内，复数（其中是虚数单位）对应的点位于
A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
例6.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
练1.实数取何值时，复平面内表示复数的点
位于第四象限
位于直线上
练2.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
练3.已知复数其中，是纯虚数，则实数的取值为
A.﹣lB.1C.﹣2D.2
练4.复数等于
A．B．C．D．
【知识点三：复数的集合意义】
假设对应的复数为，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记做。由向量长度的计算公式得，。
【典型例题】
考点一：复数的几何意义
例1.已知为虚数单位，设复数满足，则=
A．B.C.D.
例2.若复数，则
A．B.C.D.
例3.已知复数，则
A．1B.2C.D.3
练1.设复数满足，则
A．1B.C.2D.
【小试牛刀】
1.若复数的实部与虚部相等，则实数____
2.复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.复数在复平面上对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.已知是虚数单位，若，则（）
A.1或-1B.或C.D.
5.设复数满足，则等于（）
A.B.C.D.2
【巩固练习——基础篇】
1.已知复数则等于（）
A.B.C.D.
2.复数的虚部是（）
A.B.C.D.
3.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点、
对应的复数分别是，，则____．
5.如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数
A.B.C.D.
6.设复数满足，则=____．
【巩固练习——提高篇】
1.定义：，则称复数是复数的平方根，根据定义，则复数的平方根是
A.或B.或
C.D.
2.设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于
A.B.C.D.
3.复数且,则的值是
A.B.C.D.
4.已知复数在复平面上对应的点为，若为实数，则的值为
A．B.C. D.或
5.已知复数
（Ⅰ）若复数则；
（Ⅱ）如果,求实数的值．
6.已知与共线，且的模为10，求.
2 复数的四则运算
【课前诊断】
1.下列复数为纯虚数的是
A．B.C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标为
A．B.C. D.
3.已知为虚数单位，设复数满足，则=
A．B. C. D.
4.在复平面内，复数,对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是
A.B.C.D.
【知识点一：复数的运算】
一、复数的加法、减法、乘法
记，
则，
复数的加法和乘法仍满足交换律、结合律、分配律，即
，
二、共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数。复数的共轭复数用表示，即的共轭复数为.任一实数的共轭复数仍是它本身。在复平面内，表示共轭复数的两个点关于实轴对称，并且它们的模相等，且两个互为共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）的模的平方。
三、复数的除法
已知，如果存在一个复数，使得，则叫做的倒数，记做，
所以定义复数的除法为：
【典型例题】
考点一：复数的四则运算
例1.已知，求
练1.已知，求
例2.设是虚数单位，在复平面内，复数所对应的点落在
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
练1.若复数的实部与虚部相等，则实数____
例3.（2019-2020年朝阳一模11）若复数，则________．
练1.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
练2.复数等于
A．B．
C．D．
练3.已知复数其中，是纯虚数，则实数的取值为
A.﹣lB.1
C.﹣2D.2
【小试牛刀】
1.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为
A．B.C. D.
2.设复数满足，则=
3.复数_________
4.复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5.复数在复平面上对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.已知是虚数单位，若，则
A.1或-1B.或C.D.
7.设复数满足，则等于
A.B.C.D.2
【巩固练习——基础篇】
1.已知复数则等于
A.B.C.D.
2.复数的虚部是
A.B.C.D.
3.设为实数，是虚数单位，若是实数，则等于
A.B.C.D.
4.复数且,则的值是
A.B.C.D.
5.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点、
对应的复数分别是，，则____．
【巩固练习——提高篇】
1.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.定义：，则称复数是复数的平方根，根据定义，则复数的平方根是
A.或B.或C.D.
3.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.已知复数，且复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，则=
A.B.C.D.
5.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是
A．B.C.D.
6.如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数
A．B.
C.D.
7.已知复数
（Ⅰ）若复数则；
（Ⅱ）如果,求实数的值．