导数分类讨论及参变分离问题-导数专题-2023届--二轮复习 (4)

7   导数的分类讨论与参变分离

【课前诊断】

成绩（满分10）：                       完成情况：   优/中/差  

1．设函数．

若函数在区间上存在唯一零点,求的取值范围．

2．已知函数．当时,若在上有零点,求实数的取值范围．

【知识点一：一次函数类型含参分类讨论】

一次函数含参分类讨论，首先要明确导函数中影响正负性的代数式是函数类型：

则分3种情况讨论

【注：以上其中为恒正或恒负的代数式不影响在某区间内的正负性】

【典型例题】

考点一： 含参单调性讨论

例1．已知函数(),求的单调区间;

练1．已知函数．求函数的单调区间;

考点二： 含参极值、最值类讨论

例1．          已知函数．当时,都有成立,求的取值范围;

练1．已知函数．当时,求函数在区间上的最小值．

考点三： 参变量分离

例1．设函数,

（Ⅱ）当时,恒成立,求的取值范围．

【知识点二：二次函数类型含参分类讨论】

二次函数含参分类讨论，首先要明确导函数中影响正负性的代数式是函数类型：

【注：以上其中为恒正或恒负的代数式不影响在某区间内的正负性】

①时化为一次函数类型

②时，讨论次序：先考虑二次函数函数的开口方向再考虑方程根的个数再考虑跟的大小根在区间的位置确定在各个区间内的正负性

【典型例题】

考点一： 含参单调性讨论

例1．已知函数．求的单调区间

练1．已知函数,,其中．当时,求的单调区间;
考点二： 含参极值、最值讨论

例1．已知函数,其中实数．判断是否为函数的极值点,并说明理由;

练1．已知函数,求在区间上的最小值．

考点三： 参变量分离

例1．已知函数．

（Ⅱ）若在上为单调递减,求的取值范围;

【知识点三】指数函数类型分类讨论

【典型例题】

考点一： 单纯的指数函数讨论

例1．设函数．求函数的单调区间．

练1．已知函数，．求函数的单调区间；

考点二：指数函数与一次或者二次的交叉

例1．求的单调性．

练1．已知函数．若在单调递增,求范围．

考点三：指数函数与定义域结合

例1．设函数，．

当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．

考点四：参变分离

例1．          已知函数．若函数在定义域内不单调,求的取值范围．

练1．已知函数．若在上是增函数,求实数的取值范围．

【知识点四】对数函数类型的分类讨论

【典型例题】

考点一：不需要讨论

例1．已知函数．求的单调区间; 

考点二：讨论定义域

例1．已知函数  且讨论函数的极值．

考点二： 需要二次求导

例1．设函数（）．求的单调区间;

【知识点五】三角函类型判断单调性

考点一： 不含参三角函数

例1．已知函数,其中,为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间;

练习1  已知函数．判断在上的单调性,并说明理由．

考点二： 含参三角函数

例1．已知函数．当时,判断在上的单调性,并说明理由．

练习1．已知函数，

（1）当时，求函数在上的值域

（2）当，求函数的单调区间

【知识点六】混合函数类型判断单调性

考点一： 两个函数乘积类

例1．求的单调性．

练1．设函数（）．求的单调区间;

考点二： 两个函数加减类

例1.  设函数,．若,求证:是函数在时单调递增的充分不必要条件．

【小试牛刀】

1．已知函数．（3问）

（Ⅱ）求的单调区间;

2．已知实数，函数．

（1）求函数的单调区间；

3．已知函数．求函数的单调区间;

4．已知,若,求的单调区间．

5．已知函数当，求的单调区间

6． 已知函数．求的单调区间．

【巩固练习——基础篇】

1．已知函数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，其中为函数的导函数．判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

2．已知函数．

（Ⅱ）当时,试求的单调区间;

3．已知函数．求的单调区间．

4．已知函数,,,求的单调区间．

5．已知函数．求函数在区间上的单调性．

6．已知函数．．判断函单调性

【巩固练习——提高篇】

1．已知函数． 曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）若函数存在极大值，求的取值范围．

2．已知函数．讨论的单调性．

3．已知函数,．当时,求证：函数在上单调递减．

4．已知函数

（Ⅰ）当时,求在区间上的最大值和最小值;

（Ⅰ）当时,若方程在区间上有唯一解,求的取值范围．

8   导数综合提升

【课前诊断】

成绩（满分10）：                       完成情况：   优/中/差  

1．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间;

（Ⅱ）当时,都有成立,求的取值范围;

2．已知函数,其中．

（Ⅱ）证明:是函数存在最小值的充分而不必要条件．

【知识点一】

当函数的导函数不能确定正负性时，可构造新函数，通过的正负性，判断出新函数的单调性，进而判断函数的最值以及正负性，通过判断的正负性，从而判断函数的单调性

【典型例题】

考点一： 通过二阶导判断一阶导恒正或恒负

例1．已知函数．

（Ⅰ）求的零点;

（Ⅱ）当时,求证:在区间上为增函数．

练1．已知函数．

（Ⅱ）当时,判断在上的单调性,并说明理由;

练2．已知函数，，．

（Ⅱ）当时，求证：函数在上单调递减．

考点二、通过二阶导判断一阶导正负，零点可求/可猜根

例1．已知函数，，，，且曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线．设．

（Ⅰ）求的值，及，的关系式；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，若对于任意，，，都有，求的取值范围．

练1已知函数

（Ⅱ）求的单调区间;

（Ⅲ）设,若关于的不等式有解,求实数的取值范围．

练2．已知函数，．

（Ⅱ）求函数在区间，上的最大值和最小值．

考点三、通过二阶导判断一阶导正负，不可猜根（虚设零点）

例1．已知函数，．

（Ⅰ）若，

 （ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

 （ⅱ）求函数在区间内的极大值的个数．

（Ⅱ）若在内单调递减，求实数的取值范围．

练1．已知函数．

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值

范围．

练2．已知函数．

（Ⅱ）求在上的单调区间；

（Ⅲ）当时，证明：在上存在最小值．

【知识点二】

利用导数求函数的最值,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题．

假设是方程的根，反代消参，构造关于零点的单一函数

①如果问题要求解或证明的结论与参数无关，我们虚设零点后，一般不要用参数表示零点，而是反过来用零点表示参数，然后把极值函数变成关于零点的单一函数，构造新函数求最值

②如果是二次方程，有两个根，，我们可以利用韦达定理建立+，与参数的关系式，再考虑用零点表示参数，利用恒等变形构造

出，令t=，把极值函数转化为单一变量t的函数

③整体代换，把超越式转化为一般式是一个超越方程，无法求出根的具体值，可以虚设，通过整体代换将超越式化成普通的代数式

【典型例题】

考点一： 集反代消参，构造关于零点单一函数

例1．已知函数．

（Ⅱ）当时,若函数的最大值为,求的值．

练1．已知函数,其中．

（Ⅱ）当时,证明:存在最小值．

考点二：整体代换，将超越式换成普通式

例1．已知函数．

求证:当时,曲线总在曲线的上方．

练1．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：．

考点三：整降次留参，建立含有参数的方程

例1.   已知函数．若,求证:．

练1．设函数．

（Ⅰ）当b=0时，求函数的极小值；

（Ⅱ）若已知b>1且函数与直线y=-x相切，求b的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数与直线y=-x+m有三个公共点，求m的取值范围．(直接写出答案)

【知识点三】
导数的综合应用题中，最常见就是和与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对和进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：

（1），当且仅当时取等号；

（2），当且仅当时取等号；

（3），当且仅当时取等号．

【典型例题】

考点一．分而治之证明不等式

例1．设函数，其中．曲线在点处的切线经过点．

（1）求 的值；

（2）求函数的极值；

（3）证明：

练1．已知

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明对于任意的成立．

考点二、拆分法证明不等式

例1．已知函数，

（1）若，求的取值范围；www.ks5u.com

（2）证明：

考点三： 放缩法证明不等式

例1．已知函数，且．

（1）求的解析式；

（2）若对于任意，都有，求的最小值；

（3）证明：函数的图象在直线的下方．

练1． 已知函数．

（1）当时，

①求曲线在点处的切线方程；

②求函数的最小值；

（2）求证：当时，曲线与有且只有一个交点．

练2．已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，证明：．

【知识点四】

一．利用构造新函数证明导数的不等关系

1 ．利用求导公式进行新函数的构造

关系式为“加”型

（1）  构造

（2）  构造

（3）  构造

（注意对的符号进行讨论）

关系式为“减”型

（1）  构造

（2）  构造

（3）  构造

（注意对的符号进行讨论）

二、利用构造函数解决最值问题的证明

1．构造函数解决恒成立问题

都有 （ ）成立时 （）

都有 （）成立时 （）；

2．证明形如f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型问题

通常将f（a）+ g（a）≥f（b）+ g（b）进行等价变换，根据不等式左右两边的结构特点，构造新函数h（x）= f（x）+ g（x）．

【典型例题】

考点一：从条件特征入手构造函数证明

例1．若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．a>b

练1．设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有

 A． B．

 C． D．

练2．已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则

 A． B．

 C． D．

考点二：利用函数特点构造函数解决恒成立问题

例1．已知函数．当时，求证：

例2．设函数,

（Ⅱ）当时,恒成立,求的取值范围．

例3．已知函数．若在区间上恒成立,求的最小值

练1．已知函数．设实数使得恒成立，求的取值范围；

【小试牛刀】

1．已知函数．

（Ⅱ）若方程在上恰有两个不同的实数根,求的取值范围;

2．已知函数，

(1)当时，求函数的最小值；

(2)若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围．

3．已知函数．求证:当时,曲线总在曲线的上方．

【巩固练习——基础篇】

1已知函数．

（Ⅱ）若,求函数的单调区间;

2．已知函数 (为自然对数的底数，为常数)的图象在点处的切线斜率为．

（1）求的值及函数的极值；

（2）求证：当时，

3．已知在处的切线方程为

（Ⅰ）求的解析式;

（Ⅱ）设求零点的个数;

（Ⅲ）求证:在上单调递增．

4．已知，函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：对于任意的，都有．

5．已知函数．

（Ⅰ）当时,求函数在区间上的最大值;

（Ⅱ）函数在区间上存在最小值,记为,求证:．

6．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间

（Ⅱ）求证：曲线在点处的切线不经过原点；

（Ⅲ）设整数使得对恒成立，求整数的最大值．

【巩固练习——提高篇】

1．已知函数,．

（Ⅰ）求函数的单调区间;

（Ⅱ）当时,求证:曲线在抛物线的上方．

2．已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）证明：当，且时，．

3．已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有．

4．已知函数

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点 ，求证：．

5．设函数

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时，，求的取值范围

6．已知函数．

⑴当时，求函数的极值；

⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围