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专题 用勾股定理解决折叠问题问题
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这是一份专题 用勾股定理解决折叠问题问题，共32页。
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 用勾股定理解决折叠问题问题
一、单选题
1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=8，△ABF的面积为24，则EC等于（ ）
A．3 B．103 C．5 D．83
2．（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为（ ）
A．103 B．3 C．5 D．83
3．（2022春·河南郑州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（ ）
A．152 B．254 C．4 D．5
4．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．3 B．103 C．154 D．5
5．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
6．（2022春·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；③△DCE与△BDF的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面积为154，则BD的长是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．5
8．（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B．83 C．3 D．103
9．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（ ）
A．185 B．165 C．125 D．95
10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则DF的长为（ ）
A．3911 B．4513 C．175 D．5717
二、填空题
11．（2022春·江苏南京·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在AD上连接AF，则AE=______．
12．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上F处，折痕交于点E，已知AB=8，AD=10，则DE=___________．
13．（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为______
14．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将长方形纸片沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=6，AD=10，则EC的长为________．
15．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=6．先对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，再将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上时，则BM的长为______．
16．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为_____．
17．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=7，BC=23，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，S△ACD=S△AED，则AC=____________．
18．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为___________．
19．（2022春·广东深圳·八年级深圳市罗湖中学统考期中）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'上，且AB=10，BC=8，则AE=___________．
20．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若PMB为直角三角形，则AM的长为_____．
三、解答题
21．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，求AD的长．
22．（2019秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.
（1）试说明B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.
23．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，
(1)试说明△GEF≌△GBP
(2)求BF的长
24．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10．
(1)求证：∠BAC+∠ABC=90°；
(2)将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CD的长．
25．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13
(1)如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长．
(2)如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
26．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图1，如果点B′恰好与顶点A重合，求CE的长；
(2)如图2，如果点B′恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．
27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在B′点处，连接B′C，
(1)求线段AE的长
(2)判断AE与B′C 的位置关系，并说明理由
(3)求线段B′C的长
28．（2022春·浙江衢州·八年级统考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连结AC′．
(1)求证：△ADE是直角三角形；
(2)当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
29．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合；将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
(1)证明FA=FP；
(2)当P为BC中点时，求AF的值；
(3)连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 用勾股定理解决折叠问题问题答案
一、单选题
1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=8，△ABF的面积为24，则EC等于（ ）
A．3 B．103 C．5 D．83
【答案】A
2．（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为（ ）
A．103 B．3 C．5 D．83
【答案】A
3．（2022春·河南郑州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（ ）
A．152 B．254 C．4 D．5
【答案】B
4．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．3 B．103 C．154 D．5
【答案】B
5．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
6．（2022春·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；③△DCE与△BDF的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面积为154，则BD的长是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．5
【答案】B
8．（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B．83 C．3 D．103
【答案】B
9．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（ ）
A．185 B．165 C．125 D．95
【答案】A
10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则DF的长为（ ）
A．3911 B．4513 C．175 D．5717
【答案】C
二、填空题
11．（2022春·江苏南京·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在AD上连接AF，则AE=______．
【答案】53或123
12．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上F处，折痕交于点E，已知AB=8，AD=10，则DE=___________．
【答案】5
13．（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为______
【答案】2
14．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将长方形纸片沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=6，AD=10，则EC的长为________．
【答案】83
15．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=6．先对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，再将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上时，则BM的长为______．
【答案】16−473
16．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为_____．
【答案】74
【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，从而可证∠FEC=90°
17．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=7，BC=23，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，S△ACD=S△AED，则AC=____________．
【答案】31
18．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为___________．
【答案】0，78
19．（2022春·广东深圳·八年级深圳市罗湖中学统考期中）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'上，且AB=10，BC=8，则AE=___________．
【答案】5
20．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若PMB为直角三角形，则AM的长为_____．
【答案】2或2+63
【分析】分两种情形：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当∠MPB=90°时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，
在Rt△ACM中，
∵∠A=45°，AC=2，
∴AM=CM=2，
在Rt△BCM中，
∵∠B=30°，CM=2，
∴BM=3CM=6，
∴AB=AM+BM=2+6，
如图2中，当∠MPB=90°时，
由翻折可知，AM=PM，
在Rt△PMB中，
∵∠B=30°，
∴BM=2PM=2AM，
∴3AM=AB，
∴AM=2+63．
综上所述，满足条件的AM的值为2或2+63．
故答案为：2或2+63．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，求AD的长．
【答案】15
【分析】设BF＝x，由折叠的性质可得AB=CD＝3x，AE=EF=3x−4，根据勾股定理可求出BF、CD的长，再设AD=BC=y，则DF=y，CF=y−3，根据勾股定理即可求解AD．
【详解】由折叠的性质可知AE=EF，AD=DF，
设BF＝x，则AB=CD＝3x，AE=EF=3x−4，
在Rt△BEF中：BE2+BF2=EF2，
42+x2=(3x−4)2
解得：8x2=24x
x=3或x=0（舍）
∴BF＝3，CD＝9，
设AD=BC=y，则DF=y，CF=y−3，
在Rt△DFC中：CD2+CF2=DF2，
92+(y−3)2=y2
解得：y=15
∴AD的长为15．
【点睛】本题主要考查了折叠变换、矩形的性质、勾股定理的运用，合理利用勾股定理转换是解题关键．
22．（2019秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.
（1）试说明B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A′B′E中，由勾股定理可得a，b，c之间的关系．
【详解】（1）由折叠的性质 ，得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B′EF，
∴B′F=B′E，
∴B′E=BF．
（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由如下：
由（1）知B′E=BF=c，由折叠的性质，
得∠A′=∠A=90°，A′E=AE=a，A′B′=AB=b．
在△A′B′E中，∠A′=90°，
所以A′E2+A′B′2=B′E2，所以a2+b2=c2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
23．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，
(1)试说明△GEF≌△GBP
(2)求BF的长
【答案】(1)见解析
(2)125
【分析】（1）根据折叠的性质可得出DC=DE=4,CP=EP可得出△GEF≌△GBP；
（2）根据全等三角形的性质可得出EF=BP,GF=GP，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
Rt△ADF中，根据勾股定理，可得到x的值．
【详解】（1）解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4,CP=EP．
在△GEF和△GBP中，
∠EGF=∠BGPGE=GB∠E=∠B，
∴△GEF≌△GBPASA；
（2）解：∵△GEF≌△GBP，
∴EF=BP,GF=GP，
∴BF=EP=CP，
设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
∵∠A=90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
∴4−x2+32=1+x2，
∴x=125，
∴BF=125．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
24．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10．
(1)求证：∠BAC+∠ABC=90°；
(2)将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)74
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，即可得出答案；
（2）由折叠知：DA=DB，设CD=x，则AD=BD=8−x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
即∠BAC+∠ABC=90°；
（2）解：由折叠知：DA=DB，△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，AC2＋CD2=AD2①，
设CD=x，则AD=BD=8−x，
代入①式得62+x2=8−x2
化简得36=64−16x，
解得：x=74，
即CD的长为74．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
25．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13
(1)如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长．
(2)如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
【答案】(1)103
(2)AF=1或132
【分析】（1）设CE=x，则BE=12−x，根据折叠的性质得出DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；
（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：设CE=x，则BE=12−x
∵∠ACB=90°，AC=5，AB=13
∴BC=12
∵△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合
∴DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，
∴BD=AB−AD=8
在Rt△BDE中，∠BDE=90°
∴82+x2=12−x2
解得x=103，
∴CE=103；
（2）解：∵△BCF是等腰三角形，
①BC=BF =12，
∴AF=AB−BF=13−12=1，
②当FB=FC时，如图，
∴∠B=∠FCB，
又∵∠FCB+∠FCA=90°,∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠FCA，
∴FC=FA，
∴FA=FB=12AB=132．
③∵点F为斜边上AB上动点，所以CB=CF不存在，
综上所述，AF=1或132．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键．
26．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图1，如果点B′恰好与顶点A重合，求CE的长；
(2)如图2，如果点B′恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．
【答案】(1)74；
(2)5516．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长；
（2）点B′是直角边AC的中点，可以得到B′C的长度，再利用翻折得到B′E=BE，在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的长．
（1）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴AB=AC2+BC2=10
根据折叠的性质，
∴△ADE≌△BDE
∴AE=BE
设CE为x，则：AE=BE =8-x
在Rt△ACE中：x2+62=8−x2
解得：x=74
即CE的长为：74．
（2）
解：∵点B′是直角边AC的中点
∴B′C=12AC=3
根据折叠的性质，
∴△B'DE≌△BDE
∴B′E=BE
设CE为x，则：B′E=BE =8-x
在Rt△B'CE中：x2+32=8−x2
解得：x=5516
即CE的长为：5516．
【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．
27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在B′点处，连接B′C，
(1)求线段AE的长
(2)判断AE与B′C 的位置关系，并说明理由
(3)求线段B′C的长
【答案】(1)AE=10
(2)AE∥B′C，理由见解析
(3)B′C=365
【分析】（1）由BC=12，点E为BC的中点，得出BE=12BC=6，再由勾股定理求解即可；
（2）由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，得到BE=B′E，再由点E为BC的中点，得到B′E=CE，由三角形外角和定理，得出∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，则∠AEB=∠ECB′，即可判断
（3）连接BB′交AE于H，由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，再由面积不变，得：AB⋅BE=AE⋅BH，得到BH的长度，由AE∥B′C，得∠BB′C=90°，用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ BC=12，点E为BC的中点，
∴BE=12BC=6，
∴AE=AB2+BE2=10；
（2）AE∥B′C，
理由如下：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，
∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴B′E=CE，
∴∠EB′C=∠ECB′，
而∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，
∴∠AEB+∠AEB′=∠EB′C+∠ECB′，
∴2∠AEB=2∠ECB′，
∴∠AEB=∠ECB′，
∴AE∥B′C；
（3）连接BB′交AE于H，如图：
由（1）得AE=10，
∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，
∴BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，
∴BH=B′H，
由面积不变，得：
AB⋅BE=AE⋅BH
∴BH=AB⋅BEAE=6×810=245
∴BB′=BH+B′H=485，
由（2）知，AE∥B′C，
∴∠BB′C=∠BHE=90°，
∴B′C=BC2−BB′2=365．
【点睛】本题考查直角三角形得性质，等腰三角形得判定，两直线平行的判定，平行线的性质，勾股定理等知识点，能够准确识图，并化出辅助线是解题关键．
28．（2022春·浙江衢州·八年级统考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连结AC′．
(1)求证：△ADE是直角三角形；
(2)当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
【答案】(1)见详解
(2)78或43
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，再根据平角的性质可得∠ABD+∠AB′D+∠CDE+∠C′DE=180°，从而推算出∠AB′D+∠C′DE=90°，最终得到∠ADE=90°；
（2）根据AD=DC′和AD=AC′两种情况展开讨论，当AD=DC′，设BD=x可得DC=4−x，根据折叠的性质得AD=DC=4−x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD=AC′，可得B′是DC′的中点，设BD=x，DC=4−x，可得DB′=4−x2，根据折叠的性质得BD=DB′，建立方程解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：根据题意得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，
∵∠ABD+∠AB′D+∠CDE+∠C′DE=180°，
∴2∠AB′D+2∠C′DE=180°，
∴∠AB′D+∠C′DE=90°，
∴∠ADE=90°，
∴△ADE是直角三角形；
（2）当AD=DC′时，设BD=x，
得DC=4−x，
∵DC′=DC，
∴AD=DC=4−x，
在Rt△ABC中AB2+BD2=AD2,
∴9+x2=4−x2，
∴x=78；
当AD=AC′时，
∵AB′⊥DC′，
∴B′是DC′的中点，
∵DC′=DC，
∴DB′=12DC，
设BD=x，则DC=4−x，
∴DB′=4−x2，
∵BD=DB′，
∴x=4−x2，
∴x=43，
∴当BD=78或BD=43时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．
29．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
【答案】(1)3
(2)53或910
(3)2或8
【分析】（1）根据折叠的性质可得AB=AQ=5，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当DE=DB′时，过点D作DJ⊥EB′于点J．先证明△DEA≌△DEJ，可得AE=EJ=JB′，从而得到BE=2AE，可求出AE，当DE=EB′时，设BE=EB′=DE=x，则AE=5−x，根据DE2=AD2+AE2，求出x，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点M在线段AB上时，当点M在AB的延长线上时，即可求解．
【详解】（1）解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，
由翻折变换的性质可知AB=AQ=5，
∵AD=4，
∴DQ=AQ2−AD2=52−42=3，
故答案为：3；
（2）解：如图，当DE=DB′时，过点D作DJ⊥EB′于点J．
∵DE=DB′，DJ⊥EB′，
∴EJ=JB′，
∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠DEA=90°，∠FEB′+∠DEB′=90°，
∵∠BEF=∠B′EF，
∴∠DEJ=∠DEA，
∵∠A=∠DJE=90°，DE=DE，
∴△DEA≌△DEJAAS，
∴AE=EJ=JB′，
∵EB=EB′，
∴BE=2AE，
∵AB=5，
∴AE=13AB=53；
如图，当DE=EB′时，
设BE=EB′=DE=x，则AE=5−x，
∵DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+5−x2，
∴x=4110，
∴AE=AB−BE=5−4110=910．
综上所述，AE的长为53或910；
（3）解：如图，当点M在线段AB上时，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，
∵∠AMD=∠A′MD，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM=5，
∵∠CBM=90°，
∴BM=CM2−BC2=52−42=3，
∴AM=AB−BM=5−3=2．
如图，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD=CM=5，
∵∠CBM=90°，CB=4，
∴BM=CM2−CB2=52−42=3，
∴AM=AB+BM=5+3=8．
综上所述，满足条件的AM的长为2或8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合；将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
(1)证明FA=FP；
(2)当P为BC中点时，求AF的值；
(3)连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
【答案】(1)证明见解析
(2)AF=132
(3)12
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质证明∠FAP=∠APF，即可证明FA=FP；
（2）由折叠的性质可知B′P=BP=4，∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=6，设AF=PF=x，则B′F=PF−B′P=x−4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得： x2=x−42+62，据此求解即可；
（3）由题意得C△PCB′=8+B′C则要使△PCB′的周长最小，即要使B′C最小，故当A、B′、C三点共线时B′C最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠FAP，
由折叠的性质可知∠APB=∠APF，
∴∠FAP=∠APF，
∴FA=FP
（2）解：∵P是BC的中点，
∴BP=12BC=4，
由折叠的性质可知B′P=BP=4，∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=6，
设AF=PF=x，则B′F=PF−B′P=x−4，
在Rt△AB′F中，由勾股定理得：AF2=B′F2+AB′2，
∴x2=x−42+62，
解得x=132，
∴AF=132；
（3）解：由题意得C△PCB′=PC+B′C+B′P=PC+B′C+BP=8+B′C，
∴要使△PCB′的周长最小，即要使B′C最小，
∴当A、B′、C三点共线时B′C最小，
连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2+BC2=10，
∴B′C最小值=AC−AB′=4，
∴△PCB′的周长最小值为8+4=12；
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 用勾股定理解决折叠问题问题
一、单选题
1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=8，△ABF的面积为24，则EC等于（ ）
A．3 B．103 C．5 D．83
2．（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为（ ）
A．103 B．3 C．5 D．83
3．（2022春·河南郑州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（ ）
A．152 B．254 C．4 D．5
4．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．3 B．103 C．154 D．5
5．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
6．（2022春·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；③△DCE与△BDF的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面积为154，则BD的长是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．5
8．（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B．83 C．3 D．103
9．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（ ）
A．185 B．165 C．125 D．95
10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则DF的长为（ ）
A．3911 B．4513 C．175 D．5717
二、填空题
11．（2022春·江苏南京·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在AD上连接AF，则AE=______．
12．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上F处，折痕交于点E，已知AB=8，AD=10，则DE=___________．
13．（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为______
14．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将长方形纸片沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=6，AD=10，则EC的长为________．
15．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=6．先对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，再将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上时，则BM的长为______．
16．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为_____．
17．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=7，BC=23，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，S△ACD=S△AED，则AC=____________．
18．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为___________．
19．（2022春·广东深圳·八年级深圳市罗湖中学统考期中）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'上，且AB=10，BC=8，则AE=___________．
20．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若PMB为直角三角形，则AM的长为_____．
三、解答题
21．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，求AD的长．
22．（2019秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.
（1）试说明B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.
23．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，
(1)试说明△GEF≌△GBP
(2)求BF的长
24．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10．
(1)求证：∠BAC+∠ABC=90°；
(2)将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CD的长．
25．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13
(1)如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长．
(2)如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
26．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图1，如果点B′恰好与顶点A重合，求CE的长；
(2)如图2，如果点B′恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．
27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在B′点处，连接B′C，
(1)求线段AE的长
(2)判断AE与B′C 的位置关系，并说明理由
(3)求线段B′C的长
28．（2022春·浙江衢州·八年级统考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连结AC′．
(1)求证：△ADE是直角三角形；
(2)当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
29．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合；将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
(1)证明FA=FP；
(2)当P为BC中点时，求AF的值；
(3)连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 用勾股定理解决折叠问题问题答案
一、单选题
1．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=8，△ABF的面积为24，则EC等于（ ）
A．3 B．103 C．5 D．83
【答案】A
2．（2022春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为（ ）
A．103 B．3 C．5 D．83
【答案】A
3．（2022春·河南郑州·八年级校考期中）在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°．现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则AE的长是（ ）
A．152 B．254 C．4 D．5
【答案】B
4．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，有一个直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（ ）
A．3 B．103 C．154 D．5
【答案】B
5．（2022春·广东深圳·八年级统考期中）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，CE=1，AC=4，则下列结论：①BC=2CD；②BD>CE；③∠CED+∠DFB=2∠EDF；④△DCE与△BDF的周长相等．一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
6．（2022春·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，把纸片沿EF对折后，点A恰好落在BC上的点D处，点CE=1，AC=4，则下列结论：①BD>CE；②BC=2CD；③△DCE与△BDF的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
7．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把ΔABD沿着直线AD翻折，得到ΔAED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG=EG,AF=4,AB=5，ΔAEG的面积为154，则BD的长是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．5
【答案】B
8．（2022秋·山东滨州·八年级校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2 B．83 C．3 D．103
【答案】B
9．（2022秋·辽宁铁岭·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（ ）
A．185 B．165 C．125 D．95
【答案】A
10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则DF的长为（ ）
A．3911 B．4513 C．175 D．5717
【答案】C
二、填空题
11．（2022春·江苏南京·八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在AD上连接AF，则AE=______．
【答案】53或123
12．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，将长方形ABCD折叠，使顶点D恰好落在BC边上F处，折痕交于点E，已知AB=8，AD=10，则DE=___________．
【答案】5
13．（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AD=BC=6，AB=CD=10．点E为线段DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为______
【答案】2
14．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，长方形纸片ABCD的边CD上有一点E，连接AE，将长方形纸片沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若AB=6，AD=10，则EC的长为________．
【答案】83
15．（2022春·山西运城·八年级统考期中）如图，一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=6．先对折长方形纸片使AB与CD重合，得到折痕EF，再将△ABM沿AM折叠，当点B′恰好落在折痕EF上时，则BM的长为______．
【答案】16−473
16．（2022春·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为_____．
【答案】74
【分析】先求出AC，再由翻折可得∠B=∠DEC，∠A=∠DEF，CE=BC=6，AF=EF，从而可证∠FEC=90°
17．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=7，BC=23，点D为BC上一点，连接AD，将△ABD沿AD翻折，得到△AED，连接BE．若BE=DE，S△ACD=S△AED，则AC=____________．
【答案】31
18．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A0，4、B6，0．现将ΔACD折叠，使点A落在OB边的中点A′处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为___________．
【答案】0，78
19．（2022春·广东深圳·八年级深圳市罗湖中学统考期中）如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C'，点D的对应点为D'，若点A在C'D'上，且AB=10，BC=8，则AE=___________．
【答案】5
20．（2022秋·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，在ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AC=2，点M、N分别是边AB、AC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠A，使点A的对应点P始终落在边BC上，若PMB为直角三角形，则AM的长为_____．
【答案】2或2+63
【分析】分两种情形：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当∠MPB=90°时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当∠CMB=90°时，由题意可知点P与C重合，
在Rt△ACM中，
∵∠A=45°，AC=2，
∴AM=CM=2，
在Rt△BCM中，
∵∠B=30°，CM=2，
∴BM=3CM=6，
∴AB=AM+BM=2+6，
如图2中，当∠MPB=90°时，
由翻折可知，AM=PM，
在Rt△PMB中，
∵∠B=30°，
∴BM=2PM=2AM，
∴3AM=AB，
∴AM=2+63．
综上所述，满足条件的AM的值为2或2+63．
故答案为：2或2+63．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，求AD的长．
【答案】15
【分析】设BF＝x，由折叠的性质可得AB=CD＝3x，AE=EF=3x−4，根据勾股定理可求出BF、CD的长，再设AD=BC=y，则DF=y，CF=y−3，根据勾股定理即可求解AD．
【详解】由折叠的性质可知AE=EF，AD=DF，
设BF＝x，则AB=CD＝3x，AE=EF=3x−4，
在Rt△BEF中：BE2+BF2=EF2，
42+x2=(3x−4)2
解得：8x2=24x
x=3或x=0（舍）
∴BF＝3，CD＝9，
设AD=BC=y，则DF=y，CF=y−3，
在Rt△DFC中：CD2+CF2=DF2，
92+(y−3)2=y2
解得：y=15
∴AD的长为15．
【点睛】本题主要考查了折叠变换、矩形的性质、勾股定理的运用，合理利用勾股定理转换是解题关键．
22．（2019秋·河南漯河·八年级统考期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处.
（1）试说明B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A′B′E中，由勾股定理可得a，b，c之间的关系．
【详解】（1）由折叠的性质 ，得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B′EF，
∴B′F=B′E，
∴B′E=BF．
（2）a，b，c之间的关系是a2+b2=c2．理由如下：
由（1）知B′E=BF=c，由折叠的性质，
得∠A′=∠A=90°，A′E=AE=a，A′B′=AB=b．
在△A′B′E中，∠A′=90°，
所以A′E2+A′B′2=B′E2，所以a2+b2=c2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
23．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB于点G，F，若GE=GB，
(1)试说明△GEF≌△GBP
(2)求BF的长
【答案】(1)见解析
(2)125
【分析】（1）根据折叠的性质可得出DC=DE=4,CP=EP可得出△GEF≌△GBP；
（2）根据全等三角形的性质可得出EF=BP,GF=GP，设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
Rt△ADF中，根据勾股定理，可得到x的值．
【详解】（1）解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4,CP=EP．
在△GEF和△GBP中，
∠EGF=∠BGPGE=GB∠E=∠B，
∴△GEF≌△GBPASA；
（2）解：∵△GEF≌△GBP，
∴EF=BP,GF=GP，
∴BF=EP=CP，
设BF=EP=CP=x，则AF=4−x,BP=3−x=EF,DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
∵∠A=90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
∴4−x2+32=1+x2，
∴x=125，
∴BF=125．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
24．（2022春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）如图，有一张三角形纸片，三边长分别为AC=6，BC=8，AB=10．
(1)求证：∠BAC+∠ABC=90°；
(2)将△ABC沿DE折叠，使点B与点A重合，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)74
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，即可得出答案；
（2）由折叠知：DA=DB，设CD=x，则AD=BD=8−x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
即∠BAC+∠ABC=90°；
（2）解：由折叠知：DA=DB，△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，AC2＋CD2=AD2①，
设CD=x，则AD=BD=8−x，
代入①式得62+x2=8−x2
化简得36=64−16x，
解得：x=74，
即CD的长为74．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
25．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13
(1)如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长．
(2)如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长．
【答案】(1)103
(2)AF=1或132
【分析】（1）设CE=x，则BE=12−x，根据折叠的性质得出DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；
（2）根据等腰三角形的定义，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：设CE=x，则BE=12−x
∵∠ACB=90°，AC=5，AB=13
∴BC=12
∵△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合
∴DE=CE=x，AD=AC=5，∠BDE=90°，
∴BD=AB−AD=8
在Rt△BDE中，∠BDE=90°
∴82+x2=12−x2
解得x=103，
∴CE=103；
（2）解：∵△BCF是等腰三角形，
①BC=BF =12，
∴AF=AB−BF=13−12=1，
②当FB=FC时，如图，
∴∠B=∠FCB，
又∵∠FCB+∠FCA=90°,∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠FCA，
∴FC=FA，
∴FA=FB=12AB=132．
③∵点F为斜边上AB上动点，所以CB=CF不存在，
综上所述，AF=1或132．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，掌握分类讨论思想是解题的关键．
26．（2022秋·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′．
(1)如图1，如果点B′恰好与顶点A重合，求CE的长；
(2)如图2，如果点B′恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．
【答案】(1)74；
(2)5516．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长；
（2）点B′是直角边AC的中点，可以得到B′C的长度，再利用翻折得到B′E=BE，在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的长．
（1）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴AB=AC2+BC2=10
根据折叠的性质，
∴△ADE≌△BDE
∴AE=BE
设CE为x，则：AE=BE =8-x
在Rt△ACE中：x2+62=8−x2
解得：x=74
即CE的长为：74．
（2）
解：∵点B′是直角边AC的中点
∴B′C=12AC=3
根据折叠的性质，
∴△B'DE≌△BDE
∴B′E=BE
设CE为x，则：B′E=BE =8-x
在Rt△B'CE中：x2+32=8−x2
解得：x=5516
即CE的长为：5516．
【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．
27．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=12，点E为BC的中点，将△ABE沿直线AE 折叠，点B落在B′点处，连接B′C，
(1)求线段AE的长
(2)判断AE与B′C 的位置关系，并说明理由
(3)求线段B′C的长
【答案】(1)AE=10
(2)AE∥B′C，理由见解析
(3)B′C=365
【分析】（1）由BC=12，点E为BC的中点，得出BE=12BC=6，再由勾股定理求解即可；
（2）由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，得到BE=B′E，再由点E为BC的中点，得到B′E=CE，由三角形外角和定理，得出∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，则∠AEB=∠ECB′，即可判断
（3）连接BB′交AE于H，由△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，再由面积不变，得：AB⋅BE=AE⋅BH，得到BH的长度，由AE∥B′C，得∠BB′C=90°，用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ BC=12，点E为BC的中点，
∴BE=12BC=6，
∴AE=AB2+BE2=10；
（2）AE∥B′C，
理由如下：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，
∴∠AEB=∠AEB′，BE=B′E，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴B′E=CE，
∴∠EB′C=∠ECB′，
而∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′，
∴∠AEB+∠AEB′=∠EB′C+∠ECB′，
∴2∠AEB=2∠ECB′，
∴∠AEB=∠ECB′，
∴AE∥B′C；
（3）连接BB′交AE于H，如图：
由（1）得AE=10，
∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在B′点处，
∴BB′⊥AE，即BH是△ABE的高，
∴BH=B′H，
由面积不变，得：
AB⋅BE=AE⋅BH
∴BH=AB⋅BEAE=6×810=245
∴BB′=BH+B′H=485，
由（2）知，AE∥B′C，
∴∠BB′C=∠BHE=90°，
∴B′C=BC2−BB′2=365．
【点睛】本题考查直角三角形得性质，等腰三角形得判定，两直线平行的判定，平行线的性质，勾股定理等知识点，能够准确识图，并化出辅助线是解题关键．
28．（2022春·浙江衢州·八年级统考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B′，C′处，且边DB′与DC′在同一直线上，连结AC′．
(1)求证：△ADE是直角三角形；
(2)当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
【答案】(1)见详解
(2)78或43
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，再根据平角的性质可得∠ABD+∠AB′D+∠CDE+∠C′DE=180°，从而推算出∠AB′D+∠C′DE=90°，最终得到∠ADE=90°；
（2）根据AD=DC′和AD=AC′两种情况展开讨论，当AD=DC′，设BD=x可得DC=4−x，根据折叠的性质得AD=DC=4−x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD=AC′，可得B′是DC′的中点，设BD=x，DC=4−x，可得DB′=4−x2，根据折叠的性质得BD=DB′，建立方程解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：根据题意得∠ABD=∠AB′D,∠CDE=∠C′DE，
∵∠ABD+∠AB′D+∠CDE+∠C′DE=180°，
∴2∠AB′D+2∠C′DE=180°，
∴∠AB′D+∠C′DE=90°，
∴∠ADE=90°，
∴△ADE是直角三角形；
（2）当AD=DC′时，设BD=x，
得DC=4−x，
∵DC′=DC，
∴AD=DC=4−x，
在Rt△ABC中AB2+BD2=AD2,
∴9+x2=4−x2，
∴x=78；
当AD=AC′时，
∵AB′⊥DC′，
∴B′是DC′的中点，
∵DC′=DC，
∴DB′=12DC，
设BD=x，则DC=4−x，
∴DB′=4−x2，
∵BD=DB′，
∴x=4−x2，
∴x=43，
∴当BD=78或BD=43时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠的性质，根据题意建立方程．
29．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5，BC=AD=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻折得△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
【答案】(1)3
(2)53或910
(3)2或8
【分析】（1）根据折叠的性质可得AB=AQ=5，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当DE=DB′时，过点D作DJ⊥EB′于点J．先证明△DEA≌△DEJ，可得AE=EJ=JB′，从而得到BE=2AE，可求出AE，当DE=EB′时，设BE=EB′=DE=x，则AE=5−x，根据DE2=AD2+AE2，求出x，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点M在线段AB上时，当点M在AB的延长线上时，即可求解．
【详解】（1）解： ∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，
由翻折变换的性质可知AB=AQ=5，
∵AD=4，
∴DQ=AQ2−AD2=52−42=3，
故答案为：3；
（2）解：如图，当DE=DB′时，过点D作DJ⊥EB′于点J．
∵DE=DB′，DJ⊥EB′，
∴EJ=JB′，
∵DE⊥EF，
∴∠BEF+∠DEA=90°，∠FEB′+∠DEB′=90°，
∵∠BEF=∠B′EF，
∴∠DEJ=∠DEA，
∵∠A=∠DJE=90°，DE=DE，
∴△DEA≌△DEJAAS，
∴AE=EJ=JB′，
∵EB=EB′，
∴BE=2AE，
∵AB=5，
∴AE=13AB=53；
如图，当DE=EB′时，
设BE=EB′=DE=x，则AE=5−x，
∵DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+5−x2，
∴x=4110，
∴AE=AB−BE=5−4110=910．
综上所述，AE的长为53或910；
（3）解：如图，当点M在线段AB上时，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，
∵∠AMD=∠A′MD，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM=5，
∵∠CBM=90°，
∴BM=CM2−BC2=52−42=3，
∴AM=AB−BM=5−3=2．
如图，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD=CM=5，
∵∠CBM=90°，CB=4，
∴BM=CM2−CB2=52−42=3，
∴AM=AB+BM=5+3=8．
综上所述，满足条件的AM的长为2或8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）如图，长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合；将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F．
(1)证明FA=FP；
(2)当P为BC中点时，求AF的值；
(3)连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
【答案】(1)证明见解析
(2)AF=132
(3)12
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质证明∠FAP=∠APF，即可证明FA=FP；
（2）由折叠的性质可知B′P=BP=4，∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=6，设AF=PF=x，则B′F=PF−B′P=x−4，在Rt△AB′F中，由勾股定理得： x2=x−42+62，据此求解即可；
（3）由题意得C△PCB′=8+B′C则要使△PCB′的周长最小，即要使B′C最小，故当A、B′、C三点共线时B′C最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠APB=∠FAP，
由折叠的性质可知∠APB=∠APF，
∴∠FAP=∠APF，
∴FA=FP
（2）解：∵P是BC的中点，
∴BP=12BC=4，
由折叠的性质可知B′P=BP=4，∠AB′P=∠B=90°，AB′=AB=6，
设AF=PF=x，则B′F=PF−B′P=x−4，
在Rt△AB′F中，由勾股定理得：AF2=B′F2+AB′2，
∴x2=x−42+62，
解得x=132，
∴AF=132；
（3）解：由题意得C△PCB′=PC+B′C+B′P=PC+B′C+BP=8+B′C，
∴要使△PCB′的周长最小，即要使B′C最小，
∴当A、B′、C三点共线时B′C最小，
连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2+BC2=10，
∴B′C最小值=AC−AB′=4，
∴△PCB′的周长最小值为8+4=12；
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
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