北京市顺义区2023届高三一模数学试题 （解析版）

北京市顺义区2023届高三一模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由集合的交集运算得出答案.

【详解】，，

，

故选：C.

2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为复数对应的点的坐标为，则

所以

故选:A

3．的展开式中的常数项为　　

A． B． C．6 D．24

【答案】D

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．

【详解】解：二项式展开式的通项为，

令，解得，

所以展开式的常数项为.

故选：D

4．若等差数列和等比数列满足，则的公差为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据等差等比数列的通项公式转化为首项与公比，公差的关系求解.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为

，又

又

，

故选：A

5．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析给定函数的奇偶性、单调性即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，函数是R上的奇函数，

函数的图象关于y轴对称，选项A，D不满足；

因为函数在R上单调递增，在R上单调递减，则函数在R上单调递增，选项C不满足，B满足.

故选：B

6．若双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案.

【详解】，

由于，所以，

所以，

故选：C

7．已知，，则“存在使得”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由诱导公式和余弦函数的特殊函数值，结合充分、必要条件知识进行推理可得.

【详解】若存在使得，

则，

∴，即，

∴存在使得，

∴“存在使得”是“”的充分条件；

当时，，此时

∴存在使得，

∴“存在使得”不是“”的必要条件.

综上所述，“存在使得”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

8．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数．为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的常数大约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值.

【详解】由题意可得，所以，，所以，，

所以，.

故选：B.

9．在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（    ）

A．与无关，与有关 B．与有关，与无关

C．与都有关 D．与都无关

【答案】D

【分析】根据得出平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，得到点到平面的距离为定值，而底面的面积也是定值，并补随的变化而变化，进而得到答案.

【详解】因为为正方体，所以

因为平面，平面，所以平面，

所以点到平面的距离也即到平面的距离，也即点到平面的距离不随的变化而变化，设点到平面的距离为，过点作，根据正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，，所以平面，则有，

因为且，所以四边形为平行四边形，所以，

所以点到的距离也即到的距离，且距离为1，所以（定值），

所以（定值），

则三棱锥的体积不随与的变化而变化，也即与与都无关.

故选：.

10．已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.

【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，

则，设，，

所以，

所以，

即的最小值为

故选：D.

【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法

一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；

二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.

二、填空题

11．函数的定义域为______________．

【答案】

【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.

【详解】因为函数

则，解得且

所以函数的定义域为

故答案为:

12．已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为_____________．

【答案】

【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到，

然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.

【详解】可整理为，

所以圆心为，根据垂径定理可得，，

所以，直线AB的方程为整理得.

故答案为:

13．若存在使得，则m可取的一个值为_____________．

【答案】（内的任一值均可）

【分析】根据题意可知：函数有零点，则，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解.

【详解】因为存在使得，

也即函数有零点，则有，解得：，

所以可取内的任意一个值，取，

故答案为：.（内的任一值均可）

14．如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论：

①为优函数；

②若为优函数，则；

③若为优函数，则在上单调递增；

④若在上单调递减，则为优函数．

其中，所有正确结论的序号是______________．

【答案】①②④

【分析】①计算出，故，得到①正确；

②赋值法得到，，依次类推得到；

③举出反例；

④由在上单调递减，得到，整理变形后相加得到，即，④正确.

【详解】因为，

所以

，

故，故是优函数，①正确；

因为为优函数，故，即，

，故，

同理可得，……，，②正确；

例如，满足，

即，为优函数，但在上单调递减，

故③错误；

若在上单调递减，

任取，，

则，即，

变形为，

两式相加得：，

因为，所以，

则为优函数，④正确.

故答案为：①②④

【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.

三、解答题

15．已知函数的一个零点为．

(1)求A和函数的最小正周期；

(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期.

（2）若恒成立，即求.

【详解】（1）的一个零点为

，即，

所以函数的最小正周期为.

（2）

当时有最大值，即 .

若恒成立，即,

所以，故的取值范围为.

16．为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．

(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：

(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为1

(3)2

【分析】（1）结合表格中数据求出概率；

（2）先得到只服用药物A和只服用药物B的患者7天内康复的概率，得到X的可能取值及相应的概率，得到分布列和期望；

（3）求出只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率，利用独立性重复试验求概率公式得到，列出不等式组，求出，结合得到答案.

【详解】（1）只服用药物A的人数为人，且能在14天内康复的人数有人，

故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为；

（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为，

只服用药物B的患者7天内康复的概率为，

其中X的可能取值为，

，，

，

则分布列为：

数学期望为；

（3）只服用药物A的患者中，14天内未康复的概率为，

，

令，即，

解得：，因为，所以.

17．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．

(1)求证：直线∥平面；

(2)已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．

条件①：平面平面；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)

【分析】（1）根据中位线定理和线面平行判定即可求解；（2）根据线面垂直的判定或性质，以及建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值即可进一步得解.

【详解】（1）

取PA中点F，

连接，

因为E是的中点，F是PA中点，

所以是中位线，

所以平行且等于AD的一半，

因为，

所以平行于，

又，

所以与平行且相等，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE平行于BF，

而平面，

平面，

所以直线∥平面.

（2）

若选①：平面平面，

取AD中点O，

因为侧面为等边三角形，

所以平面，

易证平面，

以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

，,

所以,

所以，

所以

所以，

所以,,

设平面的一个法向量为，

所以，

令，

解得，

所以，

易知地面一个法向量为，

又二面角的大小为，

所以，

所以，

解得，

又点M在棱上，所以，

所以，

所以的值为.

若选②：

则取AD中点O，

因为侧面为等边三角形，

所以平面，

连接OA,OC,OD，

易知，

所以，

以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

，,

所以,

所以，

所以

所以，

所以,,

设平面的一个法向量为，

所以，

令，

解得，

所以，

易知地面一个法向量为，

又二面角的大小为，

所以，

所以，

解得，

又点M在棱上，所以，

所以，

所以的值为.

18．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)当时，求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；

(2)对a进行分类讨论，由此求得的单调区间．

【详解】（1）当时，，

所以

又因为，，

所以在处的切线方程为，即

（2）由题意知，的定义域为R

①当时，，则当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当时，由得或，

（i）若，则，所以在R上单调递增，

（ii）若，则，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

（iii）若，则，

所以当或时，当时，

所以在上单调递减，在和上单调递增，

综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和；

当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和．

19．已知椭圆经过点，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得关于，，的方程组，求得，的值，则椭圆方程可求；

（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值．

【详解】（1）由题意，可得，解得，，，

所以椭圆为.

（2）证明：把代入椭圆方程，

得，

所以，即，

设，，则，，

所以，

因为四边形是平行四边形，

所以，

所以点坐标为.

又因为点在椭圆上，

所以，即.

因为，

即.

又点到直线的距离，

所以平行四边形的面积

，

即平行四边形的面积为定值.

20．已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：

①；

②，其中．

(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；

(2)当时，若，求证：；

(3)当时，若，求证：．

【答案】(1)；

(2)见解析；

(3)见解析.

【分析】（1）依题意，可直接写出相应的伴随数列；

（2）讨论，两种情况，利用反证法即可求解；

（3）讨论，两种情况，当时，由（2）的结论，中至少有两个1，利用反证法可得，根据的定义即可证明.

【详解】（1）因为数列A：4，3，2，1，，

所以.

因为，

所以，，，

，.

故数列A的伴随数列为.

（2）当时，，显然有；

当时，只要证明.

用反证法，假设，

则，从而，矛盾.

所以.

再根据为正整数，可知.

故当时，.

（3）当时，，有，此时，命题成立；

当时，由（2）的结论，中至少有两个1，

现假设中共有个1，即

则.

因为若，则，矛盾.

所以.

根据的定义可知，，，

，

以此类推可知一直有，再由后面，可知；

另一方面与奇偶性相同，所以.

【点睛】定义新数列题目，要正确理解题目信息，将问题转化为熟悉的知识点进行求解,注意反证法的运用.

四、双空题

21．在中，，，，则___________，_____________．

【答案】     ##    

【分析】利用正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；利用余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值.

【详解】因为，由正弦定理可得，

因为、，则，所以，，则，故，

由余弦定理可得，即，，解得.

故答案为：；.