中考数学必刷300题 专题03 尺规作图及简单几何证明-【必刷题】

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中考数学复习策略
中考复习中，数学占据了一定的位置，那么初三数学生要从哪几方面着手复习呢?
1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。
课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。另外，对于一些易错题，要在复习阶段作为重点复习，反复审题，加强理解。
2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。
把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。
3、要注重总结规律，加强解题后的反思。
期末考试前，学校一般都会组织模拟练习，学生要认真对待，注意记录、总结老师对模拟练习的讲评分析。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。

三、尺规作图及简单几何证明
知识点拨
尺规作图九种基本图形
（1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1） 作射线AP；
（2） 在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
作法：
（１）分别以M、N为圆心，大于　　
　的相同线段为半径画弧，
两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　
　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3） 作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。




（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB

作法：
（1）作射线O’A’；
（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；
（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；
（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；
（5）连接O’N’并延长到B’。
则∠A’O’B’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。
已知：如图，P是直线AB上一点。
求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。
作法：
（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；
（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；
（3）过D、Q作直线CD。
则直线CD是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线
已知：如图，直线AB及外一点P。
求作：直线CD，使CD经过点P，
且CD⊥AB。
作法：
（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；
（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；
（3）过P、Q作直线CD。
则直线CD就是所求作的直线。


（7）题目七：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1） 作线段AB = c；
（2） 以A为圆心，以b为半径作弧，
以B为圆心，以a为半径作弧与
前弧相交于C；
（3） 连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。

（8）题目八：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠.
求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.
作法：
（1） 作∠A=∠；
（2） 在AB上截取AB=m ,AC=n；
（3） 连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。


（9）题目九：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠，∠，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.
作法：
（1） 作线段AB=m；
（2） 在AB的同旁
作∠A=∠，作∠B=∠，
∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）。










例题演练

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．

【解答】解：（1）如图：

（2）证明：如图，连接DF，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．
在△ADE和△FBE中，，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．

2．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．
（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）
（2）求证：四边形AFCE是菱形．

【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．

3．如图，已知等边△ABC中边AB＝10，按要求解答下列问题：
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，射线BP交边AC于点P．（不写作法，用2B铅笔作图并保留痕迹）
（2）在（1）作图中，若点D在线段BP上，且使得AD＝5，求BD的长．（结果保留根号）

【解答】解：（1）如图所示，射线BP即为所求．


（2）∵△ABC为等边三角形，∠PBA＝30°，
∴BP平分∠ABC，
∴BP⊥AC，
在Rt△ABP中，BP＝AP＝5，
∴AP＝AB＝5＜5，
在Rt△ADP中，PD＝＝＝5，
∴BD＝BP﹣PD＝5﹣5．
4．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线EF，分别与线段AB、AC，AD交于点E、F，G；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接BG、CG，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．

【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求作．


（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝22.5°，BD＝CD，
∵GB＝GC，
∵EF垂直平分线段AB，
∴GA＝GB＝GC＝1，
∴∠GBA＝∠BAG＝22.5°，∠GCA＝∠GAC＝22.5°，
∴∠BGD＝∠GBA+∠GAB＝45°，∠CGD＝∠GCA+∠GAC＝45°，
∴∠BGC＝90°，
∴S△BGC＝•BG•GC＝．
5．求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
（1）请用尺规作出△ABC两腰上的中线BD、CE（保留痕迹，不写作法）；
（2）结合图形，写出已知、求证和证明过程．

【解答】解：（1）如图所示，中线BD、CE即为所求；
（2）已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，
求证：BD＝CE．
证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，
∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．
∵BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
∴BD＝CE．
即等腰三角形的两腰上的中线相等．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝120°．
（1）作AB的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，延长CA，交直线DE于点F；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，求证：AC＝AF．

【解答】（1）解：如图，EF为所作；

（2）证明：连接AE，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵DE垂直平分AB，
∴∠ADF＝90°，EB＝EA，
而∠DAF＝180°﹣∠BAC＝60°，∠EAB＝∠B＝30°，
∴∠DFA＝90°﹣60°＝30°，∠EAF＝90°，
∴∠EFA＝∠C，
∴EF＝EC，
而EA⊥CF，
∴AC＝AF．
7．如图，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°．
（1）用尺规作图的方法作出AC边的中垂线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求△ABC的面积．

【解答】解：（1）如图（1）所示：EF即为所求；

（2）如图（2），过A 作AD⊥BC于D，

在Rt△ABD中，
∵AB＝8，∠ABC＝30°，
∴AD＝AB＝4，
∴BD＝＝4，
在Rt△ACD中，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+4，
∴S△ABC＝BC•AD＝×（4+4）×4＝8+8，
即△ABC的面积为8+8．
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得EA＝ED；
（2）在（1）的条件下，连接CE，若∠A＝60°，AB＝6，AD＝4，求线段CE的长．

【解答】解：（1）如图，线段DE即为所求作．


（2）过点E作EH⊥CD于H．
∵∠A＝60°，EA＝ED，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，AEB＝AD＝DE＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED＝60°，
∵∠DHE＝∠CHE＝90°，
∴DH＝DE•cos60°＝2，EH＝DE•sin60°＝2，
∵AB＝CD＝6，
∴CH＝CD﹣DH＝4，
∴EC＝＝＝2．
9．如图，BD是△ABC的角平分线．
（1）用直尺和圆规过点D作DF⊥BC，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝5，AB＝6，S△ABC＝11，求DF的长．

【解答】解：（1）如图，DF为所作；

（2）作DE⊥AB于E，如图，
∴BD是△ABC的角平分线．
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝AB•DE+BC•DF，
∴DF（5+6）＝11，
∴DF＝2．

10．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M．
（1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）
（2）求证：AE＝CF．

【解答】（1）解：如图，CN为所作；

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAC＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在Rt△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．
（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．

【解答】（1）解：如图，BG为所作；

（2）证明：∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，
∵射线AF平分∠BAE，
∴∠EAF＝∠BAF，
∵∠EAB＝∠ABC+∠ACB，
即∠EAF+∠BAF＝∠ABC+∠ACB，
∴∠EAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴AD⊥AF，
∴∠ADB＝∠DAG＝90°，
∵BG⊥AF，
∴∠BGA＝90°，
∴四边形ADBG为矩形．
12．如图，在平行四边形ABCD中，CF平分∠BCD交B于点F．
（1）尺规作图：过点A作AE平分∠BAD交BD于点E；
注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
（2）求证：AE＝CF．

【解答】（1）解：如图，AE为所作；

（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝BAD，∠DCF＝∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
13．如图，△ABC中，BA⊥AC，∠B＝31°．
（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E；
（2）在（1）作图的基础上，连接AE、CD，求∠AED的度数．

【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，∠BED＝90°，
∵BA⊥AC，
∴∠CAB＝90°，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝31°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠B）＝118°，
∴∠AED＝∠QEB﹣∠BED＝118°﹣90°＝28°．

14．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF＝AE，连接OF，若OD＝2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．

【解答】解：结论：CE＝OF．
理由：图形如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，OF⊥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEC＝∠DAE＝∠AOD＝∠DFO＝90°，
∴∠EAC+∠DAO＝90°，∠FDO+∠DAO＝90°，
∴∠CAE＝∠ODF，
∵OD＝2AO，AC＝2AO，
∴AC＝OD，
在△AEC和△DFO中，
，
∴△AEC≌△DFO（AAS），
∴CE＝OF．
15．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N，交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④作FE∥AB交BC于E；
⑤连接AE交BF于点P；
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CP，若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求CP的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥CD，
∴EF∥AB，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
由作法得BF平分∠ABE，即∠ABF＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴平行四边形ABEF为菱形；
（2）解：过P点作PH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABEF是菱形，
∴∠PBH＝∠ABC＝×60°＝30°，BP⊥PE，BE＝BA＝8，
在Rt△PBE中，PE＝BE＝4，
∴BP＝PE＝4，
在Rt△BPH中，PH＝BP＝2，
∴BH＝PH＝2×＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝12﹣6＝6，
∴PC＝＝4．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，P是边AD上一点，将△ABP沿着直线PB折叠，得到△EBP．
（1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边AD上作出一点P，使BE平分∠PBC，并求出此时△BEC的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接CE并延长交线段AD于点Q，则AQ的最大值为 　1　．（直接写出答案）
【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．

过点E作EH⊥BC于H，
由作图可知，∠EBC＝30°，
∴EH＝BE＝，
∴S△BCE＝•BC•EH＝×5×＝．

（2）如图2中，由题意，BE＝BA，可知点E的运动轨迹是⊙B，

当EC与⊙B相切时，AQ的值最大，此时P，Q重合，
∵∠BEC＝90°，BC＝5，BE＝AB＝3，
∵EC＝＝＝4，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠CPD，
∵∠BEC＝∠D＝90°，
∴△BCE∽△CPD，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝4，
∴AQ的最大值＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
17．如图，已知⊙O，请用无刻度的直尺和圆规按要求画图（不写画法，保留作图痕迹）
（1）图1中，若点P为⊙O外一点，请过点P作⊙O的一条切线PM（点M为切点）；
（2）图2中，若点Q为⊙O外一点，点C为优弧AB上一点，试确定点C，使得CQ平分∠ACB．
【解答】解：（1）如图，直线PM即为所求作．
（2）如图，点C即为所求作．

18．如图，四边形ABCD为正方形．
（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在正方形内作一点P，使得点P到AB、CD的距离相等，且点P到BC的距离等于PA的长；（不要求写做法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为4，求PA的长．

【解答】解：（1）如图，点P为所作；

（2）设PA＝x，则PE＝x，
∴PF＝4﹣x，
在Rt△APF中，AF＝2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，
即AP的长为．
19．已知：∠AOB和线段a．求作：⊙P，使它与∠AOB的两边相切，半径等于线段a．

【解答】解：如图，⊙P为所作．

20．下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝　90　°，（ 　直径所对的圆周角为直角　）（填推理的依据）
∴OA⊥AP，　OB　⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线．（ 　过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线　）（填推理的依据）

【解答】解：如图，

证明：连接OA，OB，
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线．（过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线）
故答案为90°，直径所对的圆周角为直角；OB；过半径的外端与半径垂直的性质为圆的切线．