中考几何模型压轴题 专题26《相似三角形的存在性》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题26《相似三角形的存在性》

破解策略

  探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程．掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题，

    相似三角形的基本模型有：

    1．“A”字形

    已知：在△ABC中．点D在AB上，点E在AC上．DE∥BC．

    结论：△ABC∽△ADE．

2．反“A”字形

（1）已知：在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠AED＝∠ABC．

结论：△ABC∽△AED．

（2）已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．

结论：△ABC∽△A（：D．

3．“8”字形

已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC．

结论：△ABC∽△AED．

4．反“8”字形

    已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，∠ADE＝∠ABC．

    结论：△ABC∽△ADE．

5．双垂直

已知：△ABC中，∠BAC＝，AD为斜边BC上的高．

结论：△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD．

6．一线三等角

（1）已知Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三点共线，．

结论：△ABC∽△CED．

（2）已知△ABC和△CDE，B，C，E三点共线，．

结论：△ABC∽△CED．

（3）已知△ABC和△CED，B，C，E三点共线，．

结论：△ABC∽△CED．

例题讲解

例1如图，已知A（－1，0），B（4，0），C（2，6）三点，G是线段AC上的动点（不与点A，C重合）．若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．

解：设直线AC的表达式为，

   把A，C两点坐标代入可得，解得．

所以直线AC的表达式为．

设点G的坐标为（k，－2k－2）， 

因为点G与点C不重合， 所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．

所以．

而AB＝5， ， ，

所以， 即， 解得， （舍）．

所以点G的坐标．

例2 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D． P是抛物线上一点，问：是否存在点P， 使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：存在．

因为点A（－2，0），B（4，0），C（0，），过点D（2，）作DE⊥AB于点E，由勾股定理得．

①如图，当△∽△ABD时，， 所以． 过点作⊥AB于点，

所以， 解得．

∵，∴，∴点的坐标为（－8，），

因为此时点不在抛物线上，所以此种情况不存在．

②当△∽△BDA时，，所以．过点作⊥AB于点，

所以，解得．因为，所以，

所以点的坐标为（－4，），将x＝－4代入抛物线的表达式得，

所以点在抛物线上．

③由抛物线的对称性可知：点与点关于直线x＝1对称，

所以的坐标为（6，）．

④当点位于点C处时，两个三角形全等，所以点的坐标为（0，）．

综上所得，点P的坐标为（－4，），（6，）或（0，）时，以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似．

例3 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：  ∵与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴ A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3）， 
将A（3，0），B（0，3）代入， 得，解得， 

所以抛物线的解析式为． 

∴点M的坐标为（1，4），．

所以， ．

如图， 设运动时间为t秒， 则OP＝t， ．

①当△BOP∽△QBM时， ， 即，整理得： ， 

而，所以此种情况不存在；

②当△BOP∽△MBQ时， ， 即 ，解得．

所以当时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．

进阶训练

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．

 （1）求抛物线的表达式和对称轴；

（2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的表达式为，对称轴为

（2）存在．点D的坐标为，．

[提示]（2）由题意知△APQ为等腰三角形，如果△ACD与△APQ相似，那么△ACD也是等腰三角形．

①如图1，当AD为底边时，D，A关于y轴对称，此时点D的坐标为；

②如图2．当AC为底边时，，所以，此时点D的坐标为．

2．如图，设抛物线与x轴交于不同的点，，与y轴交于点C，已知ACB＝90°．

（1）求m的值和抛物线的表达式；

（2）已知点在抛物线上，过点A的直线交抛物线与另一点E．若点P在x轴上，是否存在这样的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形与△AEB相似？

解：2．（1），抛物线的表达式为；

（2）存在．点P的坐标为或

【提示】（1）由已知条件可得OA＝1，OC＝2，易证△AOC∽△COB，从而m＝OB＝4，再将A，B两点的坐标代入表达式即可求得．

（2） 易求得点，，分别过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为H，G．易证EAG＝DBH．

所以△PBD和△AEB相似存在两种情况：①如图1，当△ABE∽△BPD时，有，得点P的坐标为

②如图2，当△ABE∽△BDP时，有，得点P的坐标为．

3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧部分上运动，直线m经过B，Q两点，与y轴交于点N，与直线l交于点G．问：是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线m的表达式，若不存在，请说明理由．

解．存在，直线m的表达式为．

【提示】根据AGB＝GNC＋GCN．所以当△AGB∽△NGC时，只能AGB＝CGB＝90°，所以△AOC≌△NOB，所以直线m的表达式为．