中考几何模型压轴题 专题2《函数与方程、不等式的关系》

中考数学几何专项复习策略

在九年级数学几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的课题。本文试图从优质教学观的理论对课堂的结构和教师专业素养以及结合多年一线教学实践经验作出阐述、探究，举例谈几何专题复习的几点策略：

策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。

策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊

　  总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。

策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。

几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。  

专题2《函数与方程、不等式的关系》

破解策略

1．函数与方程的关系

（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；

（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．

2．函数与不等式的关系

（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；

（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；

（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；

（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．

例题讲解

例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．

解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．

所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．

又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．

当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．

例2  已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．

解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，

所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝．

①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，

如图可知，当≤－1时符合题意，所以－≤a＜0．

当－1＜＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．

②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0．

如图可知，当≥1时符合题意，所以0＜a≤．

当0＜＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．

综上所述，a的取值范围是－≤a＜0或0＜a≤．

例3  在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，）给出如下定义：，则称点Q为点P的限变点．

例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．

（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围　   　；

（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围　   　．

解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝的图象上．

∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．

当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．

∴x＝5．   

当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．

∴x＝﹣2或x＝8．  

∵﹣5≤b′≤2，

由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．

（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，

∴顶点坐标为（t，t）．

若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．

若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；

当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．

∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．

∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），

当t＝1时，s取最小值2，

∴s的取值范围是s≥2．

故答案为（，1）； 点B；5≤k≤8；s≥2．

进阶训练

1．若关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2＋ax＋b＝1有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系为（　　）

A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n

B

【提示】  函数y＝x2＋ax＋b和函数y＝x2＋ax＋b－1的图像如图所示，从而得到p＜m＜n＜q

解：函数y＝x2＋ax＋b如图所示：

2．在平面直角坐标系xOy中，p（n，0）是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线，交一次函数y＝kx＋b的图像于点M，交二次函数y＝x²－2x－3的图像于点N，若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的表达式．

y＝－2x＋1

【提示】  依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可

3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值

n的值为－2

【提示】  根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝．当n≤x≤1＜时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2