中考数学一轮综合复习导学案（1）实数运算与代数式求值

中考一轮综合复习导学案（1）

模块一：实数运算与代数式求值

【教材涉及章节：初一上册第一章  有理数   初一上第二章 整式加减*  初一下第六章  实数     初二上第15章 整式乘除与因式分解*  注：带*号的专题知识点在模块二导学案中】

涉及到2021大连中考题题：

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：                                    （2）按性质分类：

❤重点讲解❤：（1）用正数、负数表示相反意义的量；

（2）有理数“0”的作用：

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．

❤重点讲解❤：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

❤重点讲解❤：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．

（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．

4．绝对值：

（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作．

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

要点二、有理数的运算

1 ．法则：

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．

（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．

  （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．

　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

❤重点讲解❤：“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，

－[+（－3）]=3．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．

2．运算律：

（1）交换律:   ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；

（2）结合律:   ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)；  ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)

（3）分配律：a(b+c)=ab+ac

要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．

要点四、科学记数法、近似数及精确度

1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．

2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.

❤重点讲解❤：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.

❤重点讲解❤：

（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.

（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.

要点四：平方根和立方根

要点五：实数

有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类

按定义分：

    实数按与0的大小关系分：  实数

❤重点讲解❤：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

 （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；        

③有特定结构的数，如0.1010010001…

　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

（4）实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点一 一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

【2021中考汇编】

一、选择题

1. （2021•湖南省常德市） 阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（    ）

A. ②④ B. ①②④ C. ①② D. ①④

2. （2021•湖南省邵阳市）如图，若数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m+n的值可能是（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2

3. （2021•长沙市）下列四个实数中，最大的数是（    ）

A.  B.  C.  D. 4

4. （2021•江苏省南京市）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ）

A. 10：00 B. 12：00 C. 15：00 D. 18：00

5. （2021•山东省泰安市）下列各数：﹣4，﹣2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（　　）

A．﹣4 B．|﹣4| C．0 D．﹣2.8

6. （2021•陕西省）计算：3×（﹣2）＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6

7. （2021•河北省）若取1.442，计算﹣3﹣98的结果是（　　）

A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442

8.（2021•四川省南充市）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　）

A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1

9. （2021•天津市）估算值在(　　)

A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间

10. （2021•浙江省湖州市）已知a，b是两个连续整数，a＜﹣1＜b，则a，b分别是

A．﹣2，﹣1      B．﹣1，0          C．0，1           D．1，2

11. （2021•浙江省台州）大小在和之间的整数有（    ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

12. （2021•北京市）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0

13. （2021•北京市）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜＜n+1，则n的值为（　　）

A．43 B．44 C．45 D．46

14. (2021•内蒙古包头市)下列运算结果中，绝对值最大的是（　　）

A.  B.  C.  D.

15.（2021•四川省凉山州） 的平方根是（    ）

A.  B. 3 C.  D. 9

16.（2021•贵州省贵阳市）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|﹣|a|正确的是（　　）

A．b﹣a B．a﹣b C．a+b D．﹣a﹣b

17.（2021•绥化市）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ）

18. （2021•山东省聊城市） 已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（    ）

A. 0.77×10﹣5倍 B. 77×10﹣4倍 C. 7.7×10﹣6倍 D. 7.7×10﹣5倍

19. （2021•株洲市）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（    ）

A. 1.8升 B. 16升 C. 18升 D. 50升

20. （2021•江苏省扬州）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（    ）

A.  B.  C.  D.

21. （2021•四川省乐山市）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为（    ）

A. （元） B. （元） C. （元    D. （元）

22. (2021•四川省自贡市)已知，则代数式的值是（　　）

A. 31 B.  C. 41 D.

23. （2021•青海省）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（　　）

A．x+y B．10xy C．10（x+y） D．10x+y

24. （2021•浙江省金华市）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（　　）

A．先打九五折，再打九五折 

B．先提价50%，再打六折 

C．先提价30%，再降价30% 

D．先提价25%，再降价25%

25. （2021•浙江省台州）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ）

A. 20 B.  

C.  D.

26. （2021•浙江省温州市）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（　　）

A．20a元 B．（20a+24）元 

C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元

27. （2021•云南省）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（　　）

A．n2an+l B．n2an﹣1 C．n2an+1 D．（n+1）2an

28. （2021•山东省济宁市）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（　　）

A． B． C． D．

29 . (2021•内蒙古包头市)若，则代数式的值为（   ）

A. 7 B. 4 C. 3 D.

二．填空题

1. (2021·安徽省)计算：______．

2. （2021•怀化市）比较大小：　　（填写“＞”或“＜”或“＝”）．

3. （2021•湖南省邵阳市）16的算术平方根是　　．

4. （2021•江苏省扬州）计算：__________．

5. （2021•山东省临沂市）比较大小：2　　5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．

6.（2021•湖北省宜昌市）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为﹣6℃，攀登2km后，气温下降 　   　℃．

7. （2021•湖北省荆州市）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝　      　．

8. （2021•湖北省荆门市）计算：|1﹣|+（）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝　　．

9. （2021•重庆市A）计算：_______．

10. (2021•内蒙古包头市)一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______．

11. （2021•湖北省黄石市）计算：______．

12. （2021•甘肃省定西市）一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，则第n个式子是 　     　．

13. （2021•湖南省常德市）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)

14. （2021•怀化市）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 　　．

15. （2021•岳阳市）已知，则代数式______．

16. （2021•江苏省苏州市）若m+2n＝1，则3m2+6mn+6n的值为 　．

17. （2021•江苏省扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．

18. 如（2021•江西省）表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 　　．

19. （2021•湖北省宜昌市）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为﹣6℃，攀登2km后，气温下降 　12　℃．

20. （2021•四川省达州市）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为 　    　．

21. （2021•四川省凉山州）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．

22. . (2021•四川省自贡市)某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是______．

23. （2021•浙江省嘉兴市））观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝　　．

24. （2021•贵州省铜仁市）观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．

25. （2021•贵州省铜仁市） 如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________；

26.（2021•浙江省杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为 　　元/千克．

三、解答题

1. （2021•甘肃省定西市）计算：（2021﹣π）0+（）﹣1﹣2cos45°．

2. （2021•湖北省黄冈市）计算：0．

3. （2021•怀化市）计算：．

4. （2021•江苏省连云港）计算：．

5. （2021•江苏省扬州）计算：； 

6. （2021•江西省）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣|；

7. （2021•陕西省）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣．

8. （2021•山西省中考）计算：

9. （2021•山东省临沂市）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．

10. （2021•四川省成都市）计算：+（1+π）0﹣2cos45°+|1﹣|．

11. （2021•遂宁市）计算：

12. 2021•浙江省金华市）计算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．

13. （2021•浙江省台州）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；

（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．

14. （2021•浙江省温州市）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．

15. （2021•江苏省盐城市）如图，点A是数轴上表示实数a的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点P；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）利用数轴比较和a的大小，并说明理由．

16. （2021•湖北省十堰市）计算：．

17. （2021•湖南省张家界市）计算：

18. （2021•广西贺州市）计算：．

19. （2021•齐齐哈尔市）计算：．

20. （2021•河北省）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．

（1）用含m，n的代数式表示Q；

（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．