中考数学模拟汇编一28直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理

一、       选择题

1、(浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=, ∠B=30°, 则DE的长是(      ).

A. 6         B. 4          C.          D. 2

答案：B

2.（湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）

A.  5           B.           C.  7            D.

答案：A

3．（杭州市上城区一模）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，

且S1 +S3 =4S2，则CD=（     ）

A. 2.5AB    B. 3AB    C. 3.5AB      D. 4AB

答案：B

4．（浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（　　）

A.  5           B.           C.  7            D.

答案：A

二、       填空题

1、（北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的面积和是              ．

答案：25cm2

2．（河北省三河市九级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为SA，SB，已知SA+SB=13，则纸片的面积是          .

答案：36

3、(浙江杭州模拟15)如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD.若AB=4cm. 则△BCD的面积为　　　　．

答案：

4．(宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积_________cm2．

答案：

5.(浙江省杭州市8模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；

                  (第5题图)

答案:76

6、（浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是      米.

答案：8

7、（浙江杭州八模）如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米.

答案：6

                       第8题图

8、（浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________；

答案：76[来源:学§科§网]

9. (浙江省杭州市党山镇中中考数学模拟试卷)如图，将边长为的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交于点M、N，DFAB，垂足为D，AD＝1，则重叠部分的面积为          .

答案：  

B组

1．（ 杭州三月月考）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是   ▲  cm2

答案： 

2．（重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为            。

答案：  6或

3、（浠水模拟2）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个 直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______________；

答案：76

4. （杭州市模拟）侧棱长为cm的直三棱柱的三个侧面面积分别为、和，则该棱柱上底面的面积为　　　　　　．

答案：

5. （海宁市盐官片一模）已知是直角三角形的三条边，且，斜边上的高为，则下列说法中正确的是                     。（只填序号）

①；②；

③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是.

答案：②③

6．（北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A，B两处之间的距离，先从A处出发与AB成90°方向，向前走了10米到C处，在C处测得∠ACB＝60°(如图所示)，那么A，B之间的距离约为        米（计算结果精确到0.1米)

答案：17[来源:学科网]

7. （深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于      ．

答案: 15°或75°

三、       解答题

1、(浙江杭州模拟14)

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．[来源:Z&xx&k.Com]

（1）当时，求线段的长；

（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．

（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；

答案：[来源:学*科*网Z*X*X*K]

解：（1）由Rt△AQM∽Rt△CAD．      ……………………………………………2分[来源:学,科,网]

∴．  即，∴． …………………………………1分

（2）或或4．               ……………………………………………3分

（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E

由（1）可得．  即QM=2t．∴QE=4-2t．………………………2分

       ∴S△PQC =PC·QE= ………………………………………………1分

     即[来源:学。科。网]

当＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.

．

由题意得，．

∴ ．       ∴．

∴ ．   ∴．

∴ 四边形AMQP为矩形． 

∴ PQ∥．CH⊥PQ，HF=AP=6- t

∴ CH=AD=HF= t-2     …………………………………………………………1分

∴S△PQC =PQ·CH=         ………………………………………1分

     即y=

综上所述 或y= ( 2<<6) …………………1分

[来源:学科网ZXXK]

2、(浙江杭州模拟16)

数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助数”。                                                            

如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足。易证得两个结论：(1)AC·BC = AB·CD   (2)AC2= AD·AB

（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。

（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d,且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）

答案：

解：（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，·······························1分

又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB
∴AD=6.4 -------------------------------2分
∵CM平分∠ACB
∴AM：MB=AC：CB
解得，AM=--------------------------------- 1分
∴MD=AD-AM=-----------------------------1分

（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c

由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC          -------------------------1分

又勾股定理，得AB2=AC2+BC2
∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性质)
∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分

∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分

∴(AB+CD) 2 >（AC+BC）2
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分

3. （北京四中中考全真模拟17）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？

1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和

（或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三

角形ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高。

(1)若BD=h，M时直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为。

①       若M在线段BC上，请你结合图形①证明：= h；                       图①

②       当点M在BC的延长线上时，，h之间的关系为             .

（请直接写出结论，不必证明）                                                  

（2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线：y = x + 6 ；[来源:学_科_网Z_X_X_K]

：y = -3x+6      

若上的一点M到的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标。

（1）证明：连结AM

①∵, EM⊥AB , MF⊥AC, BD⊥AC

∴AC.h = AB. + AC.

又∵AB = AC

∴h = + ………………………………………………2分

② - = h ………………………………………………3分

（2）由题意可知，DE = DF =10,[来源:Z*xx*k.Com]

∴△EDF是等腰三角形。………………………………………4分

当点M在线段EF上时，依据（1）中结论，

∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为3.

∴点M的纵坐标为3，此时可求得M(1,3)……………………6分

当点M在射线FE上时，依据（1）中结论

∵h = EO=6，∴M到DF（即x轴）的距离也为9.

∴点M的纵坐标为9，此时可求得M(-1,9)………………………………8分

故点M的坐标为(1,3)或(-1,9)

4、（江苏盐都中考模拟）

解：原式=（4分）

5．（黄冈中考调研六）(满分14分) 如图,以等边△OAB的边OB所在直线为x轴,点O为坐标原点,使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动,点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。

①     点A坐标为_____________，P、Q两点相遇时交点的坐标为________________;

②     当t=2时，____________;当t=3时，____________;

③     设△OPQ的面积为S，试求S关于t的函数关系式;

④     当△OPQ的面积最大时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是Rt△，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。

答案．

(1)  A点坐标为、交点坐标为（

(2)  当t=2时，；   当t=3时，

(3) 

(4)  对（3）中的分段函数进行计算后得知当t=2，S有最大值，此时P与A重合，OP=6，OQ=4，过P作PC⊥OB于C点，计算得OC=3，AC=，CQ=1，PQ=

①     如图①，过P作PM⊥PQ交y轴于M点，过M作MN⊥AC于N，则MN=OC=3，易得Rt△PMN∽△QPC，有即，得PN=，MO=NC=故M点坐标为

②     过Q作MQ⊥PQ交y轴于M点，通过△MOQ∽△QCP，求得M坐标为

③     以PQ为直径作⊙D，则⊙D半径r为，再过P作PE⊥y轴于E点，过D作DF⊥y轴于F点，由梯形中位线求得DF=，显然r＜DF，故⊙D与y同无交点，那么此时在y轴上无M点使得△MPQ为直角三角形.

综上所述，满足要求的M点或

6. (浙江省杭州市8模)（本题满分8分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260㎝,OA、OB为圆弧的半径长为90㎝（作为木杆的支架），且OA、OB关于CD对称，弧AB的长为30㎝。当木杆CD向右摆动使点B落在地面上（即圆弧与直线l相切于点B）时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少㎝？

[来源:学。科。网]

（第6题）

解：由弧AB的长可得，∠AOB＝60°，

从而∠BOE＝∠COB＝30°，（2分）

∵OB＝90cm，

∴OE＝cm，（2分）

∴DE＝170+  cm， （2分）

∴DF＝180+  cm    （2分）

7.（广东南塘二模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m

的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到B处，这时

气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，

求气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）.

答案：过B作BD⊥CA于D，则AB＝600m，AD＝300m，BD＝CD＝300m，CA＝300(－1)m。

8. （深圳市全真中考模拟一）△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝c．若，如图l，根据勾股定理，则。若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．

答案：解：若△ABC是锐角三角形，则有    …… (1分)

    若△ABC是钝角三角形，为钝角，则有。   (2分)

    当△ABC是锐角三角形时，

证明：过点A作ADBC，垂足为D，设CD为，则有BD＝……（3分）

根据勾股定理，得

即。

∴…………………………（5分）

∵，

∴。

∴。…………………………（6分）

当△ABC是钝角三角形时，

证明：过B作BDAC，交AC的延长线于D。

设CD为，则有…………………………（7分）

根据勾股定理，得．

即。…………………………（9分）

∵，

∴，

∴。…………………………（10分）