高考数学一轮复习策略

1、揣摩例题。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。

2、精练习题

复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。

3、加强审题的规范性

每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。

4、重视错题

“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。

专题11.6   离散型随机变量的均值与方差

【知识清单】

一. 离散型随机变量的均值与方差

1．均值

若离散型随机变量X的分布列为

称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．

若，其中为常数，则也是随机变量，且.

若服从两点分布，则；

2.方差

若离散型随机变量X的分布列为

则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．

若，其中为常数，则也是随机变量，且．

若服从两点分布，则．

3. 六条性质

(1) (为常数)

(2) (为常数)

(3)

(4)如果相互独立，则

(5)

(6)

【考点分类剖析】

考点一 ：  离散型随机变量的均值

【典例1】（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.

【典例2】（2017山东，理18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率.

（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.

【规律方法】

1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；

(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．

2. 求离散型随机变量的均值的步骤

(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．

(2)求概率：求X取每个值的概率．

(3)写分布列：写出X的分布列．

(4)求均值：由均值的定义求出E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．

3.若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．

【变式探究】

1.（2017湖南）2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下

表：[来源:学+科+网]

（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；

（Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队

表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．

2.（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．

（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．

（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．

考点二 ：　离散型随机变量的方差

【典例3】（2018·浙江高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（   ）

A．减小 B．增大

C．先减小后增大 D．先增大后减小

【典例4】（2021·北京市第十三中学高三期中）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．（规定成绩不低于90分为“优秀”）

（1）估计高一年级知识竞赛的优秀率；

（2）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；

（3）在高一、高二年级各随机选取1名学生，用分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差，的大小关系．（只需写出结论）

【总结提升】

均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．

【变式探究】

1．【多选题】（2021·全国·高二单元测试）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的值最大

C．随着p的增大而增大 D．当时，

2．（2019·山东高二期末）已知X的分布列如图所示，则

（1），

（2），

（3），其中正确的个数为________.

考点三 ：　离散型随机变量的均值、方差的综合问题

【典例5】（2021·浙江·模拟预测）随机变量满足分布列如下：

则随着的增大（    ）

A．增大，越来越大

B．增大，先增大后减小

C．减小，先减小后增大

D．增大，先减小后增大

【典例6】【多选题】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量满足，，，若，则（    ）

A．有最大值 B．无最小值

C．有最大值 D．无最小值

【典例7】【多选题】（2021·全国·高三专题练习）假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，则（    ）

A．目标被击中的概率为 B．

C． D．

【变式探究】

1.（2019·浙江高考真题）设，则随机变量的分布列是：

则当在内增大时（  ）

A．增大 B．减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

2.（2017·浙江高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则（    ）

A．<，< B．<，>

C．>，< D．>，>

3.（2019·浙江高三月考）已知随机变量的分布列如下表，若，则a=________，______.

考点四 ：　实际问题中的科学决策

【典例8】（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

【典例9】（2021·江苏高邮·高三月考）某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售.如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理.商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（1）若商家一天购进该商品16件，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望；

（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由.

【总结提升】

1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．

2.均值与方差在决策中的应用注意点

（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．

（2）两种应用策略

①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．

②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.

3.几种常用的解题方法　　

(1)转化法．

将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．

(2)正难则反的解题策略．

当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．

【变式探究】

1．（2021·全国·高二课时练习）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元．

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．

方案3：不采取措施，希望不发生洪水．

如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．

2．（2020·山西大同一中高三期中（理））某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：

将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.

（1）若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为(单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为(单位：元).

①试写出关于的表达式；

②求的概率分布列，并计算.

（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？