专题7-1 均值不等式及其应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题7-1 均值不等式及其应用

综述：

均值不等式

1.（1）若，则  (2)若，则（当且仅当时取“=”）

2. (1)若，则    (2)若，则（当且仅当时取“=”）

(3)若，则  (当且仅当时取“=”）

3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

4.若，则  (当且仅当时取“=”）

若，则  (当且仅当时取“=”）

5.若，则（当且仅当时取“=”）

【题型一】基础型：公式“取等”条件

【典例分析】

（2022·新疆·乌苏市第一中学高三开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（       ）

A． B．

C． D．

【变式演练】

1.（2022·全国高三课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（       ）

A． B． C． D．3

2.（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高三模拟）已知正数，满足，则取得最小值时，的值为（       ）

A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2

3.（2021·全国高三课时练习）在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ）

A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立

B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立

C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立

D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立

【题型二】基础型：型

【典例分析】

（2021·全国高三专题练习）已知，，则的最小值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式演练】

1.（2021·全国高三课时练习）是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.（2022·全国高三专题练习）若，，则的最小值是（       ）

A． B． C．4 D．2

3.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（       ）．

A．4 B．2 C．k D．不能确定

【题型三】凑配“对钩”型

【典例分析】

（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（       ）

A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]

【变式演练】

1.（2022·甘肃·兰州市第二中学高三期末）若，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2.（2021·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）当时，（       ）

A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值

3.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（       ）．

A．4 B．2 C．k D．不能确定

【题型四】常数代换型

【典例分析】

（2021·全国高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2

C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2

【变式演练】

1.（2021·江苏高三单元测试）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（       ）

A． B． C． D．2

2.（2022·全国高三专题练习）已知，，且，则的最小值是（       ）

A． B．2 C．9 D．4

3.（2022·全国高三专题练习）若正数满足，则的最小值是（       ）

A． B． C．5 D．6

【题型五】分式型凑配

【典例分析】

（2021·河南开封高三模拟）若正数，满足，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.（2022·甘肃·张掖市第二中学高三期末）已知两个正实数，满足，则的最小值是（       ）

A． B． C．8 D．3

2.（2021·江苏淮安高三模拟）当0<x<1时，最小值为（       ）

A．0 B．9 C．10 D．18

3.（2021·全国高三专题练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．

【题型六】“积、和”化“1”型

【典例分析】

（2022·全国高三专题练习）已知，，，则的最小值为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【变式演练】

1.（2022·湖北宜昌高三模拟）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（       ）

A． B． C． D．

2.（2021·黑龙江·铁人中学高三模拟）已知，则和的最小值分别是（       ）

A．16 ，32 B．16 ，64 C．18，32 D．18，64

3.（2021·湖南岳阳高三模拟）已知，，且，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【题型七】“和、积”解不等式型

【典例分析】

（2022·河南三门峡高三期末）若正实数，满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.（2021·江苏高三专题练习）若正实数满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

2.若实数，满足，则的最大值是（    ）

A．12 B． C．8 D．

3.已知，为正实数，且，则（  多选题  ）

A．的最大值为2   B．的最小值为4  C．的最小值为3 D．的最小值为

【题型八】消元型

【典例分析】

（2021·全国高三单元测试）已知，，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.（2021·重庆八中高三模拟）已知，，，则的最小值为（       ）

A．8 B． C．9 D．

2.（2022·山东临沂高三期末）已知，且，则有（       ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

3.（2021·广东·广州外国语学校高三阶段练习）已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（       ）

A．1 B．3

C．6 D．12

【题型九】分子代换分离型

【典例分析】

已知正实数满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.已知正数a，b满足，则的最小值是___________.

2.已知正数满足，则的最大值是（    ）

A． B． C．1 D．

3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．

【题型十】均值用两次

【典例分析】

设a、b、c是正实数满足，则的最小值为______．

【变式演练】

1.设，，则当___________时，的最小值为___________.

2.若，则的最小值为____________．

3.是不同时为0的实数，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【题型十一】齐次同除型

【典例分析】

若a，b均为正实数，则的最大值为　　

A． B． C． D．2

天津市南开区2019届高三上学期末数学试卷（文)

【变式演练】

1.已知，，则的最小值为____．

2.函数的最大值为（    ）

A. B. C. D.

3.已知，，则的最大值是          ．

【题型十二】多元均值

【典例分析】

己知，，，且，则的最小值为       ．

【变式演练】

1.已知正数满足， 则的最小值是(　　)

A． B． C． D．

2..设是三个正实数，且，则的最大值为_______．

3.（2021·全国高三专题练习）设且不等式恒成立，则实数t的最大值为（       ）

A．13 B．6 C．8 D．62.

【题型十三】代数式换元

【典例分析】

（2019·天津高考模拟（文））已知，若点在直线上，则的最小值为__________

【变式演练】

1.（黑龙江大庆实验中学高三模拟）设为正实数，且，则的最小值为__

2.若实数x,y满足,则的取值范围是             ．

3.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （  ）

A． B． C． D．

【题型十四】三角函数式换元

【典例分析】

已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为

A.2 B.4 C. D.

【变式演练】

1.已知，，则的最小值为____.

2.（2021嘉兴期末）已知实数x,y满足，则的取值范围是__ _

3.设a，b∈R，a2 + 2b2 = 6, 则a+b的最小值是(  ).

A.   B.       C. D.

【题型十五】“万能K”法

【典例分析】

（2021·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知，若，则的最小值是（       ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【变式演练】

1.已知正数满足，则的最大值为__________．

2.已知，若，则的最小值是（    ）

A. B. C. D.

3.已知（），则的最小值为（   ）

A．    B．9    C．    D．

【题型十六】因式分解型

【典例分析】

若实数、、，且，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

【变式演练】

1.（2022·全国高三课时练习）已知正实数，，若，，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2.已知，且，则的最小值是___．

3.已知，且，则的取值范围是

A． B． C． D．

【题型十七】权方和不等式应用

【典例分析】

（2019·赤峰二中高三月考（理））若正数满足，则的最小值为

A． B． C．2 D．

【变式演练】

1.已知正数满足，则的最大值为__________．

2.已知实数且，则的最小值为__________．

3.【2019届徐州市12月月考12】已知正实数满足，则的最小值为       ．

【题型十八】复杂的求“和”型

【典例分析】

【变式演练】

1.（2019·浙江高三期末）已知，，且，则的最小值为

A． B． C．5 D．9

2.已知，且满足，则的最小值为      

【题型十九】公式扩展：不等式链

【典例分析】

（2022·全国高三课时练习）若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为

A． B．3 C． D．1

【变式演练】

1.（2020·重庆十八中高三阶段练习）已知，且，则最大值与最小值的和为（       ）

A．16 B．15 C．14 D．13

2.（2021·全国高三专题练习）的最大值为（       ）

A． B．13 C． D．

3.（2020·浙江高三期末）若，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

1,（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

3．（·重庆·高考真题（文））f(x)=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=

A．1+ B．1+ C．3 D．4

4．（山东·高考真题（文））设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ）

A． B．

C． D．

6．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．

8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．

10．（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.

11．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.

12．（·浙江·高考真题（理））设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．

13．（·浙江·高考真题（文））_____

14．（·江苏·高考真题）的最小值为_______________．

1.（2021·江苏高三专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ）

A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y

2.（2021·安徽省六安中学高三模拟）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是

①已知，由，求得的最小值为2

②由，求得的最小值为2

③已知，由，当且仅当即时等号成立，把代入得的最小值为4.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3.（2019·江西师大附中高三模拟）的最小值是(   )

A． B． C． D．

4.（2021·江苏高三单元测试）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A．或 B．或

C． D．

5.（2022·全国高三课时练习）已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

6.（2021·江苏·赣榆一中高三阶段练习）若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

7.已知，，，则（  多选题  ）

A．的最大值为2 B．的最小值为4

C．的最小值为3 D．的最小值为

8.（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

9.已知，，且，则最小值为_

10（2021·全国高三专题练习）已知实数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

11.已知正实数，，满足，则的最小值为______.

12.（2021·全国高三专题练习）若对于正实数，，有，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

13.（2021·全国高三专题练习）已知，，，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

14.若实数满足，则的最大值为______________。

15.若 且满足 ，则 的最大值是 (   )

A.2 B. C.3 D.

16已知（），则的最小值为（   ）

A．    B．9    C．    D．

17.（2019·江苏高三月考）若，且，则的最小值为_____

18.已知正数满足，则的最大值为   　　   ．

19.

20.（2021·江苏高三专题练习）设，且，，则（       ）

A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值