卷03（理科）——【备考2023】高考数学真题重组卷（课标全国卷）（含解析）

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课标全国卷地区专用（原卷版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·全国·统考高考真题）已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2022·全国·统考高考真题）若i(1-z)=1，则z+z=（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
3．（2021·全国·统考高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（1010≈1.259）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
4．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
5．（2022·全国·统考高考真题）函数y=3x-3-xcsx在区间-π2,π2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2020·全国·统考高考真题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．y=a+bxB．y=a+bx2
C．y=a+bexD．y=a+blnx
7．（2021·全国·统考高考真题）在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）
A．79B．2332C．932D．29
8．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．13B．12C．33D．22
9．（2022·全国·统考高考真题）椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（ ）
A．32B．22C．12D．13
10．（2021·天津·统考高考真题）若2a=5b=10，则1a+1b=（ ）
A．-1B．lg7C．1D．lg710
11．（2020·全国·统考高考真题）若2x-2y<3-x-3-y，则（ ）
A．ln(y-x+1)>0B．ln(y-x+1)<0C．ln|x-y|>0D．ln|x-y|<0
12．（2020·全国·统考高考真题）若2a+lg2a=4b+2lg4b，则（ ）
A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·全国·统考高考真题）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且a=1，b=3，则2a+b⋅b=_________．
14．（2020·全国·统考高考真题）已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
15．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
16．（2022·全国·统考高考真题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
(2)若a=5,csA=2531，求△ABC的周长．
18．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点．BF⊥A1B1
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?
19．（2020·全国·统考高考真题）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，
20．（2021·天津·统考高考真题）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，上顶点为B，离心率为255，且BF=5．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．
21．（2022·全国·统考高考真题）已知函数fx=exx-lnx+x-a．
(1)若fx≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若fx有两个零点x1,x2，则x1x2<1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（2022·全国·统考高考真题）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=-2+s6y=-s（s为参数）．
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2csθ-sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=x-a2+|x-2a+1|.
（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；
（2）若f(x)≥4，求a的取值范围.锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828