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所属成套资源：【三轮冲刺】2023年高考数学热点专题模型通关（概率篇）
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超几何分布为背景的概率模型——【高考三轮冲刺】2023年高考数学概率专题模型通关训练（原卷版+解析版）
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这是一份超几何分布为背景的概率模型——【高考三轮冲刺】2023年高考数学概率专题模型通关训练（原卷版+解析版），文件包含超几何分布为背景的概率模型解析版docx、超几何分布为背景的概率模型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
求超几何分布件为背景的概率模型的解题思路：
第一步：确定参数N，M，n的值.
第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率.
第三步：列出分布列，求期望与方差
【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
母题呈现
【典例】（2022·江苏高考模拟）某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为.
（1）若取球过程是无放回的，求事件“”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求的概率分布列及数学期望
【解题指导】（1）超几何分布概率公式计算概率；
（2）的可能取值为→求得每个取值对应的概率→分布列→数学期望.
【解析】（1）根据超几何分布可知：；
（2）随机变量的可能取值为：；且
，，分布列如下：
方法总结
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
2.考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.
模拟训练
1．【与发展成就融合】（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)4；(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型计算公式可得，即可解得；（2）易知随机变量X的可能取值，利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.
【详解】（1）由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，
其中全是小机房有种方法，
因此全是小机房的概率为，解得.
即n的值为4.
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为
则X的数学期望.
2．【与统计融合】（2023·全国·模拟预测）新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．
(1)求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定名学生中优秀学员的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【详解】（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
3．【与独立性检验融合】（2022·广东·统考模拟预测）某学生自制数学成绩成长曲线，统计了自高一入学至今100次数学测试的成绩，并将结果统计如下：（记成绩不低于120分为优秀）
(1)受新冠疫情影响，在100次测试中有30次是在线上教学期间进行的，且这30次成绩中有10次成绩是优秀，补全列联表，并判断能否有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关；
(2)从30次在线上教学期间进行的数学测试中，按成绩是否优秀用分层抽样法抽取6次测试成绩，再从中随机抽取3次测试成绩进行学情分析，记3次测试成绩中优秀的次数为，求的分布列与数学期望．
附：，
【答案】(1)填表见解析；有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关；(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据数据完成列联表，然后由公式计算即可判断.
（2）优秀的次数的所有可能取值为0，1，2，属于超几何分布，计算各个取值的概率然后完成分布列并计算期望.
（1）列联表如下：
则
所以有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关.
（2）从30次在线上教学期间进行的数学测试中，按成绩是否优秀用分层抽样法抽取6次测试成绩，其中优秀的有2次，非优秀的有4次，从中随机抽取3次测试成绩，则优秀的次数的所有可能取值为0，1，2，
所以的分布列为
所以的数学期望为
4．【与茎叶图融合】（2021·陕西西安·校联考模拟预测）某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前名女生的平均得分为分.
（1）①求茎叶图中的值；
②如果在竞赛成绩高于分且按男生和女生分层抽样抽取人，再从这人中任选人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这人中有女生的概率；
（2）如果在竞赛成绩高于分的学生中任选人参加学校座谈会，用表示人中成绩超过分的人数，求的分布列和期望.
【答案】（1）①；②；（2）分布列见解析，期望为.
【分析】（1）①利用平均数公式可求得的值；
②求得样本中的男生人数和女生人数，利用组合计数原理、古典概型以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，由此可求得随机变量的数学期望值.
【详解】（1）①由茎叶图可知，前名女生的平均得分为，
解得；
②竞赛成绩高于分的女生有人，男生有人，
按男生和女生分层抽样抽取人，则样本中的男生人数为，女生人数为，
记事件从人中任选人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，这人中有女生，
则；
（2）竞赛成绩高于分的学生共有人，成绩高于分的学生共有人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
5．【与回归方程融合】（2020·全国·模拟预测）2020年，国庆“遇上”中秋，中国人把这个“超长黄金周”过出了年味.假期期间，全国各大旅游景点、车站、机场人头攒动的景象也吸引了世界的目光.外国媒体、专家和网友“实名羡慕”，这一派热闹景象证明了抗疫的成功，也展示了中国经济复苏的劲头.抗疫的成功离不开国家强大的医疗卫生体系，下表是某省2013年至2019年医疗卫生机构数（单位：万个）：
（1）求关于的线性回归方程（，保留两位小数）；
（2）规定若某年的实际医疗卫生机构数与估计值的差的绝对值不超过500个，则称该年是“吻合”年.利用（1）的结果，假设2020年该省医疗卫生机构数的估计值为实际值，现从2013年至2020年这8年中任选3年，其中“吻合”年的个数为，求的分布列与数学期望.
参考数据：，.
参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】首先根据表格数据计算得到及，代入公式求得和；第二问先根据回归直线计算从2013年到2019年医疗卫生机构数的估计值，从而得到吻合”年有4个，则“吻合”年的个数的可能取值为0,1,2,3，又由于随机变量服从超几何分布，写出随机变量的分布列并计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意得 ，，
则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）2013年至2019年这7年该省医疗卫生机构数的估计值与实际值（单位：万个）如下表所示：
则2013年至2020年这8年中“吻合”年有2013年，2015年，2018年，2020年，共4年，
故的所有可能取值为 0,1,2,3，
且 ，，
故的分布列为
所以.
【点睛】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
6．【与统计图表融合】（2022·山东济宁·嘉祥县第一中学校考模拟预测）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）见解析
【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率.
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超几何分布列计算公式即可得出.
（Ⅲ）答案不唯一.示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
【详解】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，
所以
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.
，，.
X的分布列为：
.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
【点睛】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及根据概率统计做分析和决策等相关问题，属于中档题.
7．【与分层抽样融合】（2021·西藏山南·山南二中校考一模）第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.
（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？
（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训
①求这3人中既有男生又有女生的概率；
②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可.
【详解】（1）由已知住校生中男生占，则女生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人.
（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，
=，=，故，
所以，事件A发生的概率为.
②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
.随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望.
8．【与发展成就融合】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下．
（1）计算图中的值；
（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1），，；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）由题意结合图表信息可得，解方程即可得解；
（2）由题意结合分层抽样的性质可得抽取的7人中没有看过《我和我的祖国》的有2人，
进而可得，由超几何分布的概率公式即可得、、，进而可得X的分布列，再由期望公式即可得X的数学期望.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以，，；
（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；
“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；
“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组，共6人；
所以按分层抽样，组被抽取的人数分别为、、；
在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，
，
则，，，
所以X的分布列如下：
X的数学期望．
【点睛】本题考查了统计图表的应用，考查了分层抽样的性质及离散型随机变量分布列和数学期望的求解，属于中档题.
9．【与散点图融合】（2022·北京平谷·统考二模）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（I）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；
（II）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）记该市26个景点的交通平均得分为安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）
【答案】（I）；（II）分布列见解析，期望为；（III）
【分析】（I）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望.
（III）根据两种得分的数据离散程度进行判断.
【详解】（I）由图可知，交通得分前名的景点中，安全得分大于分的景点有个，所以从交通得分前名的景点中任取个，求其安全得分都大于分的概率为.
（II）结合两个图可知，景点总分排名前的的景点中，安全得分不大于分的景点有个，所以的可能取值为.
.
所以的分布列为:
所以.
（III）由图可知，个景点中，交通得分全部在分以上，主要集中在分附近，安全得分主要集中在分附近，且分一下的景点接近一半，故 .
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题.
10．【与数列融合】（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12；(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；
（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；
②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，
又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．区别
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)
X
0
1
2
3
P
测试成绩（单位：分）
次数
10
9
31
30
15
5
非优秀
优秀
合计
线上教学
线下教学
合计
100
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非优秀
优秀
合计
线上教学
20
10
30
线下教学
30
40
70
合计
50
50
100
0
1
2
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
医疗卫生机构数
4.2
4.3
4.5
4.7
4.8
4.8
4.9
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
实际值
4.2
4.3
4.5
4.7
4.8
4.8
4.9
估计值
4.24
4.36
4.48
4.6
4.72
4.84
4.96
0
1
2
3
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
X
0
1
2
P
0
1
2
P
求超几何分布件为背景的概率模型的解题思路：
第一步：确定参数N，M，n的值.
第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率.
第三步：列出分布列，求期望与方差
【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
母题呈现
【典例】（2022·江苏高考模拟）某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为.
（1）若取球过程是无放回的，求事件“”的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求的概率分布列及数学期望
【解题指导】（1）超几何分布概率公式计算概率；
（2）的可能取值为→求得每个取值对应的概率→分布列→数学期望.
【解析】（1）根据超几何分布可知：；
（2）随机变量的可能取值为：；且
，，分布列如下：
方法总结
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
2.考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.
模拟训练
1．【与发展成就融合】（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)4；(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型计算公式可得，即可解得；（2）易知随机变量X的可能取值，利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.
【详解】（1）由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，
其中全是小机房有种方法，
因此全是小机房的概率为，解得.
即n的值为4.
（2）X的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为
则X的数学期望.
2．【与统计融合】（2023·全国·模拟预测）新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在内，按区间分组为，，，，，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于分（百分制）为优秀．
(1)求这名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取名学生座谈，再在这名学生中，选名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量，求的分布列和期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析；期望
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定名学生中优秀学员的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.
【详解】（1）名学生的平均成绩为.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为，则非优秀学员对应的频率为，
抽取的名学生中，有优秀学生人，非优秀学生人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
3．【与独立性检验融合】（2022·广东·统考模拟预测）某学生自制数学成绩成长曲线，统计了自高一入学至今100次数学测试的成绩，并将结果统计如下：（记成绩不低于120分为优秀）
(1)受新冠疫情影响，在100次测试中有30次是在线上教学期间进行的，且这30次成绩中有10次成绩是优秀，补全列联表，并判断能否有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关；
(2)从30次在线上教学期间进行的数学测试中，按成绩是否优秀用分层抽样法抽取6次测试成绩，再从中随机抽取3次测试成绩进行学情分析，记3次测试成绩中优秀的次数为，求的分布列与数学期望．
附：，
【答案】(1)填表见解析；有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关；(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据数据完成列联表，然后由公式计算即可判断.
（2）优秀的次数的所有可能取值为0，1，2，属于超几何分布，计算各个取值的概率然后完成分布列并计算期望.
（1）列联表如下：
则
所以有95%的把握认为该学生数学测试成绩是否优秀与教学方式有关.
（2）从30次在线上教学期间进行的数学测试中，按成绩是否优秀用分层抽样法抽取6次测试成绩，其中优秀的有2次，非优秀的有4次，从中随机抽取3次测试成绩，则优秀的次数的所有可能取值为0，1，2，
所以的分布列为
所以的数学期望为
4．【与茎叶图融合】（2021·陕西西安·校联考模拟预测）某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前名女生的平均得分为分.
（1）①求茎叶图中的值；
②如果在竞赛成绩高于分且按男生和女生分层抽样抽取人，再从这人中任选人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这人中有女生的概率；
（2）如果在竞赛成绩高于分的学生中任选人参加学校座谈会，用表示人中成绩超过分的人数，求的分布列和期望.
【答案】（1）①；②；（2）分布列见解析，期望为.
【分析】（1）①利用平均数公式可求得的值；
②求得样本中的男生人数和女生人数，利用组合计数原理、古典概型以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，由此可求得随机变量的数学期望值.
【详解】（1）①由茎叶图可知，前名女生的平均得分为，
解得；
②竞赛成绩高于分的女生有人，男生有人，
按男生和女生分层抽样抽取人，则样本中的男生人数为，女生人数为，
记事件从人中任选人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，这人中有女生，
则；
（2）竞赛成绩高于分的学生共有人，成绩高于分的学生共有人，
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
5．【与回归方程融合】（2020·全国·模拟预测）2020年，国庆“遇上”中秋，中国人把这个“超长黄金周”过出了年味.假期期间，全国各大旅游景点、车站、机场人头攒动的景象也吸引了世界的目光.外国媒体、专家和网友“实名羡慕”，这一派热闹景象证明了抗疫的成功，也展示了中国经济复苏的劲头.抗疫的成功离不开国家强大的医疗卫生体系，下表是某省2013年至2019年医疗卫生机构数（单位：万个）：
（1）求关于的线性回归方程（，保留两位小数）；
（2）规定若某年的实际医疗卫生机构数与估计值的差的绝对值不超过500个，则称该年是“吻合”年.利用（1）的结果，假设2020年该省医疗卫生机构数的估计值为实际值，现从2013年至2020年这8年中任选3年，其中“吻合”年的个数为，求的分布列与数学期望.
参考数据：，.
参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】首先根据表格数据计算得到及，代入公式求得和；第二问先根据回归直线计算从2013年到2019年医疗卫生机构数的估计值，从而得到吻合”年有4个，则“吻合”年的个数的可能取值为0,1,2,3，又由于随机变量服从超几何分布，写出随机变量的分布列并计算数学期望即可.
【详解】（1）由题意得 ，，
则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）2013年至2019年这7年该省医疗卫生机构数的估计值与实际值（单位：万个）如下表所示：
则2013年至2020年这8年中“吻合”年有2013年，2015年，2018年，2020年，共4年，
故的所有可能取值为 0,1,2,3，
且 ，，
故的分布列为
所以.
【点睛】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
6．【与统计图表融合】（2022·山东济宁·嘉祥县第一中学校考模拟预测）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）见解析
【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率.
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超几何分布列计算公式即可得出.
（Ⅲ）答案不唯一.示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
【详解】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，
所以
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.
，，.
X的分布列为：
.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
【点睛】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及根据概率统计做分析和决策等相关问题，属于中档题.
7．【与分层抽样融合】（2021·西藏山南·山南二中校考一模）第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进入口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.
（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？
（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训
①求这3人中既有男生又有女生的概率；
②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可.
【详解】（1）由已知住校生中男生占，则女生占，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人.
（2）①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，
=，=，故，
所以，事件A发生的概率为.
②随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
.随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望.
8．【与发展成就融合】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如下．
（1）计算图中的值；
（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1），，；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）由题意结合图表信息可得，解方程即可得解；
（2）由题意结合分层抽样的性质可得抽取的7人中没有看过《我和我的祖国》的有2人，
进而可得，由超几何分布的概率公式即可得、、，进而可得X的分布列，再由期望公式即可得X的数学期望.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以，，；
（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；
“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；
“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组，共6人；
所以按分层抽样，组被抽取的人数分别为、、；
在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，
，
则，，，
所以X的分布列如下：
X的数学期望．
【点睛】本题考查了统计图表的应用，考查了分层抽样的性质及离散型随机变量分布列和数学期望的求解，属于中档题.
9．【与散点图融合】（2022·北京平谷·统考二模）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（I）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；
（II）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）记该市26个景点的交通平均得分为安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）
【答案】（I）；（II）分布列见解析，期望为；（III）
【分析】（I）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望.
（III）根据两种得分的数据离散程度进行判断.
【详解】（I）由图可知，交通得分前名的景点中，安全得分大于分的景点有个，所以从交通得分前名的景点中任取个，求其安全得分都大于分的概率为.
（II）结合两个图可知，景点总分排名前的的景点中，安全得分不大于分的景点有个，所以的可能取值为.
.
所以的分布列为:
所以.
（III）由图可知，个景点中，交通得分全部在分以上，主要集中在分附近，安全得分主要集中在分附近，且分一下的景点接近一半，故 .
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题.
10．【与数列融合】（2023·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12；(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；
（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；
②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，
又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．区别
①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)
X
0
1
2
3
P
测试成绩（单位：分）
次数
10
9
31
30
15
5
非优秀
优秀
合计
线上教学
线下教学
合计
100
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非优秀
优秀
合计
线上教学
20
10
30
线下教学
30
40
70
合计
50
50
100
0
1
2
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
医疗卫生机构数
4.2
4.3
4.5
4.7
4.8
4.8
4.9
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
实际值
4.2
4.3
4.5
4.7
4.8
4.8
4.9
估计值
4.24
4.36
4.48
4.6
4.72
4.84
4.96
0
1
2
3
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
X
0
1
2
P
0
1
2
P
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