专题13.2 期中期末专项复习之幂的运算十六大必考点-七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

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专题13.2 幂的运算十六大必考点 【苏科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc17395" 【考点1 同底数幂相乘】  PAGEREF _Toc17395 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5978" 【考点2 同底数幂乘法的逆用】  PAGEREF _Toc5978 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc25135" 【考点3 幂的乘方运算】  PAGEREF _Toc25135 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc4480" 【考点4 幂的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc4480 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc30544" 【考点5 积的乘方】  PAGEREF _Toc30544 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc16648" 【考点6 积的乘方的逆用】  PAGEREF _Toc16648 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc12058" 【考点7 同底数幂的除法】  PAGEREF _Toc12058 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc3365" 【考点8 同底数幂的除法的逆用】  PAGEREF _Toc3365 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc7277" 【考点9 零指数幂的运用】  PAGEREF _Toc7277 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc19407" 【考点10 负整数指数幂的运用】  PAGEREF _Toc19407 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc22957" 【考点11 用科学记数法表示绝对值小于1的数】  PAGEREF _Toc22957 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc243" 【考点12 还原用科学记数法表示的小数】  PAGEREF _Toc243 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc27050" 【考点13 利用幂的运算进行比较大小】  PAGEREF _Toc27050 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc24669" 【考点14 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc24669 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc17519" 【考点15 利用幂的运算进行简便计算】  PAGEREF _Toc17519 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc28584" 【考点16 幂的运算中的新定义问题】  PAGEREF _Toc28584 \h 7  【考点1 同底数幂相乘】 【例1】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）已知2x=8，2y=5，2z=40那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是（    ） A．x+y=z B．xy=z C．2x+y=z D．2xy=z 【变式1-1】（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：−a·−a2·−a3·−a4·−a5=____________ 【变式1-2】（2022秋·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考期中）若(2020×2020×…×2020共2020个)×(2020+2020+…+2020共2020个)=2020n，则n＝（    ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【变式1-3】（2022春·山东泰安·六年级统考期中）已知2a=5,2b=3.2,2c=6.4,2d=10，则a+b+c+d的值为_______． 【考点2 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（2022秋·内蒙古赤峰·八年级校考期中）若x=2n+2n+1，y=2n+2+2n+3其中n为整数，则x与y的数量关系为（    ） A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x 【变式2-1】（2022春·山东济南·七年级统考期中）若3x=12，3y=4，则3x+y=____． 【变式2-2】（2022春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）已知2x+y−4=0，则4x⋅2y的值是______． 【变式2-3】（2022春·上海杨浦·六年级期中）阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n=am⋅an；②an=m，知道a和n可以求m，我们不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？对于an=m，规定[a，m]=n，例如：62=36，所以[6，36]=2．记[5，x]=4m，[5，y−3]=4m+2；y与x之间的关系式为__． 【考点3 幂的乘方运算】 【例3】（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）已知2a=3，2b=27，求ba的值 【变式3-1】（2022春·山东泰安·六年级统考期末）计算(−0.125)2022×26066的结果是（    ） A．1 B．－1 C．8 D．－8 【变式3-2】（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）（1）已知am=3,an=4，求a2m+3n的值； （2）已知9n+1−9n=72，求n的值． 【变式3-3】（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）已知，有一组不为零的数 a，b，c，d，e，f，m，满足ab=cd=ef=m，求   解：∵a=bm，c=md，e=fm ∴ a+c+eb+d+f=bm+dm+fmb+d+f=m 利用数学的恒等变形及转化思想，试完成： （1）244，333，422的大小关系是________；     （2）已知 a，b，c 不相等且不为零，若aba+b=13,cbc+b=14,aca+c=15，求 abcab+bc+ac的值． 【考点4 幂的乘方的逆用】 【例4】（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值为________． 【变式4-1】（2022春·江西吉安·七年级统考期末）若3×9m×27m=311，求m的值． 【变式4-2】（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知4x=25y=10，则x−1y−1+xy+2005的值__________． 【变式4-3】（2022春·上海·六年级上海同济大学附属存志学校校考期末）已知2a=8b=64c，求代数式a−b−ca+b+c的值． 【考点5 积的乘方】 【例5】（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）计算：−3x23+−5x2⋅x4． 【变式5-1】（2022秋·湖北荆州·八年级沙市一中校考期中）计算：−0.1255×−216=（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【变式5-2】（2022春·江苏无锡·七年级校联考期末）已知（x2+y）2=11024 ，（12）2x=116，求（12）4y 的值． 【变式5-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）阅读下列各式：(a⋅b)2=a2b2, (a⋅b)3=a3b3, (a⋅b)4=a4b4⋯⋯回答下列三个问题： ①验证：2×12100=_________，2100×12100=___________； ②通过上述验证，归纳得出：(a⋅b)n=_________；(a⋅b⋅c)n=________； ③请应用上述性质计算：(−0.125)2019×22018×42017 【考点6 积的乘方的逆用】 【例6】（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）已知3x+1⋅5x+1=152x−3，则x=________． 【变式6-1】（2022秋·上海·七年级期末）如果2a=3，3a=5，那么12a−6a=_________. 【变式6-2】（2022秋·河北邯郸·七年级统考期末）计算（﹣2.5）2015×（﹣4）2016÷（﹣10）2015=_____． 【变式6-3】（2022春·江苏常州·七年级校考期中）已知6x=192，32y=192，则（-2019）（x-1）（y-1）-1=_____. 【考点7 同底数幂的除法】 【例7】（2022春·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期中）①若3×27n÷9＝320，则n＝_____； ②﹣（2y﹣x）4÷（x﹣2y）3＝_____． 【变式7-1】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）已知am=−3，an=2，则a3m−2n=______． 【变式7-2】（2022春·安徽合肥·七年级合肥市五十中学西校校考期中）已知3a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之间满足的等量关系是_____． 【变式7-3】（2022春·河南郑州·七年级校考期中）已知4m+3⋅8m+1÷24m+7=32，求m的值． 【考点8 同底数幂的除法的逆用】 【例8】（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）已知10a=20，100b=50，则2a+4b−3的值是（    ） A．9 B．5 C．3 D．6 【变式8-1】（2022春·河北邯郸·七年级统考期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（          ） A．278 B．2716 C．11 D．19 【变式8-2】（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）已知2x−3y−2=0，则9x÷27y的值为________． 【变式8-3】（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）（1）已知5x=36，5y=2，求5x−2y的值． （2）已知x2n=2，求3x3n2−4x22n的值． 【考点9 零指数幂的运用】 【例9】（2022春·安徽宣城·七年级校联考期中）计算：−22+−12−1+π30−38． 【变式9-1】（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）计算120−23=______． 【变式9-2】（2022春·山东烟台·六年级统考期中）下列运算正确的是（    ） A．(−π)0=0 B．x4x5=x20 C．ab23=a3b5 D．2a2a−1=2a 【变式9-3】（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）已知x−3x−2=1，则x=______． 【考点10 负整数指数幂的运用】 【例10】（2022春·河北保定·七年级保定市第十七中学校考期中）已知2x+3×3x+3=36x+1，那么2022−x的值是（    ） A．2022 B．1 C．−12022 D．12022 【变式10-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）若3×9−m×27m=34，则m的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式10-2】（2022春·六年级期中）在①−x5⋅(−x)2；②−(−x)6⋅(1x)−4；③−(−x2)3⋅(x3)2；④[−(−x)2]5中，计算结果是−x10的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-3】（2022春·安徽滁州·七年级校考期中）如果a=(−2019)0,b=(−0.1)−1,c=(−53)−2，那么a,b,c三数的大小为（  ） A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 【考点11 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例11】（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　） A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m 【变式11-1】（2022秋·浙江宁波·七年级宁波市第十五中学校考期中）新型冠状病毒体积很小，这种病毒外直径大概在0.00000 011米，则0.00000011这个数字可用科学记数法表示为（　　） A．1.1×10−6 B．1.1×10−7 C．1.1×10−8 D．0.11×10−8 【变式11-2】（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为62微米（1微米=0.000001米）．将62微米用科学记数法表示为（    ） A．0.62×10−5米 B．6.2×10−6米 C．6.2×10−5米 D．62×10−6米 【变式11-3】（2022春·辽宁朝阳·七年级统考期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（Schwarzschild）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞．施瓦氏半径（单位：米）的计算公式是R=2GMc2，其中G=6.67×10−11 牛·米2/千克2，为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：千克）；c=3×108米/秒，为光在真空中的速度．已知太阳的质量为2×1030千克，则可计算出太阳的施瓦氏半径为（     ） A．2.96×102米 B．2.96×103米 C．2.96×104米 D．2.96×105米 【考点12 还原用科学记数法表示的小数】 【例12】（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）某种细胞的直径约为0.0…08米．将0.0…08米用科学记数法表示为8×10−6米，则原数中小数点后“0”的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式12-1】（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（    ） A．50×10−8cm B．0.5×10−7cm C．5×10−7cm D．5×10−8cm 【变式12-2】（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）世界上最小的开花结果的植物的果实像一个微小的无花果，其质量只有7.6×10﹣8g．将7.6×10﹣8用小数表示为 _____． 【变式12-3】（2022春·海南海口·八年级校联考期末）下列哪一个数值最小（    ） A．9.5×10−9 B．2.5×10−9 C．9.5×10−8 D．2.5×10−8 【考点13 利用幂的运算进行比较大小】 【例13】（2022·福建省罗源第二中学八年级期中）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（   ） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【变式13-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期中）阅读下列材料: 若a3=2,b5=3，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”). 解:因为a15=a35=25=32,b15=b53=33=27,32>27，所以a15>b15， 所以a>b. 解答下列问题: (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_ A．同底数幂的乘法      B．同底数幂的除法         C．幂的乘方      D．积的乘方 (2)已知x5=2,y7=3，试比较x与y的大小． 【变式13-2】（2022·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期中）阅读探究题：． 【阅读材料】 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小， 如：25>23，55>45 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325， 解：2710=3310=330，∵30>25，∴330>325 [类比解答]比较254，1253的大小． [拓展拔高]比较3555，4444，5333的大小． 【变式13-3】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”） (2)比较233与322的大小； (3)比较312×510与310×512的大小． 【考点14 幂的混合运算】 【例14】（2022·福建漳州·七年级期中） 计算 (1) (m−n)2⋅(n−m)3⋅(n−m)4   (2) (b2n)3(b3)4n÷(b5)n+1 (3) (a2)3−a3⋅a3+(2a3)2 (4) (−4am+1)3÷[2(2am)2⋅a] 【变式14-1】（2022·陕西西安·七年级期中）计算：2x3⋅x52+−x2⋅−x23⋅x24． 【变式14-2】（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算： (1)x⋅x2⋅x3+(x2)3−2(x3)2； (2)(−4am+1)3+[2(2am)2⋅a]． 【变式14-3】（2022·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）计算：（1）x2⋅x4+x32−5x6     （2）−2a6−−3a32+−2a23 【考点15 利用幂的运算进行简便计算】 【例15】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）计算0.25100×−12101×8101=_________． 【变式15-1】（2022·湖南怀化·七年级期中）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（    ） A．﹣1 B．1 C．0.25 D．44020 【变式15-2】（2022·上海杨浦·七年级期中）用简便方法计算：−35×(−23)5×(−5)6 【变式15-3】（2022·福建·泉州市第九中学八年级期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：520_________420 （填写>、<或=）． (2)比较233与322的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算42021×0.252020−82021×0.1252020． 【考点16 幂的运算中的新定义问题】 【例16】（2022·山东省青岛第五十一中学七年级期中）阅读材料： 定义：如果10a=n，那么称a为n的劳格数，记为a=dn， 例如：102=100，那么称2是100的劳格数，记为2=d100． 填空：根据劳格数的定义，在算式a=d1000中，______相当于定义中的n，所以d1000=______； 直接写出d10−8=______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且10a=p，10b=q， 根据劳格数的定义：dp=a，dq=______， ∵10a⋅10b=pq ∴10a+b=pq，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴dpq=______，即dpq=dp+dq， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：dmn=______． 【变式16-1】（2022·北京·清华附中八年级期中）定义一种新运算a，b，若ac=b，则a，b=c，例2，8=3，3，81=4．若3，5+3，7=3，x，则x的值为______． 【变式16-2】（2022·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021的值，采用以下方法： 设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021① 则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022② ②−①得，2S−S=S=22022−1． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+⋅⋅⋅+220=______； （2）求1+12+122+⋅⋅⋅++1250=______； （3）求−2+−22+⋅⋅⋅+−2100的和；（请写出计算过程） （4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）