第14讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮

第十四讲  一次函数、二次函数背景下的存在性问题

考点一  等腰三角形存在性

考点二  直角三角形存在性

考点三  平行四边形存在性

考点一  等腰三角形存在性

1．如图1，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例函数y＝x的图象交于点C．

（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点E是线段OD上一点，F是y轴正半轴上一点，且∠ECF＝45°，连接EF，求△OEF的周长．

2．如图所示，一次函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第二象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．

（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第一象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；

（3）在坐标轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，请写出所有可能的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．

（1）求点B的坐标；

（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；

（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．

4．如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线y＝kx+b经过点B与点C（2，0）．

（1）点A的坐标为 　   　；点B的坐标为 　   　；

（2）求直线y＝kx+b的表达式；

（3）在x轴上有一动点M（t，0），过点M作x轴的垂线与直线y＝x+2交于点E，与直线y＝kx+b交于点F，若EF＝OB，求t的值．

（4）当点M（t，0）在x轴上移动时，是否存在t的值使得△CEF是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，直接答不存在．

考点二  直角三角形存在性

5．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．

根据信息解答下列问题：

（1）求直线l1的表达式．

（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．

（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．

6．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过B（6，1）的直线l2与直线l1交于点C（m，﹣5）．

（1）求直线l2的解析式；

（2）若点D是第一象限位于直线l2上的一动点，过点D作DH∥y轴交l1于点H．当DH＝8时，试在x轴上找一点E，在直线l1上找一点F，使得△DEF的周长最小，求出周长的最小值；

（3）如图2，将直线l2绕点A逆时针旋转90°得到直线l3，点P是直线l3上一点，到y轴的距离为2且位于第一象限．直线l2与x轴交于点M，与y轴交于点N，将△OMN沿射线NM方向平移2个单位，平移后的△OMN记为△O'M'N'．在平面内是否存在一点Q，使得以点M′，C，P，Q顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；

（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C′处，且OC′＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C′BM为以C′B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．

（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点三  平行四边形存在性

9．已知抛物线L经过点A（﹣1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．

10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；

（3）试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

11．如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；

②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；

（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．