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高中数学高考山西省2019届高三3月高考考前适应性测试数学（理）试题（广东湛江一模同卷）（解析版）
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2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x|x＜-1或x＞10}，B={x|-2＜x＜3，x∈Z}，则（∁RA）∩B=（ ）
A. {-1,2} B. {-2,2} C. {0,1，2} D. {-1,0，1，2}
2. 下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）
A. y=x3-x B. y=e|x| C. y=|lnx| D. y=sinx
3. 已知复数z满足1+z1-z=-2+i（i为虚数单位），则z=（ ）
A. 2+i B. 2-i C. -2+i D. -2-i
4. 某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ）
A. 12 B. 310 C. 14 D. 15
5. 已知直线l：4x-3y+6=0和抛物线C：y2=4x，P为C上的一点，且P到直线l的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个
6. 已知函数f（x）=sin2x+sin（2x+π3），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是（ ）
A. π12 B. π6 C. π3 D. 5π6
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 113
B. 133
C. 143
D. 163
8. 我们知道欧拉数e=27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i=50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（ ）
A. (5352)52
B. (5251)51
C. (5150)50
D. (5049)49
9. 在正三角形ABC中，AB=2，BD=DC，AE=12EC，且AD与BE相交于点O，则OA•OB=（ ）
A. -45 B. -34 C. -23 D. -12
10. （2x-3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（ ）
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，若△ABC的面积为34（a2+c2-b2），周长为6，则b的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 433
12. 设函数f（x）=lnx+x-a（a∈R），若曲线y=cosx+2上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（ ）
A. [ln3-6,0] B. [ln3-6,ln2-2] C. [2ln2-12,0] D. [2ln2-12,ln2-2]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知sinα-3cosα=0，则sin2α=______．
14. 某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名．
15. 若双曲线E：x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为E右支上一点，|PF1|=|F1F2|，∠PF1F2=30°，△PF1F2的面积为2，则a=______．
16. 已知空间直角坐标系中的四个点A（4，1，1），B（4，-2，-1），C（-2，-2，-1），D（-2，1，-1）．经过A，B，C，D四点的球记作球M．从球M内部任取一点P，则点P落在三棱锥A-BCD内部的概率是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．
（1）求an和bn；
（2）求数列{nbn}的前n项和Sn．
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，平面PAB⊥平面ABCD，点E为BC中点，点F满足PF=12FA，AP=PB=22AB=2．
（1）求证：PC∥平面DEF；
（2）求二面角F-DE-B的余弦值．
19. 在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；
（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点Q（22，32），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘积为-12．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当F2A•F2B=2时，求△ABF2的面积．
21. 已知函数f（x）=（kx-1）ex-k（x-1）．
（1）若f（x）在x=x0处的切线斜率与k无关求x0；
（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．
22. 在极坐标系中，直线l：ρcosθ=3，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为3．
（1）求Q点的极坐标；
（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．
23. 已知函数f（x）=|x+1|-2|x-1|+a．
（1）当a=0时，解不等式f（x）≥0；
（2）若二次函数y=-x2+8x-14的图象在函数y=f（x）的图象下方，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：B={-1，0，1，2}，∁RA={x|-1≤x≤10}；
∴（∁RA）∩B={-1，0，1，2}．
故选：D．
可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算．
2.【答案】C
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x3-x，有f（-x）=-f（x），为奇函数，
对于B，y=e|x|，有f（-x）=f（x），为偶函数，
对于C，y=|lnx|，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；
对于D，y=sinx，为正弦函数，是奇函数；
故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
解：由=-2+i，得1+z=（1-z）（-2+i）=-2+i+2z-zi，
∴z=．
故选：A．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
解：某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．
基本事件总数n==20，
他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m==4，
∴他第1次、第2次两次均未命中的概率是p==．
故选：D．
基本事件总数n==20，他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m==4，由此能求出他第1次、第2次两次均未命中的概率．
本题考查概率的求法，考查古典型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】
解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），（1，0）到直线4x-3y+6=0的距离为：=2，
与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：
直线PF与抛物线一定有两个交点．
故选：C．
求出抛物线的焦点坐标，求出焦点到直线4x-3y+6=0的距离，利用数形结合判断求解即可．
本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题
6.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=sin2x+sin（2x+）=sin2x+sin2x+cos2x=sin（2x+），
将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后，得到y=sin（2x+2φ+）的图象．
∵得到的函数为偶函数，则2φ+=kπ+，k∈Z，故φ的最小值为，
故选：B．
利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．
本题主要考查两角和差的三角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】
解：根据三视图知，该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥，如图粗线部分所示；
结合图中数据，计算该几何体的体积是V=23-×2×1×2-××2×1×2=．
故选：D．
根据三视图知该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥剩余部分，结合图中数据求出它的体积．
本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题．
8.【答案】B
【解析】
解：当n=49时，n＞50不成立，则n=50，此时m=49，k=51，此时e=（）50，
当n=50时，n＞50不成立，则n=51，此时m=50，k=52，此时e=（）51，
当n=51时，n＞50成立，程序终止，输出e=（）51，
故e的近似值为（）51，
故选：B．
根据条件得到临界值，当n=49时，e的取值，然后验证当n=50，51时是否满足，从而确定此时对应的m和k的值即可得到结论．
本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法，结合临界值n=49寻找对应规律是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】
解：由题意，画图如下：
设=，
．
∵=．
∴可得方程组：
，解得：．
∴，．
∴
=
=
=．
故选：B．
本题主要是根据题意将用设成的基底向量表示出来，然后通过基底向量来进行向量之间的运算．
本题主要考查基底向量的建立以及如何用基底向量来表示所求向量，如何表示是本题的难点，本题是一道较难的中档题．
10.【答案】A
【解析】
解：∵（2x-3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，
∴•2n-1•（-3）=-•22•（-3）n-2，检验可得，n=4，
则（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于2n=16，
故选：A．
由题意可得 •2n-1•（-3）=-•22•（-3）n-2，检验可得，n=4，从而求得（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和2n 的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】
解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为（a2+c2-b2），
则S△ABC=acsinB=（a2+c2-b2），
∴sinB==cosB，
∴tanB=，
∵0＜B＜π
∴B=，
∵a+b+c=6，
∴a+c=6-b
∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-32=（a+c）2=（6-b）2，当且仅当a=c时取等号，
∴b2+4b-12≥0，即（b-2）（b+6）≥0，
解得b≥2，
故b的最小值为2，
故选：A．
先根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出B=，再根据余弦定理结合基本不等式即可求出b的最小值
本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12.【答案】A
【解析】
解：由题意，根据曲线y=cosx+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，即y0∈[1，3]，
下面证明f（y0）=y0，
假设f（y0）=C＞y0，则f（f（y0））=f（C）＞f（y0））=C＞y0，不足满f（f（y0））=y0，
同理f（y0）=C＜y0，不足满f（f（y0））=y0，
∴f（y0）=y0，
那么函数f（x）=∈[1，3]，即函数f（x）=x在x∈[1，3]有解；
∴lnx+x-a=x2
即lnx+x-x2=a；x∈[1，3]
令h（x）=lnx+x-x2，
则h′（x）=+1-2x，
令h′（x）=0，可得x=1或x=（舍）
当x∈（0，1]时，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，1]单调递增；
当x∈[1，3]时，h′（x）＜0，h（x）在x∈[1，3]单调递减；
∴ln3-6≤h（x）≤0；
即ln3-6≤a≤0；
故选：A．
根据曲线y=cosx+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），即y0∈[1，3]，使得f（f（y0））=y0，那么函数f（x）=∈[1，3]，即函数f（x）=x在x∈[1，3]有解；平方化简即可求解；
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，讨论以及转化思想的应用以及导函数单调性的应用．
13.【答案】35
【解析】
解：由sinα-3cosα=0，得tanα=3，
则sin2α==．
故答案为：．
由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
14.【答案】2
【解析】
解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，
乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，
此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，
若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件．
若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件．
故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，
则甲排第2位，
故答案为：2
分别讨论三人中一人说的不对，另外2人正确，然后进行验证是否满足条件即可．
本题主要考查合情推理的应用，利用三人中恰有一人说得不对，分别进行讨论是解决本题的关键．
15.【答案】2+1-3
【解析】
解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∠PF1F2=30°，△PF1F2的面积为2，可得解得c=，P（-2，），代入双曲线方程可得：，（0＜a＜），
解得a=．
故答案为：．
根据双曲线的定义结合已知条件|PF1|=2c，求出c，转化求解P的坐标，代入双曲线方程，求解即可．
本题主要考查双曲线离心率的计算，双曲线的定义以及三角形的面积的转化，建立方程是解决本题的关键．
16.【答案】36343π
【解析】
解：依题意：BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且满足[[（4+2）2+（-2-1）1+（-1+1）2]=[（4+2）2+（-2+2）2+（-1+1）2]+[（-2+2）2+（-2-1）2+（-1+1）2]，即BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，∴BD中点E（1，，-1）到△BCD三顶点的距离相等，又BCD三点在竖坐标皆为-1，故三点在平行于xoy坐标面的平面内，所以球心在过E且垂直于xoy坐标面的直线上，设球心F坐标为（1，-，z），则DF=AF，即=，得z=0，所以球的半径r=，
所以，球的体积V===，
三棱锥A-BCD是以直角三角形BCD为底，高为2的三棱锥，其体积V1===6，
点P落在三棱锥A-BCD内部的概率是：P===．
故填：．
由A，B，C，D四点的坐标知，BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且三角形BCD是以C为直角顶点的直角三角形，故球心在过BD中点且垂直于xoy坐标面的直线上，设出球心坐标，即可求出球心，然后求出三棱锥的体积及球的体积，可得．
本题的突破口为发现三角形BCD是直角三角形，且在平行于xoy坐标面的平面上，进而分析得到球心位置，并设出球心，本题属于难题．
17.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，∵a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．
∴a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，
联立解得：a1=-2，d=2，b1=12，q=2，
∴an=-2+2（n-1）=2n-4，bn=2n-2．
（2）数列{nbn}的前n项和Sn=12+2+3×2+4×22+……+n•2n-2，
∴2Sn=1+2×2+3×22+……+（n-1）•2n-2+n•2n-1，
∴-Sn=12+1+2+22+……+2n-2-n•2n-1=12(2n-1)2-1-n•2n-1，
化为：Sn=（n-1）•2n-1+12．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1，d，b1，q，利用通项公式即可得出．
（2）利用错位相减法即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，
底面ABCD为菱形，且E为BC中点，
∴GCGA=CEDA=12，
∵F为AP上一点，且满足PF=12FA，∴GF∥PC，
又GF⊂平面DEF，PC⊄平面DEF，
∴PC∥平面DEF．
解：（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，
∵底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，∴DO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，∴DO⊥平面PAB，
∵AP=PB=22AB，∴PO⊥AB，
以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F（23，-13，0），B（0，1，0），D（0，0，3），E（0，32，32），
∴DE=（0，32，-32），DF=（23，-13，-3），
设平面DEF的一个法向量m=（x，y，z），
则m⋅DE=32y-32z=0m⋅DF=23x-13y-3z=0，取z=3，得m=（5，1，3），
平面DEB的一个法向量n=（1，0，0），
设二面角F-DE-B的平面角为θ，
则cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=529=52929，
∴二面角F-DE-B的余弦值为52929．
【解析】
（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，推导出GF∥PC，由此能证明PC∥平面DEF．
（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-DE-B的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.【答案】解：（1）根据题意读出的编号依次是：
512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，
将有效编号从小到大排列，得：
332，512，547，647，687，770，805，858，876，
∴中位数为：647+6872=667．
（2）由题意知，按照系统抽样法，
抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，
故样本编号之和即为该数列的前10项之和，
∴样本中所有编号之和为：
S10=10×8+10×92×90=4130．
（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，
由题意知i=188×7=56，i=18(xi-7)2=8×4=32，
i=12yi=16，i=12(yi-8)2=2×1=2，
∴样本平均数为：i=18xi+i=12yi8+2=56+1610=7.2，
样本方差为：i=18(xi-7)2+i=12(yi-7.2)28+2=i=18[(xi-7)+0．2]2+i=12[(yi-8)+0.8]28+2
=i=88(x1-7)2-0.4i=18(xi-7)+8×0．22+i=12(yi-0.8)2+1.6i2(yi-8)2×0．828+2
=32-0+0.32+2+0+1.28103.56，
∴用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
【解析】
（1）根据题意读出的编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数．
（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，由上能求出样本编号之和即．
（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，=8×4=32，=16，=2×1=2，由此能用样本估计900名考生选做题得分的平均数，方差．
本题考查中位数、平均数、言状工样本编号、概率的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：（1）设B1（0，b），B2（0，-b），P（x，y），
则x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），
由kPB1•kPB2=y-bx•y+bx=y2-b2x2=-b2a2=-12，
∴a2=2b2，①
又Q在E上22a2+34b2=1，②，
由①②解得a2=2，b2=1，
∴椭圆E的方程为x22+y2=1．
（2）设直线l的方程为x=my-1，代入到x22+y2=1可得（m2+2）y2-2my-1=0，③
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1+y2=2mm2+2，y1y2=-1m2+2，④
∴F2A•F2B=（x1-1，y1）（x2-1，y2）=（my1-2，y1）（my2-2，y2）
=（m2+1）y1y2-2m（y1+y2）+4，⑤，
把④代入⑤得F2A•F2B=7-m2m2+2=2，解得m=±1，
由对称性，不妨取m=1，则③变为3y2-2y-1=0，解得y1=-13，y2=1
则△ABF2的面积S=12×2（y1-y2）=1+13=43．
【解析】
（1）根据椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘积为-，以及过点Q（，），即可得到a2=2b2，+=1，解得即可，
（2）设直线l的方程为x=my-1，代入到+y2=1可得（m2+2）y2-2my-1=0，根据韦达定理和向量的运算即可求出m的值，求出三角形的面积即可．
本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）∵f（x）=（kx-1）ex-k（x-1），
∴f′（x）=（kx+k-1）ex-k=k[（x+1）ex-1]-ex，
由已知得，(x0+1)ex0-1=0，
令g（x）=（x+1）ex-1，则g′（x）=（x+2）ex，
当x∈（-∞，-2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∵x＜-2，∴x+1＜-1，则（x+1）ex-1＜0，因此g（x）＜0；
当x∈（-2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
又g（0）=0，∴g（x）有唯一零点，故x0=0；
（2）f（x）＜0，即（kx-1）ex-k（x-1）＜0，
∴k（xex-x+1）＜ex，
当x≥0时，∵ex-1≥0，∴x（ex-1）+1＞0，
当x＜0时，∵ex-1＜0，∴x（ex-1）+1＞0，
∴x（ex-1）+1＞0，
则k（xex-x+1）＜ex⇔k＜exxex-x+1．
设h（x）=exxex-x+1，则k＜h（x）max．
又h′（x）=ex(2-ex-x)(xex-x+1)2，令φ（x）=2-ex-x，
则φ′（x）=-ex-1＜0，φ（x）在R上单调递减，
又φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得φ（x0）=0，
即ex0=2-x0，
当x∈（-∞，x0）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）max=ex0x0ex0-x0+1=2-x0x0(2-x0)-x0+1=1x0-2+1x0-2+3．
令t=x0-2（-2＜t＜-1），则y=t+1t+3∈（12，1），
则h（x）max∈（1，2），故整数k的最大值为1．
【解析】
（1）由已知求得f′（x）=k[（x+1）ex-1]-ex，得到，令g（x）=（x+1）ex-1，利用导数研究其单调性，结合函数零点的判定可得g（x）有唯一零点，且x0=0；
（2）由f（x）＜0，即（kx-1）ex-k（x-1）＜0，得到k（xex-x+1）＜ex，即k＜，h（x）=，利用导数求其最大值的取值范围，可得整数k的最大值为1．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．
22.【答案】解：（1）直线l：ρcosθ=3，以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），
设P（3cosθ，θ），由且△OPQ面积为3．
则：34(3cosθ)2=3，
由于△OPQ为正三角形，
所以：OQ的极角为π2
且|PO|=|OQ|=2，
所以：Q（2，π2）．
（2）由于△OPQ为正三角形，
得到其外接圆的直径|OR|=433，
设M（ρ，θ）为△OPQ外接圆上任意一点．
在Rt△OMR中，cos（π3-θ）=ρ|OR|，
所以：M（ρ，θ）满足ρ=433cos(π3-θ)．
故：△OPQ的外接圆方程ρ=433cos(π3-θ)，
直线l：x=3，：△OPQ的外接圆直角坐标方程为x2+y2-233x-2y=0．
圆心到直线的距离d=233，即为半径，
故直线与圆相外切．
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.【答案】解：（1）当a=0时，不等式f（x）≥0化为：|x+1|-2|x-1|≥0，
移项得|x+1|≥2|x-1|，
平方分解因式得（3x-1）（x-3）≤0，
解得13≤x≤3．
解集为{x|13≤x≤3}．
（2）化简得f（x）=x-3+a，x≤-13x-1+a，-1＜x≤1-x+3+a，x＞1，
根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，
当x＞1时，f（x）=-x+3+a，
由y=-x2+8x-14得y′=-2x+8，
设二次函数与直线y=-x+3+a的切点为（x0，y0），
则-2x0+8=-1，解得x0=92，所以y0=74，
代入f（x）=-x+3+a，解得a=134，
所以a的取值范围是a＞134．
【解析】
（1）a=0时，将不等式移项平方分解因式可解得；
（2）根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x|x＜-1或x＞10}，B={x|-2＜x＜3，x∈Z}，则（∁RA）∩B=（ ）
A. {-1,2} B. {-2,2} C. {0,1，2} D. {-1,0，1，2}
2. 下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）
A. y=x3-x B. y=e|x| C. y=|lnx| D. y=sinx
3. 已知复数z满足1+z1-z=-2+i（i为虚数单位），则z=（ ）
A. 2+i B. 2-i C. -2+i D. -2-i
4. 某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ）
A. 12 B. 310 C. 14 D. 15
5. 已知直线l：4x-3y+6=0和抛物线C：y2=4x，P为C上的一点，且P到直线l的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个
6. 已知函数f（x）=sin2x+sin（2x+π3），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是（ ）
A. π12 B. π6 C. π3 D. 5π6
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 113
B. 133
C. 143
D. 163
8. 我们知道欧拉数e=27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i=50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（ ）
A. (5352)52
B. (5251)51
C. (5150)50
D. (5049)49
9. 在正三角形ABC中，AB=2，BD=DC，AE=12EC，且AD与BE相交于点O，则OA•OB=（ ）
A. -45 B. -34 C. -23 D. -12
10. （2x-3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（ ）
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，若△ABC的面积为34（a2+c2-b2），周长为6，则b的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 433
12. 设函数f（x）=lnx+x-a（a∈R），若曲线y=cosx+2上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（ ）
A. [ln3-6,0] B. [ln3-6,ln2-2] C. [2ln2-12,0] D. [2ln2-12,ln2-2]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知sinα-3cosα=0，则sin2α=______．
14. 某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名．
15. 若双曲线E：x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为E右支上一点，|PF1|=|F1F2|，∠PF1F2=30°，△PF1F2的面积为2，则a=______．
16. 已知空间直角坐标系中的四个点A（4，1，1），B（4，-2，-1），C（-2，-2，-1），D（-2，1，-1）．经过A，B，C，D四点的球记作球M．从球M内部任取一点P，则点P落在三棱锥A-BCD内部的概率是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．
（1）求an和bn；
（2）求数列{nbn}的前n项和Sn．
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，平面PAB⊥平面ABCD，点E为BC中点，点F满足PF=12FA，AP=PB=22AB=2．
（1）求证：PC∥平面DEF；
（2）求二面角F-DE-B的余弦值．
19. 在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；
（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点Q（22，32），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘积为-12．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当F2A•F2B=2时，求△ABF2的面积．
21. 已知函数f（x）=（kx-1）ex-k（x-1）．
（1）若f（x）在x=x0处的切线斜率与k无关求x0；
（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．
22. 在极坐标系中，直线l：ρcosθ=3，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为3．
（1）求Q点的极坐标；
（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．
23. 已知函数f（x）=|x+1|-2|x-1|+a．
（1）当a=0时，解不等式f（x）≥0；
（2）若二次函数y=-x2+8x-14的图象在函数y=f（x）的图象下方，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：B={-1，0，1，2}，∁RA={x|-1≤x≤10}；
∴（∁RA）∩B={-1，0，1，2}．
故选：D．
可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算．
2.【答案】C
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x3-x，有f（-x）=-f（x），为奇函数，
对于B，y=e|x|，有f（-x）=f（x），为偶函数，
对于C，y=|lnx|，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；
对于D，y=sinx，为正弦函数，是奇函数；
故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
解：由=-2+i，得1+z=（1-z）（-2+i）=-2+i+2z-zi，
∴z=．
故选：A．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
4.【答案】D
【解析】
解：某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．
基本事件总数n==20，
他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m==4，
∴他第1次、第2次两次均未命中的概率是p==．
故选：D．
基本事件总数n==20，他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m==4，由此能求出他第1次、第2次两次均未命中的概率．
本题考查概率的求法，考查古典型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】
解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），（1，0）到直线4x-3y+6=0的距离为：=2，
与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：
直线PF与抛物线一定有两个交点．
故选：C．
求出抛物线的焦点坐标，求出焦点到直线4x-3y+6=0的距离，利用数形结合判断求解即可．
本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题
6.【答案】B
【解析】
解：函数f（x）=sin2x+sin（2x+）=sin2x+sin2x+cos2x=sin（2x+），
将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后，得到y=sin（2x+2φ+）的图象．
∵得到的函数为偶函数，则2φ+=kπ+，k∈Z，故φ的最小值为，
故选：B．
利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．
本题主要考查两角和差的三角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】
解：根据三视图知，该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥，如图粗线部分所示；
结合图中数据，计算该几何体的体积是V=23-×2×1×2-××2×1×2=．
故选：D．
根据三视图知该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥剩余部分，结合图中数据求出它的体积．
本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题．
8.【答案】B
【解析】
解：当n=49时，n＞50不成立，则n=50，此时m=49，k=51，此时e=（）50，
当n=50时，n＞50不成立，则n=51，此时m=50，k=52，此时e=（）51，
当n=51时，n＞50成立，程序终止，输出e=（）51，
故e的近似值为（）51，
故选：B．
根据条件得到临界值，当n=49时，e的取值，然后验证当n=50，51时是否满足，从而确定此时对应的m和k的值即可得到结论．
本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法，结合临界值n=49寻找对应规律是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】
解：由题意，画图如下：
设=，
．
∵=．
∴可得方程组：
，解得：．
∴，．
∴
=
=
=．
故选：B．
本题主要是根据题意将用设成的基底向量表示出来，然后通过基底向量来进行向量之间的运算．
本题主要考查基底向量的建立以及如何用基底向量来表示所求向量，如何表示是本题的难点，本题是一道较难的中档题．
10.【答案】A
【解析】
解：∵（2x-3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，
∴•2n-1•（-3）=-•22•（-3）n-2，检验可得，n=4，
则（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于2n=16，
故选：A．
由题意可得 •2n-1•（-3）=-•22•（-3）n-2，检验可得，n=4，从而求得（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和2n 的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】
解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为（a2+c2-b2），
则S△ABC=acsinB=（a2+c2-b2），
∴sinB==cosB，
∴tanB=，
∵0＜B＜π
∴B=，
∵a+b+c=6，
∴a+c=6-b
∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-32=（a+c）2=（6-b）2，当且仅当a=c时取等号，
∴b2+4b-12≥0，即（b-2）（b+6）≥0，
解得b≥2，
故b的最小值为2，
故选：A．
先根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出B=，再根据余弦定理结合基本不等式即可求出b的最小值
本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12.【答案】A
【解析】
解：由题意，根据曲线y=cosx+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，即y0∈[1，3]，
下面证明f（y0）=y0，
假设f（y0）=C＞y0，则f（f（y0））=f（C）＞f（y0））=C＞y0，不足满f（f（y0））=y0，
同理f（y0）=C＜y0，不足满f（f（y0））=y0，
∴f（y0）=y0，
那么函数f（x）=∈[1，3]，即函数f（x）=x在x∈[1，3]有解；
∴lnx+x-a=x2
即lnx+x-x2=a；x∈[1，3]
令h（x）=lnx+x-x2，
则h′（x）=+1-2x，
令h′（x）=0，可得x=1或x=（舍）
当x∈（0，1]时，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，1]单调递增；
当x∈[1，3]时，h′（x）＜0，h（x）在x∈[1，3]单调递减；
∴ln3-6≤h（x）≤0；
即ln3-6≤a≤0；
故选：A．
根据曲线y=cosx+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），即y0∈[1，3]，使得f（f（y0））=y0，那么函数f（x）=∈[1，3]，即函数f（x）=x在x∈[1，3]有解；平方化简即可求解；
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，讨论以及转化思想的应用以及导函数单调性的应用．
13.【答案】35
【解析】
解：由sinα-3cosα=0，得tanα=3，
则sin2α==．
故答案为：．
由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
14.【答案】2
【解析】
解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，
乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，
此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，
若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件．
若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件．
故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，
则甲排第2位，
故答案为：2
分别讨论三人中一人说的不对，另外2人正确，然后进行验证是否满足条件即可．
本题主要考查合情推理的应用，利用三人中恰有一人说得不对，分别进行讨论是解决本题的关键．
15.【答案】2+1-3
【解析】
解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∠PF1F2=30°，△PF1F2的面积为2，可得解得c=，P（-2，），代入双曲线方程可得：，（0＜a＜），
解得a=．
故答案为：．
根据双曲线的定义结合已知条件|PF1|=2c，求出c，转化求解P的坐标，代入双曲线方程，求解即可．
本题主要考查双曲线离心率的计算，双曲线的定义以及三角形的面积的转化，建立方程是解决本题的关键．
16.【答案】36343π
【解析】
解：依题意：BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且满足[[（4+2）2+（-2-1）1+（-1+1）2]=[（4+2）2+（-2+2）2+（-1+1）2]+[（-2+2）2+（-2-1）2+（-1+1）2]，即BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，∴BD中点E（1，，-1）到△BCD三顶点的距离相等，又BCD三点在竖坐标皆为-1，故三点在平行于xoy坐标面的平面内，所以球心在过E且垂直于xoy坐标面的直线上，设球心F坐标为（1，-，z），则DF=AF，即=，得z=0，所以球的半径r=，
所以，球的体积V===，
三棱锥A-BCD是以直角三角形BCD为底，高为2的三棱锥，其体积V1===6，
点P落在三棱锥A-BCD内部的概率是：P===．
故填：．
由A，B，C，D四点的坐标知，BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且三角形BCD是以C为直角顶点的直角三角形，故球心在过BD中点且垂直于xoy坐标面的直线上，设出球心坐标，即可求出球心，然后求出三棱锥的体积及球的体积，可得．
本题的突破口为发现三角形BCD是直角三角形，且在平行于xoy坐标面的平面上，进而分析得到球心位置，并设出球心，本题属于难题．
17.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，∵a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．
∴a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，
联立解得：a1=-2，d=2，b1=12，q=2，
∴an=-2+2（n-1）=2n-4，bn=2n-2．
（2）数列{nbn}的前n项和Sn=12+2+3×2+4×22+……+n•2n-2，
∴2Sn=1+2×2+3×22+……+（n-1）•2n-2+n•2n-1，
∴-Sn=12+1+2+22+……+2n-2-n•2n-1=12(2n-1)2-1-n•2n-1，
化为：Sn=（n-1）•2n-1+12．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1，d，b1，q，利用通项公式即可得出．
（2）利用错位相减法即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，
底面ABCD为菱形，且E为BC中点，
∴GCGA=CEDA=12，
∵F为AP上一点，且满足PF=12FA，∴GF∥PC，
又GF⊂平面DEF，PC⊄平面DEF，
∴PC∥平面DEF．
解：（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，
∵底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，∴DO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，∴DO⊥平面PAB，
∵AP=PB=22AB，∴PO⊥AB，
以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F（23，-13，0），B（0，1，0），D（0，0，3），E（0，32，32），
∴DE=（0，32，-32），DF=（23，-13，-3），
设平面DEF的一个法向量m=（x，y，z），
则m⋅DE=32y-32z=0m⋅DF=23x-13y-3z=0，取z=3，得m=（5，1，3），
平面DEB的一个法向量n=（1，0，0），
设二面角F-DE-B的平面角为θ，
则cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=529=52929，
∴二面角F-DE-B的余弦值为52929．
【解析】
（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，推导出GF∥PC，由此能证明PC∥平面DEF．
（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-DE-B的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.【答案】解：（1）根据题意读出的编号依次是：
512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，
将有效编号从小到大排列，得：
332，512，547，647，687，770，805，858，876，
∴中位数为：647+6872=667．
（2）由题意知，按照系统抽样法，
抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，
故样本编号之和即为该数列的前10项之和，
∴样本中所有编号之和为：
S10=10×8+10×92×90=4130．
（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，
由题意知i=188×7=56，i=18(xi-7)2=8×4=32，
i=12yi=16，i=12(yi-8)2=2×1=2，
∴样本平均数为：i=18xi+i=12yi8+2=56+1610=7.2，
样本方差为：i=18(xi-7)2+i=12(yi-7.2)28+2=i=18[(xi-7)+0．2]2+i=12[(yi-8)+0.8]28+2
=i=88(x1-7)2-0.4i=18(xi-7)+8×0．22+i=12(yi-0.8)2+1.6i2(yi-8)2×0．828+2
=32-0+0.32+2+0+1.28103.56，
∴用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
【解析】
（1）根据题意读出的编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数．
（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，由上能求出样本编号之和即．
（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，=8×4=32，=16，=2×1=2，由此能用样本估计900名考生选做题得分的平均数，方差．
本题考查中位数、平均数、言状工样本编号、概率的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：（1）设B1（0，b），B2（0，-b），P（x，y），
则x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），
由kPB1•kPB2=y-bx•y+bx=y2-b2x2=-b2a2=-12，
∴a2=2b2，①
又Q在E上22a2+34b2=1，②，
由①②解得a2=2，b2=1，
∴椭圆E的方程为x22+y2=1．
（2）设直线l的方程为x=my-1，代入到x22+y2=1可得（m2+2）y2-2my-1=0，③
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1+y2=2mm2+2，y1y2=-1m2+2，④
∴F2A•F2B=（x1-1，y1）（x2-1，y2）=（my1-2，y1）（my2-2，y2）
=（m2+1）y1y2-2m（y1+y2）+4，⑤，
把④代入⑤得F2A•F2B=7-m2m2+2=2，解得m=±1，
由对称性，不妨取m=1，则③变为3y2-2y-1=0，解得y1=-13，y2=1
则△ABF2的面积S=12×2（y1-y2）=1+13=43．
【解析】
（1）根据椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘积为-，以及过点Q（，），即可得到a2=2b2，+=1，解得即可，
（2）设直线l的方程为x=my-1，代入到+y2=1可得（m2+2）y2-2my-1=0，根据韦达定理和向量的运算即可求出m的值，求出三角形的面积即可．
本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）∵f（x）=（kx-1）ex-k（x-1），
∴f′（x）=（kx+k-1）ex-k=k[（x+1）ex-1]-ex，
由已知得，(x0+1)ex0-1=0，
令g（x）=（x+1）ex-1，则g′（x）=（x+2）ex，
当x∈（-∞，-2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∵x＜-2，∴x+1＜-1，则（x+1）ex-1＜0，因此g（x）＜0；
当x∈（-2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
又g（0）=0，∴g（x）有唯一零点，故x0=0；
（2）f（x）＜0，即（kx-1）ex-k（x-1）＜0，
∴k（xex-x+1）＜ex，
当x≥0时，∵ex-1≥0，∴x（ex-1）+1＞0，
当x＜0时，∵ex-1＜0，∴x（ex-1）+1＞0，
∴x（ex-1）+1＞0，
则k（xex-x+1）＜ex⇔k＜exxex-x+1．
设h（x）=exxex-x+1，则k＜h（x）max．
又h′（x）=ex(2-ex-x)(xex-x+1)2，令φ（x）=2-ex-x，
则φ′（x）=-ex-1＜0，φ（x）在R上单调递减，
又φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得φ（x0）=0，
即ex0=2-x0，
当x∈（-∞，x0）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）max=ex0x0ex0-x0+1=2-x0x0(2-x0)-x0+1=1x0-2+1x0-2+3．
令t=x0-2（-2＜t＜-1），则y=t+1t+3∈（12，1），
则h（x）max∈（1，2），故整数k的最大值为1．
【解析】
（1）由已知求得f′（x）=k[（x+1）ex-1]-ex，得到，令g（x）=（x+1）ex-1，利用导数研究其单调性，结合函数零点的判定可得g（x）有唯一零点，且x0=0；
（2）由f（x）＜0，即（kx-1）ex-k（x-1）＜0，得到k（xex-x+1）＜ex，即k＜，h（x）=，利用导数求其最大值的取值范围，可得整数k的最大值为1．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．
22.【答案】解：（1）直线l：ρcosθ=3，以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），
设P（3cosθ，θ），由且△OPQ面积为3．
则：34(3cosθ)2=3，
由于△OPQ为正三角形，
所以：OQ的极角为π2
且|PO|=|OQ|=2，
所以：Q（2，π2）．
（2）由于△OPQ为正三角形，
得到其外接圆的直径|OR|=433，
设M（ρ，θ）为△OPQ外接圆上任意一点．
在Rt△OMR中，cos（π3-θ）=ρ|OR|，
所以：M（ρ，θ）满足ρ=433cos(π3-θ)．
故：△OPQ的外接圆方程ρ=433cos(π3-θ)，
直线l：x=3，：△OPQ的外接圆直角坐标方程为x2+y2-233x-2y=0．
圆心到直线的距离d=233，即为半径，
故直线与圆相外切．
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.【答案】解：（1）当a=0时，不等式f（x）≥0化为：|x+1|-2|x-1|≥0，
移项得|x+1|≥2|x-1|，
平方分解因式得（3x-1）（x-3）≤0，
解得13≤x≤3．
解集为{x|13≤x≤3}．
（2）化简得f（x）=x-3+a，x≤-13x-1+a，-1＜x≤1-x+3+a，x＞1，
根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，
当x＞1时，f（x）=-x+3+a，
由y=-x2+8x-14得y′=-2x+8，
设二次函数与直线y=-x+3+a的切点为（x0，y0），
则-2x0+8=-1，解得x0=92，所以y0=74，
代入f（x）=-x+3+a，解得a=134，
所以a的取值范围是a＞134．
【解析】
（1）a=0时，将不等式移项平方分解因式可解得；
（2）根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
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