高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4 3 平面向量的数量积 Word版含答案

这是一份高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：4 3 平面向量的数量积 Word版含答案，共14页。

(1)理解数量积的含义及其物理意义．
(2)了解向量数量积与向量投影的关系．
(3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算．
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直．
2．数量积的综合应用
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题．
知识点一 平面向量的数量积
1．两个向量的夹角
(1)定义
已知两个非零向量a和b，作Oeq \(A,\s\up6(→))＝a，Oeq \(B,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．
(2)范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量数量积
(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs θ.规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
(2)a·b的几何意义
a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
易误提醒
1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．
3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cs θ|，而|cs θ|≤1.
必记结论 两向量a与b的夹角为锐角⇒cs〈a，b〉>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇒cs〈a，b〉<0，且a与b不共线．
[自测练习]
1. 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
解析：向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，
设a与b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(1,2)，
∴θ＝eq \f(π,3).
答案：C
2．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·csa，b－|b|2＝2×1×1×cs 60°－1＝0.
答案：B
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为( )
A．2 B.eq \f(3,2)
C．－2 D．－eq \f(3,2)
解析：b在a方向上的投影为|b|cs 120°＝－eq \f(3,2).故选D.
答案：D
知识点二 数量积的性质及坐标运算
1．向量数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cs〈a，e〉．
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)a·a＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a).
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
2．数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
易误提醒
1．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.
2．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
[自测练习]
4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.
解析：∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
∴(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，
从而λ＝－3.
答案：－3
5．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝ .
解析：由a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉＝1×3×cs 120°＝－eq \f(3,2)，
得|5a－b|＝eq \r(5a－b2)＝eq \r(25a2＋b2－10a·b)
＝ eq \r(25＋9－10×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))))＝7.
答案：7
考点一 平面向量数量积的运算|
1．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
答案：C
2．(2015·高考山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(3,2)a2 B．－eq \f(3,4)a2
C.eq \f(3,4)a2 D.eq \f(3,2)a2
解析：在菱形ABCD中，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝a2＋a×a×cs 60°＝a2＋eq \f(1,2)a2＝eq \f(3,2)a2.
答案：D
3．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(ND,\s\up6(→))＝________.
解析：法一：因为eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(ND,\s\up6(→))＝(eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(NO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＝eq \(MO,\s\up6(→))·eq \(NO,\s\up6(→))＋eq \(MO,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(NO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝|eq \(MO,\s\up6(→))|·|eq \(NO,\s\up6(→))|cs 180°＋|eq \(MO,\s\up6(→))|·|eq \(OD,\s\up6(→))|cs 60°＋|eq \(OC,\s\up6(→))|·|eq \(NO,\s\up6(→))|·cs 60°＋|eq \(OC,\s\up6(→))|·|eq \(OD,\s\up6(→))|·cs 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.
法二：以点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则M(－2,0)，N(2,0)，C(－3,3eq \r(3))，D(3，3eq \r(3))，所以eq \(MC,\s\up6(→))＝(－1,3eq \r(3))，eq \(ND,\s\up6(→))＝(1,3eq \r(3))，eq \(MC,\s\up6(→))·eq \(ND,\s\up6(→))＝－1＋27＝26.
答案：26
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

考点二 平面向量数量积的性质应用|
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题探究角度有：
1．平面向量的模．
2．平面向量的夹角．
3．平面向量的垂直．
探究一 平面向量的模
1．(2015·太原一模)已知向量e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则|eq \r(2)e1－e2|＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2)
C．1 D.eq \r(2)
解析：由题意可得e1·e2＝eq \f(\r(2),2)，所以|eq \r(2)e1－e2|＝eq \r(\r(2)e1－e22)＝eq \r(2－2\r(2)e1·e2＋1)＝1.
答案：C
2．已知平面向量a＝(1，eq \r(3))，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是________.
解析：设b＝(x，y)，则|a－b|＝eq \r(x－12＋y－\r(3)2)＝1，即点(x，y)在圆(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝1上，则|b|的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b|的取值范围是[1,3]．
答案：[1,3]
探究二 平面向量的夹角
3．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·a,a·b)))b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
解析：∵c·a＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·a,a·b)))b))·a＝a·a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·a,a·b)))b·a＝a·a－a·a＝0，∴c⊥a，即向量a与c的夹角为eq \f(π,2)，故选D.
答案：D
4．(2015·苏州二模)设向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，若a，b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为________．
解析：由题意可得，a·b＝2x＋2>0，且x－4≠0，故实数x的取值范围为(－1,4)∪(4，＋∞)．
答案：(－1,4)∪(4，＋∞)
探究三 平面向量的垂直
5．(2015·高考福建卷)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k值等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(5,3)
C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,2)
解析：因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－eq \f(3,2)，故选A.
答案：A
6．(2015·高考重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)
C.eq \f(3π,4) D．π
解析：由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，所以a·b＝3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)|b|))2－2b2＝eq \f(2,3)b2，所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(2,3)b2,\f(2\r(2),3)b2)＝eq \f(\r(2),2)，所以〈a，b〉＝eq \f(π,4)，故选A.
答案：A
平面向量数量积求解问题的三个策略
(1)求两向量的夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
②|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2).
③若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).

考点三 平面向量与三角函数的综合应用|
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．
(1)若x＝eq \f(3,4)π，设点D为线段OA上的动点，求|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq \(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cs x，sin x－2cs x)，求m·n的最小值及对应的x值．
[解] (1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，所以eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，所以|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2)－eq \r(2)t＋t2＋eq \f(1,2)＝t2－eq \r(2)t＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq \f(1,2)(0≤t≤1)，
所以当t＝eq \f(\r(2),2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|最小，为eq \f(\r(2),2).
(2)由题意得C(cs x，sin x)，m＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(cs x＋1，sin x)，
则m·n＝1－cs2x＋sin2x－2sin xcs x＝1－cs 2x－sin 2x＝1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
所以当2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,8)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))取得最大值1，
所以m·n的最小值为1－eq \r(2)，此时x＝eq \f(π,8).
平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

(2015·惠州二调)设向量a＝(eq \r(3)sin x，sin x)，b＝(cs x，sin x)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由|a|2＝(eq \r(3)sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cs x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，从而sin x＝eq \f(1,2)，所以x＝eq \f(π,6).
(2)f(x)＝a·b＝eq \r(3)sin x·cs x＋sin2x
＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
当x＝eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))取最大值1.
所以f(x)的最大值为eq \f(3,2).
8.忽视向量夹角范围致误
【典例】 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 因为e1·e2＝|e1||e2|cs 60°＝2×1×eq \f(1,2)＝1，
所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2teeq \\al(2,1)＋7teeq \\al(2,2)＋(2t2＋7)e1·e2＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.因为向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，即2t2＋15t＋7<0，解得－7当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2t＝λ，,λt＝7))⇒2t2＝7⇒t＝－eq \f(\r(14),2)或t＝eq \f(\r(14),2)(舍去)．
因为向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，
所以t≠－eq \f(\r(14),2)，
故t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))).
[易误点评] 向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角可得(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.易忽略，共线反向的情况导致出错．
[防范措施] (1)切记向量夹角的范围是[0，π]．(2)a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a·b≠1，a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a·b≠－1.
[跟踪练习] 已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.
∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.
∴λ>－eq \f(5,3).
当a与a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋λ＝m，,2＋λ＝2m，))解得λ＝0.
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
综上可知，实数λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0))∪(0，＋∞).
A组 考点能力演练
1．(2015·陕西模拟)设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(20)，a·b＝4，则|a－b|＝( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．2 D.eq \r(6)
解析：∵|a＋b|＝eq \r(20)，a·b＝4，∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，选C.
答案：C
2．对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b|
B．|a＋b|＝|a|＋|b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·a＝|a|2
解析：法一：因为|a·b|＝|a||b||cs〈a，b〉|，只有当a，b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，A不正确；因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以B不正确；向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，C不正确；由数量积的定义可得a·a＝|a|2，D正确，故选D.
法二：令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(1,1)，易验证A，B，C错误，故选D.
答案：D
3．(2015·湘潭调研)在三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，若|AB|＝3，|AC|＝2，A＝60°，则eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(7,2)
C.eq \f(15,4) D.eq \f(13,4)
解析：因为eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))－\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)×22＋eq \f(2,3)×32－eq \f(5,6)×2×3×eq \f(1,2)＝eq \f(9,2)，故选A.
答案：A
4．已知O，A，B三点的坐标分别为O(0,0)，A(3,0)，B(0，3)，且P在线段AB上，eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))(0≤t≤1)，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \r(3) B．3
C．2eq \r(2) D．9
解析：设P(x，y)，x∈[0,3]，则(x－3，y)＝t(－3,3)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－3t，,y＝3t，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3－3t，,y＝3t，))t∈[0,1]，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝3x＝9(1－t)∈[0,9]，即eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))的最大值为9.
答案：D
5．已知向量a，b满足|a|＝eq \r(3)，|b|＝1，且对于任意实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a，b的夹角为θ，则sin θ＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
解析：如图所示，当(a＋b)⊥b时，对于任意实数x，a＋xb＝eq \(OA,\s\up6(→))或a＋xb＝eq \(OB,\s\up6(→))，三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立，因为(a＋b)⊥b，|a|＝eq \r(3)，|b|＝1，
所以tan α＝eq \r(2)，tan θ＝－eq \r(2)，sin θ＝eq \f(\r(6),3).
答案：D
6．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的大小为________．
解析：因为a·(a＋b)＝3，|a|＝2，|b|＝1，所以a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝3，得a·b＝－1.设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝－eq \f(1,2)，解得θ＝eq \f(2π,3).
答案：eq \f(2π,3)
7．(2016·石家庄质检)若a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－eq \r(3)b在向量b方向上的投影为________．
解析：依题意得(a－eq \r(3)b)·b＝a·b－eq \r(3)b2＝－eq \r(3)，因此a－eq \r(3)b在向量b方向上的投影为eq \f(a－\r(3)b·b,|b|)＝－eq \r(3).
答案：－eq \r(3)
8.在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝________.
解析：因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))2＝1.
答案：1
9．已知△ABC的面积为2，且满足0(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))－eq \r(3)cs 2θ的取值范围．
解：(1)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由题意得eq \f(1,2)bcsin θ＝2,0可得tan θ≥1，又θ∈[0，π]，
∴θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
(2)f(θ)＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))－eq \r(3)cs 2θ
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2θ))))－eq \r(3)cs 2θ＝(1＋sin 2θ)－eq \r(3)cs 2θ＝sin 2θ－eq \r(3)cs 2θ＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＋1，
∵θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2θ－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3))).
∴2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＋1≤3，
∴函数f(θ)的取值范围是[2,3]．
10.(2015·杭州模拟)设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC(如图所示)．
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP1,\s\up6(→))＋eq \(AP1,\s\up6(→))·eq \(AP2,\s\up6(→))的值；
(2)设动点P在边BC上，
①请写出一个|eq \(BP,\s\up6(→))|的值使eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))>0，并说明理由；
②当eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值时，求cs∠PAB的值．
解：(1)原式＝eq \(AP1,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AP2,\s\up6(→)))
＝2eq \(AP,\s\up6(→))eq \\al(2,1)＝eq \f(13,8).
(2)①写0到eq \f(1,2)(0可取到，eq \f(1,2)取不到)之间的任何一个值均可，理由：此时向量eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(PC,\s\up6(→))之间的夹角为锐角．
②eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝|eq \(PC,\s\up6(→))||eq \(PA,\s\up6(→))|cs∠APC.
a．当P在线段BP2上时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥0.
b．当P在线段P2C上时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≤0，要使eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))最小，则P必在线段P2C上．
设|eq \(PC,\s\up6(→))|＝x，则
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝|eq \(PC,\s\up6(→))||eq \(PA,\s\up6(→))|cs∠APB＝|eq \(PC,\s\up6(→))|·(－|eq \(PP2,\s\up6(→))|)＝x2－eq \f(1,2)x，
当x＝eq \f(1,4)，即当P在P3时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))最小，
此时cs∠PAB＝eq \f(5,26)eq \r(13).
B组 高考题型专练
1．(2014·高考四川卷)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝eq \r(5)，|b|＝2eq \r(5)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
∵c与a的夹角等于c与b的夹角，
∴eq \f(c·a,|c|·|a|)＝eq \f(c·b,|c|·|b|)，∴eq \f(5m＋8,\r(5))＝eq \f(8m＋20,2\r(5))，
解得m＝2.
答案：D
2．(2014·高考山东卷)已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3)
C．0 D．－eq \r(3)
解析：a·b＝|a||b|cseq \f(π,6)，则3＋eq \r(3)m＝2·eq \r(9＋m2)·eq \f(\r(3),2).(eq \r(3)＋m)2＝9＋m2，解得m＝eq \r(3).
答案：B
3．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,1)，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：由eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，
得eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,1)·(3，－1)＝5，故选A.
答案：A
4．(2015·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
解：(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.
故eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，∴tan x＝1.
(2)∵m与n的夹角为eq \f(π,3)，∴cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m|·|n|)＝eq \f(\f(\r(2),2)sin x－\f(\r(2),2)cs x,1×1)＝eq \f(1,2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)，即x＝eq \f(5π,12)，∴x的值为eq \f(5,12)π.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))