江苏省无锡市梁溪区侨谊教育集团2022-2023学年九年级下学期期末数学试题

2023年春学期自主练习卷

九年级数学

一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分．）

1．的值是（    ）

A． B． C． D．

2．已知线段a＝9cm、c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，则x等于（    ）

A．6cm B．－6cm C． D．

3．若，相似比为，则与的周长比为（    ）

A． B． C． D．

4．方程的根是（    ）

A．x＝2  B．，

C．，  D．，

5．如图，点P在的边AC上，添加下列一个条件后，仍不能判断的是（    ）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．

6．已知的半径为3，OA＝5，则点A在（    ）

A．内 B．上 C．外 D．无法确定

7．如图，点A、B、C在圆O上，∠ACB＝53°，则∠ABO的度数是（    ）

A．53° B．26° C．37° D．106°

8．将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像对应的函数表达式为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，交AE于点G．若，则FG的长是（    ）

A．3 B． C． D．

10．如图，点A的坐标为，点B是x轴负半轴上的一点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）

11．已知x＝2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值是______．

12．四边形ABCD为的内接四边形，已知，则∠A＝______度．

13．二次函数的图像开口向______，顶点坐标为______．

14．某人沿着坡度为的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了______m．

15．已知某小区的房价在两年内从每平方米8100元增加到每平方米12500元，设该小区房价平均每年增长的百分率为x，根据题意可列方程为______．

16．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积是______．

17．《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为的半径，弦，垂足为C，CD＝1寸，AB＝1尺（1尺＝10寸），则此圆材的直径长是______寸．

18．已知二次函数的图像开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线CD交于点N，当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，a＝______．

三、解答题（本大题共8小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19．（本题满分8分）计算：

（1）； （2）．

20．（本题满分8分）解方程：

（1）；  （2）．

21．（本题满分10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，分别记为，．

（1）求m的取值范围；

（2）若．求m的值．

22．（本题满分10分）如图，在等边中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，．

（1）求证：；

（2）求的边长．

23．（本题满分10分）如图，在中，AD是边BC上的高，，，AD＝2．

（1）求的值；

（2）求的面积．

24．（本题满分10分）某超市经销一种商品，每千克成本为60元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售价，销售量的四组对应值如下表所示：

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

25．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，，P为直线y＝－1上一点．

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作，使得经过点A且与直线y＝－1相切于点P（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，随着点P的运动，点M始终在某个函数上运动，设M的坐标为，请求出y关于x的函数表达式．

26．（本题满分10分）如图，四边形ABCD内接于，且，过D点的切线与BC的延长线交于E点．

（1）证明：∠ADB＝∠CDE；

（2）若AD＝5，BE＝15，求BD的长．

27．（本题满分10分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：

如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝75m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝120m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其函数表达式为．

（1）求b，c的值；

（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．

①求x关于t的函数表达式；

②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？

28．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．

（1）求A、B的坐标；

（2）当点N恰好落在函数图像上时，求二次函数的表达式；

（3）作点N关于MC的对称点，则点能否落在函数图像的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．

2023年春学期自主练习卷

九年级数学参考答案

一、选择题：（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分．）

1．B    2．A   3． B   4．C   5．D   6．C   7．C   8．A   9．B   10．D

二、填空题

11．－2       12．80        13．上，（2，－5）    14．50米，

15．   16．      17．26        18．

三、解答题

19．（1）原式．

（2）原式

20．（1），   （2），

21．（1）   （2）m＝－1

22．（1）略    （2）边长为3

23．（1）  （2）S＝6

24．（1）y＝－2x＋200

（2）每天的销售单价应定为每千克70元或90元，

（3）当销售单价为80元/千克时，最大利润是800元

25．（1）如图 1 所示先过点P作直线y＝－1的垂线，再作AP的垂直平分线交垂线于M，半径为MP．

（2）如图2，MP＝MA＝y＋1，过M作y轴垂线，垂足为N，AN＝1－y，MN＝x，

在中，，化简得．

26．（1）略   （2）

28．（1），．

（2）对称轴为直线x＝1，∴OF＝1，FB＝2，，

∵∠MBF＋∠ABC＝∠OCB＋∠ABC＝90°，∴∠MBF＝∠OCB，

又∵∠MFB＝∠COB＝90°，∴，∴，

解得，∴，∴．

将N代入抛物线得，解得，∵a＞0，∴，

∴抛物线表达式为；

（3）点不能落在对称轴上；

理由：对称轴为直线x＝1，，求得，∴，

，当点落在对称轴上时，∠NMC＝∠CME，∵，

∴∠NMC＝∠MCB，∴∠CME＝∠MCB，∴CE＝ME，∴，

化简得，方程无实数解，∴点不能落在对称轴上．