第七章　习题课 天体运动

第七章万有引力与宇宙航行

习题课:天体运动

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是              (　　)

A.质量大的天体线速度较大

B.质量小的天体角速度较大

C.两个天体的向心力大小相等

D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零

答案C

解析双星系统的结构是稳定的,故它们的角速度相等,故B项错误;两个星球间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,两个天体的向心力大小相等,故C项正确;根据牛顿第二定律,有G=m1ω2r1=m2ω2r2

其中r1+r2=L,故r1=L

r2=L,故

故质量大的天体线速度较小,A错误;

若在圆心处放一个质点,合力

F=G-G)≠0,故D错误。

2.(2021山东潍坊模拟)2021年5月30日,天舟二号货运飞船(设为A)与天和核心舱(设为B)成功对接,完美演绎了“万里相会、温柔亲吻”的精准对接技术。如图所示,对接前,天舟二号飞船A在低轨道上飞行,为了给更高轨道的空间站B输送物资,它可以采用喷气的方法改变速度,从而达到改变轨道的目的,则以下说法正确的是(　　)

A.天舟二号飞船A应沿运行速度方向喷气,与B对接后运行周期变小

B.天舟二号飞船A应沿运行速度的反方向喷气,与B对接后运行周期变大

C.天舟二号飞船A应沿运行速度方向喷气,与B对接后运行周期变大

D.天舟二号飞船A应沿运行速度的反方向喷气,与B对接后运行周期变小

答案B

解析飞船由低轨道向高轨道运行时,需要提高在轨道上的运行速度,故应沿运行速度的反方向喷气,由G=mr可知,r增大,T变大,选项B正确。

3.

如图所示,地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3,向心加速度分别为a1、a2、a3,则(　　)

A.v1>v2>v3 B.v1<v2<v3

C.a1>a2>a3 D.a1<a3<a2

答案D

解析卫星的速度v=,可见卫星距离地心越远,即r越大,则速度越小,所以v3<v2;q是同步卫星,其角速度ω与地球自转角速度相同,所以其线速度v3=ωr3>v1=ωr1。选项A、B均错误。由G=ma,得a=,同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径,可知q的向心加速度a3<a2;由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同,即与地球赤道上的山丘e的角速度相同,但q轨道半径大于e的轨道半径,根据a=ω2r可知a1<a3。根据以上分析可知,选项D正确,选项C错误。

4.

(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的嫦娥三号沿地月转移轨道直奔月球,如图所示,在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获,进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后,卫星在P点又经过第二次“刹车制动”,进入距月球表面100 km的圆形工作轨道Ⅱ,绕月球做匀速圆周运动,在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15 km的椭圆轨道Ⅲ,然后择机在近月点下降进行软着陆,则下列说法正确的是(　　)

A.嫦娥三号在轨道Ⅰ上运动的周期最长

B.嫦娥三号在轨道Ⅲ上运动的周期最长

C.嫦娥三号经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大

D.嫦娥三号经过P点时,在三个轨道上的加速度相等

答案AD

解析由于嫦娥三号在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径,也大于轨道Ⅲ的半长轴,根据开普勒第三定律可知,嫦娥三号在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ>TⅡ>TⅢ,故A正确,B错误;嫦娥三号在由高轨道降到低轨道时,都要在P点进行“刹车制动”,所以经过P点时,在三个轨道上的线速度关系为vⅠ>vⅡ>vⅢ,所以C错误;由于嫦娥三号在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关,故D正确。

5.设地球半径为R,a为静止在地球赤道上的一个物体,b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,c为地球的一颗同步卫星,其轨道半径为r。下列说法正确的是(　　)

A.a与c的线速度大小之比为

B.a与c的线速度大小之比为

C.b与c的周期之比为

D.b与c的周期之比为

答案D

解析物体a与同步卫星c角速度相等,由v=rω可得,二者线速度之比为,选项A、B均错误;而b、c均为卫星,由T=2π可得,二者周期之比为,选项C错误,D正确。

6.有a、b、c、d四颗地球卫星,a在地球赤道上未发射,b在地面附近近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图,则有(　　)

A.a的向心加速度等于重力加速度g

B.b在相同时间内转过的弧长最长

C.c在4 h内转过的圆心角是

D.d的运行周期有可能是20 h

答案B

解析对于卫星a,根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得G-FN=ma向,又因为G=mg,故卫星a的向心加速度小于重力加速度g,选项A错误;由G=m得,v=,故轨道半径越小,线速度越大,故b、c、d三颗卫星的线速度的大小关系为vb>vc>vd,而卫星a与同步卫星c的周期相同,故卫星c的线速度大于卫星a的线速度,选项B正确;由c是地球同步卫星,可知卫星c在4 h内转过的圆心角是,选项C错误;由G=mr得,T=2π,轨道半径越大,周期越大,故卫星d的周期大于同步卫星c的周期,选项D错误。

7.

太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统,它们运行的原理可以理解为,质量为m0的恒星和质量为m的行星(m0>m),在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示,我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G,恒星和行星的大小可忽略不计。

(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置。

(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。

答案见解析

解析(1)恒星运动的轨道和位置大致如图。

(2)对行星m有F=mω2Rm

对恒星m0有F'=m0ω2Rm0

根据牛顿第三定律,F与F'大小相等

联立得Rm0=a

对恒星m0有=G

代入数据得v=。

8.

某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道,在B点实施变轨后,再进入预定圆轨道,如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,近地点A距地面高度为h1,地球表面重力加速度为g,地球半径为R。求:

(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大?

(2)远地点B距地面的高度h2为多少?

答案(1)　(2)-R

解析(1)设地球质量为m地,飞船的质量为m,在A点飞船受到的地球引力为F=G,地球表面的重力加速度g=G,由牛顿第二定律得aA=。

(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T=

由牛顿第二定律得G=m(R+h2)

解得h2=-R。

等级考提升练

9.(多选)如图所示,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行,若三颗星质量均为m,引力常量为G,则(　　)

A.甲星所受合外力为

B.乙星所受合外力为

C.甲星和丙星的线速度相同

D.甲星和丙星的角速度相同

答案AD

解析由万有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之间的万有引力大小均为F1=G,甲、丙之间的万有引力为F2=G。甲星所受两个引力的方向相同,故合力为F1+F2=,选项A正确;乙星所受两个引力等大、反向,合力为零,选项B错误;甲、丙两星线速度方向始终不同,选项C错误;由题知甲、丙两星周期相同,由角速度定义可知,两星角速度相同,选项D正确。

10.

a是地球赤道上一栋建筑,b是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星,c是地球同步卫星,已知c到地心距离是b的二倍,某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图所示),经48 h,a、b、c的大致位置是图中的(　　)

答案B

解析在某时刻c在a的正上方,则以后永远在a的正上方,对b和c,根据G=mr,推知Tc=2Tb,又由2Tc=nbTb,得卫星b运行的圈数nb=2×2=5.66,所以B正确。

11.

嫦娥三号环月变轨的示意图如图所示。在Ⅰ圆轨道运行的嫦娥三号通过变轨后绕Ⅱ圆轨道运行,则下列说法正确的是(　　)

A.嫦娥三号在Ⅰ轨道的线速度大于在Ⅱ轨道的线速度

B.嫦娥三号在Ⅰ轨道的角速度大于在Ⅱ轨道的角速度

C.嫦娥三号在Ⅰ轨道的运行周期大于在Ⅱ轨道的运行周期

D.嫦娥三号由Ⅰ轨道通过加速才能变轨到Ⅱ轨道

答案C

解析嫦娥三号在Ⅰ轨道和Ⅱ轨道都做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,则有G=m=mω2r=mr,解得v=,ω=,T=2π,因r1>r2,故嫦娥三号在Ⅰ轨道的线速度小于在Ⅱ轨道的线速度,嫦娥三号在Ⅰ轨道的角速度小于在Ⅱ轨道的角速度,嫦娥三号在Ⅰ轨道的运行周期大于在Ⅱ轨道的运行周期,故A、B错误,C正确;由高轨道变轨到低轨道做近心运动,需要万有引力大于向心力,所以由Ⅰ轨道通过减速才能变轨到Ⅱ轨道,故D错误。

12.2020年3月27日记者从中国科学院国家天文台获悉,经过近两年观测研究,天文学家通过俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST),在武仙座球状星团(M13)中发现一个脉冲双星系统。

如图所示双星系统由两颗恒星组成,两恒星在万有引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)

A.m1一定小于m2

B.轨道半径为r1的星球线速度更大

C.若双星的质量一定,双星间距离越大,其转动周期越大

D.只要测得双星之间的距离L和双星周期T,即可计算出某一颗星的质量

答案C

解析线速度v=,双星的周期相同,r2>r1,所以,v2>v1,B错误;对m1可得G=m1r1,m2=,对m2可得G=m2r2,m1=,故D错误;,r2>r1,所以m1>m2,故A错误;m1+m2=,所以,当双星质量一定时,双星间的距离越大,周期越大,C正确。

13.

宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。则每颗星做圆周运动的周期为多大?

答案均为2π

解析任意两个星体之间的万有引力F=,每一颗星体受到的合力F1=F

由几何关系知,它们的轨道半径r=R

合力提供它们的向心力

解得三个星体的周期均为T=2π。

14.

如图所示,质量分别为m和m'的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线,星球A和B分别在O的两侧。引力常量为G。

(1)求两星球做圆周运动的周期;

(2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者二次方之比。(计算结果保留四位有效数字)

答案(1)2π　(2)1.012

解析(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动,其角速度相同,周期也相同,其所需向心力由两者间的万有引力提供,设A、B的轨道半径分别为r1、r2,由牛顿第二定律知

对B有G=m'r2　对A有G=mr1,又r1+r2=L

联立解得T=2π。

(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点做匀速圆周运动,地月距离设为L',由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π

若认为月球围绕地心做匀速圆周运动,由万有引力定律和牛顿第二定律得=m月L'

解得T2=2π,则

故=1.012。