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专题26 三角形的外接圆-冲刺2023年中考几何专项复习（解析版+原卷版+知识点）
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这是一份专题26 三角形的外接圆-冲刺2023年中考几何专项复习（解析版+原卷版+知识点），文件包含专题26三角形的外接圆提优-冲刺2023年中考几何专项复习解析版docx、专题26三角形的外接圆基础-冲刺2023年中考几何专项复习解析版docx、专题26三角形的外接圆提优-冲刺2023年中考几何专项复习原卷版docx、专题26三角形的外接圆基础-冲刺20213年中考几何专项复习原卷版docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。
专题26 三角形的外接圆（基础）
一．选择题
1．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．3π2 C．2π D．3π
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再利用圆周角定理得到∠BOC＝120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴图中阴影部分的面积=120⋅π⋅32360=3π．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上．若∠BCD＝36°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．64°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用互余计算出∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝36°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝54°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若AD＝8，∠B＝30°，则AC的长度为（ ）
A．3 B．4 C．42 D．43
【分析】由圆周角定理可得∠ACD＝90°，∠B＝∠D＝30°，即可求解．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
又∵∠B＝∠D＝30°，
∴AC=12AD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，灵活运用这些性质是本题的关键．
4．如图，△ABC内接于⊙O，射线AO交BC边于点D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，则⊙O的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接OB．由AD平分∠BAC，得AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝4，设半径为r，利用勾股定理列出方程（8﹣r）2+42＝r2，从而求出半径．
【解答】解：如图，连接OB．
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
BD＝CD=12BC＝4，
设半径为r，
在Rt△ODB中，
OD2+BD2＝OB2，
即（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5
故选：C．
【点评】本题考查了圆的相关计算，熟练运用垂径定理是解题的关键．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC、OB，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，
∴∠A=12∠BOC＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
7．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（ ）
A．23 B．2 C．233 D．32
【分析】等边三角形的边长是其外接圆半径的3倍，据此直接算出答案．
【解答】解：如图，等边△ABC中，三边的垂直平分线交一点O，则O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF=12BC＝1，
∴OF=33BF，
∴OB＝2OF=233．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形及其外接圆的性质，知道等边三角形边长与其外接圆半径的倍数关系是解答关键．
8．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B＝64°，然后利用互余计算∠DAC的度数．
【解答】解：∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝64°，
∴∠DAC＝90°﹣64°＝26°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
9．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE＝6，则EG的长为（ ）
A．3 B．3−3 C．2 D．23−3
【分析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=12OF=12OC，OP=33PF=3，从而得到PC＝OP=3，然后利用△PCG为等腰直角三角形得到PG＝PC=3，从而得到EG的长．
【解答】解：连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，
∵正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，
∴∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，
∵EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∴PE＝PF=12EF＝3，
在Rt△OPF中，OP=12OF=12OC，
∵OP=33PF=3，
∴PC＝OP=3，
∵△PCG为等腰直角三角形，
∴PG＝PC=3，
∴EG＝PE﹣PG＝3−3．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形和正方形的性质．
10．如图，点D、E分别是⊙O的内接△ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，∠A＝45°，则DE的长等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．22
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到BC=2OB＝22，由三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∵OB＝OC＝2，
∴BC=2OB＝22，
∵D、E分别是⊙O的内接△ABC的AB、AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×22=2，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，直角三角形的性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】连接OB，根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠C＝50°，
∴∠AOB＝2∠C＝100°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝40°，
则∠BAD的度数是40°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心性质．
12．如图，⊙O为△ABC的外接圆，已知∠ABC为130°，则∠AOC的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．115°
【分析】作AC所对的圆周角∠ADC，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠ADC＝50°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．
【解答】解：作AC所对的圆周角∠ADC，如图，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
而∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
二．填空题
13．如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于 50° ．
【分析】由圆周角的定理可求解．
【解答】解：∵∠A与∠D所对的弧都是BC，
∴∠A＝∠D＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等是本题的关键．
14．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝36°，则∠BOC的度数为 72 °．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵⊙O为△ABC的外接圆，∠A和∠BOC都对BC，
∴∠BOC＝2∠A＝2×36°＝72°．
故答案为72．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
15．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ 50 °．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，则cos∠OCB的值是 22 ．
【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝90°，则可判断△OBC为等腰直角三角形，所以∠OCB＝45°，然后利用特殊角的三角函数值得到cos∠OCB的值．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴cos∠OCB=22．
故答案为22．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
17．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 69° ．
【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．
故答案为：69°
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．
18．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，∠ABD＝25°，则∠BAD＝ 95 °．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠ABD＝25°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACD＝∠ABD＝25°，
∴∠BCD＝60°+25°＝85°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣85°＝95°．
故答案为95．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等边三角形的性质．
19．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为 50° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
由圆周角定理得，∠A=12∠BOC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝4，则弧AC的长为 43π ．
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得，△AOC是等边三角形，利用弧长公式即可求得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝4，
则弧AC的长为：60π×4180=43π．
故答案为：43π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长计算公式．
21．如图，△ABC内接于⊙O，点M，N分别是CO，AB的中点，∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，则∠OMN的度数是 20° ．
【分析】由圆周角定理可求出∠AOB＝120°，∠AOC＝80°，证得△ODN是等边三角形，得出OD＝ON＝OM，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA，OB，ON，取OA的中点D，连接DN，
∵∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∴∠AOB＝120°，∠AOC＝80°，
∵点M是OC的中点，点D是OA的中点，
∴OD＝OM=12OA，
∵点N是AB的中点，且∠AOB＝120°，
∴ON⊥AB，∠AON＝∠BON＝60°，
∵点D是OA的中点，且∠ONA＝90°，
∴DN＝DO，
∴△ODN是等边三角形，
∴OD=12OA，
∴OD＝ON＝OM，
∵∠MON＝∠COA+∠AON＝80°+60°＝140°，
∴∠OMN＝∠NOM=180°−140°2=20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直径．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，
∴⊙O的直径＝8．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图，在直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），过A，B，C作外接圆，D为圆上一动点，求5DO+DA的最小值．
【分析】如图，设△ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF．则E（﹣1，1）．首先证明△DEO∽△FED，得到EODE=DODF，推出DF=5DO，所以5DO+DA＝DF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DA≥AF，推出当点D和点C重合时，DF+DA最小，即5DO+DA最小，求出AF的长即可解决问题．
【解答】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF．则E（﹣1，1）．
∵A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），E（﹣1，1）
∴直线OE的解析式为y＝﹣x，直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，
由y=−xy=−2x+4解得x=4y=−4，
∴F（4，﹣4），
∴DE=10，EO=2，EF＝52，
∴DEEO=102=5，EFDE=5210=5，
∴DEEO=EFDE，∵∠E＝∠E，
∴△DEO∽△FED，
∴EODE=DODF，
∴DF=5DO，
∴5DO+DA＝DF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DA≥AF，
∴当点D和点C重合时，DF+DA最小，即5DO+DA最小，
∴5DO+DA最小值＝AF=42+(−4−4)2=45．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决问题，题目比较难，掌握辅助线的添加方法是解题的关键，属于中考填空题中的压轴题．
24．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
【分析】首先连接BE，由AE是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABE＝90°，又由AD⊥BC，∠E＝∠C，即可证得∠BAE＝∠CAD．
【解答】解：∠BAE＝∠CAD．
理由：连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠CAD．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CA＝CB，连接BO并延长交AC于点D．
（1）求证：∠C＝2∠CBD；
（2）若AB＝6，sinC=35，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接CO，AO，可证△COA≌△COB，所以∠ACO＝∠BCO，因为OC＝OB，所以∠BCO＝∠CBD，即可得出∠C＝2∠CBD；
（2）作⊙O的直径AK，连接BK，则∠ABK＝90°，∠C＝∠K，在Rt△ABK中，利用锐角三角函数的定义即可得出⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图1，连接CO，AO，
∵CA＝CB，OA＝OB，OC＝OC，
∴△COA≌△COB（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBD，
∴∠C＝2∠CBD；
（2）如图2，作⊙O的直径AK，连接BK，
则∠ABK＝90°，∠C＝∠K，
∵AB＝6，sinC=35，
∴sinK=35=6AK，
∴AK＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义．作⊙O的直径是解决（2）问的关键．
26．如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，若∠BOA＝90°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
【分析】根据∠BOA＝90°，可得∠BCE＝45°，∠BEC＝90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以AEAC，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r．
【解答】解：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴OE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝∠EDC+∠CED，
∴∠ACB＝90°+∠CED，
∴∠CED＝∠GAB，
∴∠CED＝∠OBA，
∴O、A、E、B四点共圆，如图所示，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BOA＝90°，∠BCE＝45°，
∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，
∴AEAC=4，
∴CEAC=3，
设CE＝3x，AC＝x，
由（1）可知：BC＝2CD＝6，
∵∠BCE＝45°，
∴CE＝BE＝3x，
∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2＝62，
x=2，
∴BE＝CE＝32，AC=2，
∴AE＝AC+CE＝42，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB2＝（32）2+（42）2，
∴AB＝52，
∵∠BAO＝45°，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，设半径为r，
由勾股定理可知：AB2＝2r2，
∴r＝5，
∴⊙O半径的长为5．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
27．如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E，BC＝1，AC=3，求∠D的度数．
【分析】由AB是直径，推出∠ACB＝90°，由BC＝1，AC=3，推出tan∠B=ACBC=3，推出∠B＝60°，由OB＝OC，推出△OBC是等边三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝1，AC=3，
∴tan∠B=ACBC=3，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠DOE＝∠BOC＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DOE＝30°．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交⊙O于F，交BE于H，连DE，试探究DE与直径CG有无特殊的位置关系？
【分析】结论：DE⊥CG．由△CAD∽△CBE，推出CACB=CDCE，推出CACD=CBCE，由∠ECD＝∠BCA，推出△ECD∽△BCA，推出∠CED＝∠ABC＝∠G，由CG是直径，推出∠GAC＝90°，推出∠G+∠ACG＝90°，推出∠ACG+∠DEC＝90°，即可证明∠EKC＝90°．
【解答】解：结论：DE⊥CG．
理由：如图，连接AG，DE交CG于K．
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴△CAD∽△CBE，
∴CACB=CDCE，
∴CACD=CBCE，∵∠ECD＝∠BCA，
∴△ECD∽△BCA，
∴∠CED＝∠ABC＝∠G，
∵CG是直径，
∴∠GAC＝90°，
∴∠G+∠ACG＝90°，
∴∠ACG+∠DEC＝90°，
∴∠EKC＝90°，
∴DE⊥CG．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC上，AD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：∠ADC＝∠ACE；
（2）若⊙O的半径为23，AB的度数为90°，DE＝2，求AD的长．
【分析】（1）先证明△ACD∽△AEC，再根据相似三角形的性质得到∠ADC＝∠ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴∠AEC＝∠ACB，
∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△AEC，
∴∠ADC＝∠ACE；
（2）解：∵AB=AC，AB的度数为90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC=22BC＝26，
∵△ACD∽△AEC，
∴ACAE=ADAC，
∴26AD+2=AD26，
整理得，AD2+2AD﹣24＝0，
解得，AD1＝4，AD2＝﹣6（舍去），
∴AD的长为4．
【点评】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
30．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是AD中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，D是BC的中点，求弦CE的长．
【分析】（1）利用垂径定理得到AC=AE，则可证明AE=CD，利用圆周角定理得到∠CAD＝∠ACE，所以AP＝CP，再证明∠BCP＝∠CQA得到CP＝PQ，于是得到AP＝PQ；
（2）利用AC=CD=DB，AB是直径，利用圆周角得到∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，而根据垂径定理得到CH＝EH，于是可得CE的长度．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，
∴AC=AE，
又∵AC=CD
∴AE=CD，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴AP＝CP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90˚，
∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，
∴∠BCP＝∠CQA，
∴CP＝PQ，
∴AP＝PQ，
即P是线段AQ的中点；
（2）解：∵AC=CD=DB，AB是直径，
∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，
又∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝5，BC＝53，
∴CH=12BC=532，
又∵CE⊥AB，
∴CH＝EH，
∴CE＝2CH＝2×532=53．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．
专题26 三角形的外接圆（基础）
一．选择题
1．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．3π2 C．2π D．3π
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再利用圆周角定理得到∠BOC＝120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴图中阴影部分的面积=120⋅π⋅32360=3π．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上．若∠BCD＝36°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36° B．44° C．54° D．64°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用互余计算出∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝36°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝54°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若AD＝8，∠B＝30°，则AC的长度为（ ）
A．3 B．4 C．42 D．43
【分析】由圆周角定理可得∠ACD＝90°，∠B＝∠D＝30°，即可求解．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
又∵∠B＝∠D＝30°，
∴AC=12AD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，灵活运用这些性质是本题的关键．
4．如图，△ABC内接于⊙O，射线AO交BC边于点D，AD平分∠BAC，若AD＝BC＝8，则⊙O的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接OB．由AD平分∠BAC，得AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝4，设半径为r，利用勾股定理列出方程（8﹣r）2+42＝r2，从而求出半径．
【解答】解：如图，连接OB．
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
BD＝CD=12BC＝4，
设半径为r，
在Rt△ODB中，
OD2+BD2＝OB2，
即（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5
故选：C．
【点评】本题考查了圆的相关计算，熟练运用垂径定理是解题的关键．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC、OB，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，
∴∠A=12∠BOC＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
7．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（ ）
A．23 B．2 C．233 D．32
【分析】等边三角形的边长是其外接圆半径的3倍，据此直接算出答案．
【解答】解：如图，等边△ABC中，三边的垂直平分线交一点O，则O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，BF＝CF=12BC＝1，
∴OF=33BF，
∴OB＝2OF=233．
故选：C．
【点评】本题主要考查等边三角形及其外接圆的性质，知道等边三角形边长与其外接圆半径的倍数关系是解答关键．
8．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（ ）
A．26° B．28° C．30° D．32°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠ADC＝∠B＝64°，然后利用互余计算∠DAC的度数．
【解答】解：∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝64°，
∴∠DAC＝90°﹣64°＝26°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
9．如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE＝6，则EG的长为（ ）
A．3 B．3−3 C．2 D．23−3
【分析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=12OF=12OC，OP=33PF=3，从而得到PC＝OP=3，然后利用△PCG为等腰直角三角形得到PG＝PC=3，从而得到EG的长．
【解答】解：连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，
∵正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，
∴∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，
∵EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∴PE＝PF=12EF＝3，
在Rt△OPF中，OP=12OF=12OC，
∵OP=33PF=3，
∴PC＝OP=3，
∵△PCG为等腰直角三角形，
∴PG＝PC=3，
∴EG＝PE﹣PG＝3−3．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形和正方形的性质．
10．如图，点D、E分别是⊙O的内接△ABC的AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，∠A＝45°，则DE的长等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．22
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到BC=2OB＝22，由三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∵OB＝OC＝2，
∴BC=2OB＝22，
∵D、E分别是⊙O的内接△ABC的AB、AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=12×22=2，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，直角三角形的性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】连接OB，根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠C＝50°，
∴∠AOB＝2∠C＝100°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝40°，
则∠BAD的度数是40°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心性质．
12．如图，⊙O为△ABC的外接圆，已知∠ABC为130°，则∠AOC的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．115°
【分析】作AC所对的圆周角∠ADC，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠ADC＝50°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．
【解答】解：作AC所对的圆周角∠ADC，如图，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
而∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
二．填空题
13．如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于 50° ．
【分析】由圆周角的定理可求解．
【解答】解：∵∠A与∠D所对的弧都是BC，
∴∠A＝∠D＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角相等是本题的关键．
14．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝36°，则∠BOC的度数为 72 °．
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵⊙O为△ABC的外接圆，∠A和∠BOC都对BC，
∴∠BOC＝2∠A＝2×36°＝72°．
故答案为72．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
15．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ 50 °．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，则cos∠OCB的值是 22 ．
【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝90°，则可判断△OBC为等腰直角三角形，所以∠OCB＝45°，然后利用特殊角的三角函数值得到cos∠OCB的值．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴cos∠OCB=22．
故答案为22．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
17．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为 69° ．
【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝21°，
∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．
故答案为：69°
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．
18．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，∠ABD＝25°，则∠BAD＝ 95 °．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB＝60°，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠ABD＝25°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACD＝∠ABD＝25°，
∴∠BCD＝60°+25°＝85°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣85°＝95°．
故答案为95．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等边三角形的性质．
19．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为 50° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
由圆周角定理得，∠A=12∠BOC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝4，则弧AC的长为 43π ．
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得，△AOC是等边三角形，利用弧长公式即可求得结论．
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝4，
则弧AC的长为：60π×4180=43π．
故答案为：43π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长计算公式．
21．如图，△ABC内接于⊙O，点M，N分别是CO，AB的中点，∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，则∠OMN的度数是 20° ．
【分析】由圆周角定理可求出∠AOB＝120°，∠AOC＝80°，证得△ODN是等边三角形，得出OD＝ON＝OM，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA，OB，ON，取OA的中点D，连接DN，
∵∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∴∠AOB＝120°，∠AOC＝80°，
∵点M是OC的中点，点D是OA的中点，
∴OD＝OM=12OA，
∵点N是AB的中点，且∠AOB＝120°，
∴ON⊥AB，∠AON＝∠BON＝60°，
∵点D是OA的中点，且∠ONA＝90°，
∴DN＝DO，
∴△ODN是等边三角形，
∴OD=12OA，
∴OD＝ON＝OM，
∵∠MON＝∠COA+∠AON＝80°+60°＝140°，
∴∠OMN＝∠NOM=180°−140°2=20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC＝4，∠A＝30°，求⊙O的直径．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，根据等边三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，
∴⊙O的直径＝8．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．如图，在直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），过A，B，C作外接圆，D为圆上一动点，求5DO+DA的最小值．
【分析】如图，设△ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF．则E（﹣1，1）．首先证明△DEO∽△FED，得到EODE=DODF，推出DF=5DO，所以5DO+DA＝DF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DA≥AF，推出当点D和点C重合时，DF+DA最小，即5DO+DA最小，求出AF的长即可解决问题．
【解答】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF．则E（﹣1，1）．
∵A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），E（﹣1，1）
∴直线OE的解析式为y＝﹣x，直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，
由y=−xy=−2x+4解得x=4y=−4，
∴F（4，﹣4），
∴DE=10，EO=2，EF＝52，
∴DEEO=102=5，EFDE=5210=5，
∴DEEO=EFDE，∵∠E＝∠E，
∴△DEO∽△FED，
∴EODE=DODF，
∴DF=5DO，
∴5DO+DA＝DF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DA≥AF，
∴当点D和点C重合时，DF+DA最小，即5DO+DA最小，
∴5DO+DA最小值＝AF=42+(−4−4)2=45．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决问题，题目比较难，掌握辅助线的添加方法是解题的关键，属于中考填空题中的压轴题．
24．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
【分析】首先连接BE，由AE是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABE＝90°，又由AD⊥BC，∠E＝∠C，即可证得∠BAE＝∠CAD．
【解答】解：∠BAE＝∠CAD．
理由：连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠CAD．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CA＝CB，连接BO并延长交AC于点D．
（1）求证：∠C＝2∠CBD；
（2）若AB＝6，sinC=35，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接CO，AO，可证△COA≌△COB，所以∠ACO＝∠BCO，因为OC＝OB，所以∠BCO＝∠CBD，即可得出∠C＝2∠CBD；
（2）作⊙O的直径AK，连接BK，则∠ABK＝90°，∠C＝∠K，在Rt△ABK中，利用锐角三角函数的定义即可得出⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图1，连接CO，AO，
∵CA＝CB，OA＝OB，OC＝OC，
∴△COA≌△COB（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBD，
∴∠C＝2∠CBD；
（2）如图2，作⊙O的直径AK，连接BK，
则∠ABK＝90°，∠C＝∠K，
∵AB＝6，sinC=35，
∴sinK=35=6AK，
∴AK＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义．作⊙O的直径是解决（2）问的关键．
26．如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，若∠BOA＝90°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
【分析】根据∠BOA＝90°，可得∠BCE＝45°，∠BEC＝90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以AEAC，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r．
【解答】解：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴OE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，
∵∠BCA＝∠EDC+∠CED，
∴∠ACB＝90°+∠CED，
∴∠CED＝∠GAB，
∴∠CED＝∠OBA，
∴O、A、E、B四点共圆，如图所示，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BOA＝90°，∠BCE＝45°，
∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，
∴AEAC=4，
∴CEAC=3，
设CE＝3x，AC＝x，
由（1）可知：BC＝2CD＝6，
∵∠BCE＝45°，
∴CE＝BE＝3x，
∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2＝62，
x=2，
∴BE＝CE＝32，AC=2，
∴AE＝AC+CE＝42，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB2＝（32）2+（42）2，
∴AB＝52，
∵∠BAO＝45°，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，设半径为r，
由勾股定理可知：AB2＝2r2，
∴r＝5，
∴⊙O半径的长为5．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
27．如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD为⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E，BC＝1，AC=3，求∠D的度数．
【分析】由AB是直径，推出∠ACB＝90°，由BC＝1，AC=3，推出tan∠B=ACBC=3，推出∠B＝60°，由OB＝OC，推出△OBC是等边三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝1，AC=3，
∴tan∠B=ACBC=3，
∴∠B＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠DOE＝∠BOC＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠DOE＝30°．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交⊙O于F，交BE于H，连DE，试探究DE与直径CG有无特殊的位置关系？
【分析】结论：DE⊥CG．由△CAD∽△CBE，推出CACB=CDCE，推出CACD=CBCE，由∠ECD＝∠BCA，推出△ECD∽△BCA，推出∠CED＝∠ABC＝∠G，由CG是直径，推出∠GAC＝90°，推出∠G+∠ACG＝90°，推出∠ACG+∠DEC＝90°，即可证明∠EKC＝90°．
【解答】解：结论：DE⊥CG．
理由：如图，连接AG，DE交CG于K．
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴△CAD∽△CBE，
∴CACB=CDCE，
∴CACD=CBCE，∵∠ECD＝∠BCA，
∴△ECD∽△BCA，
∴∠CED＝∠ABC＝∠G，
∵CG是直径，
∴∠GAC＝90°，
∴∠G+∠ACG＝90°，
∴∠ACG+∠DEC＝90°，
∴∠EKC＝90°，
∴DE⊥CG．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC上，AD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：∠ADC＝∠ACE；
（2）若⊙O的半径为23，AB的度数为90°，DE＝2，求AD的长．
【分析】（1）先证明△ACD∽△AEC，再根据相似三角形的性质得到∠ADC＝∠ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴∠AEC＝∠ACB，
∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACD∽△AEC，
∴∠ADC＝∠ACE；
（2）解：∵AB=AC，AB的度数为90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC=22BC＝26，
∵△ACD∽△AEC，
∴ACAE=ADAC，
∴26AD+2=AD26，
整理得，AD2+2AD﹣24＝0，
解得，AD1＝4，AD2＝﹣6（舍去），
∴AD的长为4．
【点评】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
30．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是AD中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，D是BC的中点，求弦CE的长．
【分析】（1）利用垂径定理得到AC=AE，则可证明AE=CD，利用圆周角定理得到∠CAD＝∠ACE，所以AP＝CP，再证明∠BCP＝∠CQA得到CP＝PQ，于是得到AP＝PQ；
（2）利用AC=CD=DB，AB是直径，利用圆周角得到∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，而根据垂径定理得到CH＝EH，于是可得CE的长度．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，AB是直径，
∴AC=AE，
又∵AC=CD
∴AE=CD，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴AP＝CP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90˚，
∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，
∴∠BCP＝∠CQA，
∴CP＝PQ，
∴AP＝PQ，
即P是线段AQ的中点；
（2）解：∵AC=CD=DB，AB是直径，
∴∠ACB＝90˚，∠ABC＝30˚，
又∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝5，BC＝53，
∴CH=12BC=532，
又∵CE⊥AB，
∴CH＝EH，
∴CE＝2CH＝2×532=53．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．
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