北师大版2023年中考数学一轮复习《二次函数》单元练习（含答案）

北师大版2023年中考数学一轮复习

《二次函数》单元练习

一              、选择题

1.下列各式中，y是关于x的二次函数的是(    )

A.y＝        B.y＝2x＋1        C.y＝x2＋x﹣2      D.y2＝x2＋3x

2.若(2，5)，(4，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(        )

A.x＝1          B.x＝2              C.x＝3               D.x＝4

3.二次函数y=ax2+bx﹣1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a+b+1的值是(     )

A.﹣3           B.﹣1              C.2              D.3

4.将抛物线y=2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是(　　)

A.y=2x2+3       B.y=2x2﹣3       C.y=2(x+3)2       D.y=2(x﹣3)2

5.在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(    )

6.已知A(2，y1)，B(3，y2)，C(0，y3)在二次函数y＝ax2＋c(a＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是(　　)

A.y3＜y2＜y1     B.y1＜y2＜y3          C.y2＜y1＜y3      D. y3＜y1＜y2

7.若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y关于x的二次函数的表达式为(     ).

A.y＝x2﹣4x＋3     B.y＝x2﹣3x＋4     C.y＝x2﹣3x＋3       D.y＝x2﹣4x＋8

8.小兰画了一个函数y=x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b=0的解是(     )

A.无解       B.x=1      C.x=－4       D.x=－1或x=4

9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图，则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之和(   )

A.大于0     B.等于0      C.小于0          D.不能确定

10.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是(　　)

A.y=﹣2x2                     B.y=2x2                        C.y=﹣x2                          D.y=x2

11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1m/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，△PCQ面积的最大值为(      )

A.6 cm2      B.9 cm2                    C.12 cm2        D.15 cm2

12.如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C(M)、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是(　　)

A.     B.   C.     D.

二              、填空题

13.二次函数y＝2(x＋1)2﹣3的顶点坐标是　   　.

14.把二次函数y＝x2﹣12x化为形如y＝a(x﹣h)2＋k的形式　　　　　　.

15.将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为             .

16.二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为(﹣1，0)，则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为　          

17.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于O(0，0)和A(3，2)两点，则不等式ax2+bx＜kx的解集为　　　.
 

18.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a(x﹣3)2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的菱形ABCD的周长为______．

三              、解答题

19.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B、C两点.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围.

20.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

(1)根据上表填空：

①这个抛物线的对称轴是　　     ,抛物线一定会经过点(﹣2,　　)；

②抛物线在对称轴右侧部分是　　        (填“上升”或“下降”)；

(2)如果将这个抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线表达式.

21.已知抛物线y=﹣x2+4x﹣3与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，顶点为P.

(1)求A，B，P三点的坐标；

(2)在如图所示的直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线y=﹣ x2+4x﹣3，

并根据图象写出x取何值时，函数值大于零；

(3)将此抛物线向下平移一个单位长度，请写出平移后图象对应的函数解析式.

22.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.

(1)求平均每天销售量y箱与销售价x元/箱之间的函数关系式.

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

23.已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y轴的直线.

(1)求m，n的值；

(2)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA∶PB＝1∶5，求一次函数的表达式.

24.抛物线y＝ax2＋bx的顶点M（，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E.

（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；

（2）当0＜x＜2时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

1.C

2.C

3.D

4.C

5.D

6.D.

7.A

8.D

9.C

10.C

11.B

12.A.

13.答案为：(﹣1，﹣3).

14.答案为：y＝(x﹣6)2﹣36.

15.答案为：y=﹣2(x﹣1)2+2.

16.答案为：x1=﹣1，x2=3.

17.答案为：0＜x＜3.

18.答案为：24.

19.解：(1)y＝－x2＋x＋2.

(2)－x2＋x＋2＝0，得：x1＝3，x2＝－1，

由图象可知：y>0时x的取值范围是－1＜x＜3.

20.解：(1)①∵当x＝0和x＝2时,y值均为2,

∴抛物线的对称轴为x＝1,

∴当x＝﹣2和x＝4时,y值相同,

∴抛物线会经过点(﹣2,10).

②∵抛物线的对称轴为x＝1,且x＝2、3、4时的y的值逐渐增大,

∴抛物线在对称轴右侧部分是上升.

(2)将点(﹣1,5)、(0,2)、(2,2)代入y＝ax2＋bx＋c中,

,解得：,

∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x＋2.

∵点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,

∴平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x＋5.

21.解：(1)令y=0，则﹣ x2+4x﹣3=0，

解得x1=1，x2=3.

则A(1，0)，B(3，0).
由顶点坐标公式，得P(2，1).
(2) 列表：

描点，连线.

作图如上所示.根据图象，得1＜x＜3时，函数值大于零；
(3)抛物线y=﹣ x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)x2+1，则将此抛物线向下平移一个单位长度后，

得到抛物线y=﹣(x﹣2)2+1﹣1=﹣x2+4x﹣4.

22.解：(1)y=﹣3x+240；

(2) w=﹣3x2+360x﹣9600；

(3)销售价为55元时获得最大利润1125元.

23.解：(1)∵对称轴是经过(－1，0)且平行于y轴的直线，

∴－＝－1，

∴m＝2，

∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，

∴9－3m＋n＝1，得出n＝3m－8，

∴n＝3m－8＝－2；

(2)∵m＝2，n＝－2，

∴二次函数为y＝x2＋2x－2，

作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，

∴＝，

∵P(－3，1)，

∴PC＝1，

∵PA∶PB＝1∶5，

∴＝，

∴BD＝6，

∴B的纵坐标为6，

代入二次函数为y＝x2＋2x－2得，6＝x2＋2x－2，解得x1＝2，x2＝－4(舍去)，

∴B(2，6)，

设一次函数的表达式为y＝kx＋b.

∴解得

∴一次函数的表达式为y＝x＋4.

24.解：（1）由于抛物线的顶点为M（，3），则

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.

当y＝0时，x＝0或2，

∴A（2，0）；

（2）存在.

∵点M，B关于x轴对称，点A，A′关于原点O对称，

∴A′（－2，0），B（，－3）.

∵C为A′B的中点，

∴CD＝|yB|＝.

∵CD⊥x轴，PE⊥x轴，

∴CD∥PE.

要使四边形CDPE为平行四边形，则CD＝PE＝，即yP＝，

∴令－x2＋2x＝，∴x＝，

∴点P的坐标为(,).