2023高考数学复习专项训练《利用空间向量求二面角》

2023高考数学复习专项训练《利用空间向量求二面角》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若直线的倾斜角为，则

A、

B、

C、

D、

A.  B.  C.  D.

2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是

A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角

3.（5分）下列四个命题中，正确的是

A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

4.（5分）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是 
①点到点的距离为； 
②点到直线的距离为； 
③点到平面的距离为； 
④平面到平面的距离为

A、①②④

B、②③④

C、①④

D、①②③
 

A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③

5.（5分）两条平行直线和间的距离为，则，分别为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）直线恒过定点

A.  B.  C.  D.

8.（5分）如图，在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为
 

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知空间中三点，，，则下列结论正确的有

A. 与共线的单位向量是
B.
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是

10.（5分）已知点，，，，则以下四个结论正确的是

A. ； B. ；
C. ； D. ，

11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 

A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值

12.（5分）下列说法正确的是

A. 直线 必过定点，
B. 直线在 轴上的截距为
C. 直线 的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为

13.（5分）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为
 

A.  B.  C. 面 D. 面

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）在空间直角坐标系中，若点关于坐标平面的对称点为点，点关于坐标原点的对称点为点，则的坐标为 ______.

15.（5分）已知直线：，则原点到这条直线距离的最大值为______．

16.（5分）如图，夹角为的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则的长为 ______.
 

17.（5分）已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为经过点且方向向量为的直线方程为用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为 ______.

18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）根据下列条件，求直线的一般方程：  
过点且与直线平行；  
与直线垂直，且在两坐标轴上的截距之和为．

20.（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别是的中点.

证明：平面；

求三棱锥的体积.

21.（12分）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且

求直线与的交点坐标；
已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求的方程.

22.（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且， 
证明：； 
若，，，求二面角的余弦值．
 

23.（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点为棱的中点，点，分别为棱，上的动点与所在棱的端点不重合，且满足． 
证明：平面平面； 
当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
 

答案和解析

1.【答案】null;

【解析】解：由于直线的倾斜角为， 
所以，整理得： 
故选： 
直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果． 
此题主要考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

2.【答案】C;

【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理，， 
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理有， 
，则， 
又， 
，，，四点共面，故正确； 
对于：，，且，， 
当，时，，故错误， 
故选： 
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案． 
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】B;

【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 

4.【答案】null;

【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，， 
， 
 
则，①正确； 
，，则在直线的射影为，从而点到直线的距离为，②正确； 
，设平面的法向量为，则，取，则，于是点到平面的距离为，③正确； 
平面到平面的距离即为点到平面的距离，为，④错误． 
故选： 
建立空间直角坐标系，写出对应直线的方向向量和平面的法向量，根据距离公式求解． 
本题全面考查了空间中的各种距离，充分体现了向量方法的优越性，属于基础题．
 

5.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查了两直线平行的位置关系，考查了两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 
先由两直线平行求出的值．再运用两平行直线的距离公式求出的值即可．解：直线与直线平行， 
， 
解得， 
直线方程化为，即， 
两平行线间的距离， 
故选 

 

6.【答案】B;

【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 

7.【答案】A;

【解析】解：直线：， 
，令，解得， 
故直线恒过定点 
故选： 
根据已知条件，可得，列出方程组，解出，，即可求解． 
此题主要考查直线恒过定点的问题，属于基础题．
 

8.【答案】B;

【解析】解：如图： 
连结，， 
则异面直线与所成角为， 
在中， 
；；； 
则， 
， 
故选： 
连结，，化异面直线与所成角为，用余弦定理解答． 
此题主要考查了学生的空间想象力及辅助线的作法，同时考查了余弦定理的应用，属于基础题．

 

9.【答案】BD;

【解析】解：空间中三点，，， 
，，单位向量是与不共线，故错误； 
，，，故正确； 
，，故错误； 
设，则，，， 
平面的一个法向量是，故正确． 
故选： 
利用共线向量和单位向量的定义判断；利用向量垂直的性质判断；利用向量夹角余弦公式判断；利用法向量定义判断 
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查了直线的斜率、两直线垂直、平行的判定、两点间距离公式，属于基础题. 
计算相应直线的斜率及两点间的距离逐个验证解答. 
解：，， 
，选项正确， 
，选项正确； 
与不垂直，选项错误； 
， 
，，选项不正确， 
故选
 

11.【答案】ABC;

【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 

12.【答案】null;

【解析】 
此题主要考查直线方程基础知识的掌握情况，及直线方程的综合求法，考查学生的计算能力，属于基础题. 
A.化简直线方程，令的系数等于，求解即可得出答案；根据截距的定义即可判断；求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角关系即可得出结果；根据直线垂直斜率之间的关系结合待定系数表达出直线方程，把点代入方程即可得出结果. 
解：化简直线得，过定点，故正确； 
B.令得，则直线在轴上的截距为，故错误； 
C.直线的斜率为，倾斜角满足，，即，错误； 
D.设垂直于直线的直线方程为，把点代入得，，故所求直线方程为，故正确； 
故选
 

13.【答案】AC;

【解析】解：如图，为正方形中心，，，面， 
又、、为分别是，，的中点，，，面面， 
面，而面，，面， 
故选： 
根据直四棱锥的性质，判断线面平行、垂直，面面平行，得到求解． 
此题主要考查了直四棱锥的性质，线面平行、垂直的判断，是基础题．

 

14.【答案】（-5，-1，-2）;

【解析】解：由题意知：，，所以 
故答案为： 
根据对称性求得，两点坐标，根据向量的坐标运算即可求解． 
此题主要考查空间向量的坐标运算，是基础题．
 

15.【答案】1;

【解析】解：直线：，恒过定点， 
原点到直线距离的最大值，即为原点到点的距离． 
原点到直线距离的最大值为． 
故答案为． 
由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的定点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值． 
该题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
 

16.【答案】;

【解析】解：因为，，所以， 
因为二面角为，所以，即， 
所以 
 
， 
所以，即的长为 
故答案为： 
根据式子即可求出的长． 
此题主要考查空间向量的应用，空间中的距离的求解等知识，属于中等题．
 

17.【答案】null;

【解析】解：由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量， 
设直线与平面所成角为， 
所以， 
即直线与平面所成角的正弦值为， 
故答案为： 
由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法即可求得． 
此题主要考查了直线与平面所成的角，读懂题意是解题关键，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：设直线方程为， 
由题意可得，解得， 
所求直线方程为 
设直线方程为， 
依题意可得：， 
解得：， 
则所求方程为，即;

【解析】 
设直线方程为，代入点，求得，即可得到所求直线方程；  
设直线方程为，依题意可得：，求得，，可得所求直线方程．  
该题考查直线方程的求法，注意运用两直线平行和垂直的条件，考查待定系数法的运用，属于基础题．
 

20.【答案】证明：连接， 
 
四边形是正方形，是的中点， 
，，三点共线，且是的中点， 
又是的中点， 
， 
又不在平面内，平面， 
平面 
解：平面，是的中点， 
到平面的距离为， 
四边形是正方形，， 
， 
三棱锥的体积为：;

【解析】此题主要考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题． 
利用中位线定理即可证明，得出平面； 
计算到平面的距离和三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算．
 

21.【答案】解：设的方程为， 
因为在轴上的截距为， 
所以，， 
即： 
联立得 
直线与的交点坐标为 
当过原点时，的方程为 
当不过原点时，设的方程为， 
又直线经过与的交点， 
所以，得， 
的方程为 
综上，的方程为或 
;

【解析】此题主要考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 
利用，可得斜率利用点斜式可得直线的方程，与直线和的交点坐标为 
当直线经过原点时，可得方程．当直线不经过过原点时，设在轴上截距为，则在轴上的截距的倍，其方程为：，把交点坐标代入可得 

 

22.【答案】证明：（1）在AA1上取点M，使得A1M=2AM，连接EM，B1M，EC1， 
 
在长方体中，有DD1∥AA1∥BB1，且DD1=AA1=BB1． 
又2DE=ED1，A1M=2AM，BF=2FB1， 
∴DE=AM=FB1． 
∴四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形． 
∴AF∥MB1，且AF=MB1，AD∥ME，且AD=ME， 
又在长方体中，有AD∥B1C1且AD=B1C1， 
∴B1C1∥ME且B1C1=ME，则四边形B1C1EM为平行四边形， 
∴EC1∥MB1，又AF∥MB1， 
∴AF∥C1E． 
解：（2）以C1为原点，分别以C1，D1，C1B1，C1C为x,y,z轴，建立如图所示坐标系， 
 
∵AB=2，AD=1，AA1=3，2DE=ED1，BF=2FB1， 
∴A（2，1，3），E（2，0，2），F（0，1，1），A1（2，1，0）， 
则，，． 
设平面AEF的一个法向量为． 
则，取x=1，得， 
同理可得平面A1EF的一个法向量为， 
∴cos＜＞==， 
结合图形可知，所求二面角为钝二面角， 
∴二面角A-EF-A1的余弦值为．;

【解析】 
在上取点，使得，根据题意可得四边形，为平行四边形，进而即得； 
以为原点，分别以，，，为，，轴，建立如图所示坐标系，利用空间向量可得二面角． 
此题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
 

23.【答案】证明：连接交于，连接， 
底面为正方形，，， 
又，， 
由底面知，底面， 
又底面，， 
又，，平面，平面， 
在中，，，，即， 
平面，又平面， 
平面平面； 
解：设，由题意，，又， 
 
． 
可知，当三棱锥的体积最大时，． 
即此时，分别为棱，的中点． 
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 
则，，，， 
，，， 
设为平面的一个法向量， 
则，取，得； 
设是平面的一个法向量， 
则，取，得． 
， 
即二面角的余弦值为 
;
 

【解析】此题主要考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 
连接交于，连接，由已知证明，由底面知，底面，得到，进一步证明平面，再由平行线截线段成比例得，得到平面，从而有平面平面； 
设，利用等积法写出三棱锥的体积，可得当三棱锥的体积最大时，即此时，分别为棱，的中点．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．