专题27 相似三角形压轴题的几种类型-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题27 相似三角形压轴题的几种类型（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一 综合运用全等三角形与三角形的判定和性质求点的坐标

典例1 （2022•建邺区二模）如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为（﹣2，4）．将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）

针对训练

1．（2012•鹿城区校级二模）已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC＝2，CB＝2，OA＝4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为　 　．

类型二 综合运用相似三角形的判定和性质锐角三角函数求线段长的最值

典例2 （2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　）

A．2 B．21 C．2 D．22

针对训练

1．（2021秋•亳州月考）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若tan∠CAD，则对角线BD长的最大值是（　　）

A．1 B．1+2 C．1 D．1

类型三 综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求字母的值

典例3（2022•无锡二模）如图，已知A（0，3）、B（4，0），一次函数yx+b的图象为直线l，点O关于直线l的对称点O′恰好落在∠ABO的平分线上，则：

（1）AB＝　 　；（2）b的值为 　　．

针对训练

1．（2016•汉川市模拟）已知一次函数y＝2x+2与x轴y轴分别交于A、B两点，另一直线y＝kx+3交x轴正半轴于E、交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为（　　）

A．﹣0.5 B．﹣2 C．﹣0.5或﹣2 D．以上都不对

类型四 利用相似三角形的判定和性质求线段长的最值

典例4（2022•涟水县一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点H在AD上，且AH＝2，点E绕着点B旋转，且BE＝3，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是 　 　．

针对训练

1．在正方形ABCD中，AB＝2，点P是CD边上一动点（不与点D、C重合），连接BP，过点C作CE⊥BP，垂足为E，点F在线段BP上，且满足EF＝EC，连接AF，则AF的最小值为　    ．

类型五 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”（动点D在圆弧上）型的最值（阿氏圆）

典例5（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为 　　．

针对训练

1．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　   ．

类型七 相似三角形与多边形的综合题

典例6（2022•惠山区一模）（1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，AD＝12，小明将矩形CEGF绕点C顺时针转α°（0≤α≤360），如图2所示．

①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．

②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度．

（2）【类比探究】如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α°，tan∠ABC，G为BC中点，D为平面内一个动点，且DG，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为　 　．（直接写出结果）

针对训练

1．（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．

（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；

（2）若2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．

类型八 相似中的“一线三等角”模型

典例8（2022•扬州）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．

（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；

①点E在线段AB的延长线上且BE＝BD；②点E在线段AB上且EB＝ED．

（2）若AB＝6．

①当时，求AE的长；

②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．

针对训练

1．（2022秋•虹口区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，P是射线BC上的一个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝x，CF＝y．

（1）当sin∠APB时，求CE的长；

（2）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当时，求CF的长．

第二部分 专题提优训练

1．（2022•如皋市一模）在矩形ABCD中，2＜AD＜10，tan∠ABD＝2．如图，分别以点A，D为圆心，以4和6为半径作弧，两弧交于点E，连接BE，则BE的最大值为（　　）

A．9 B．3 C．15 D．23

2．（2022秋•定海区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4

3．（2021秋•宜兴市校级月考）如图，矩形ABCD中，AB，AD＝4，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，联结PF．设M是线段PF的中点，则在点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值是（　　）

A． B． C．2.5 D．

4．（2022•东平县一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（　　）

A．23 B．22 C．5 D．3

5．（2022•武进区一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分别是BC、AC边上的动点，且∠ADE＝∠ABC，连接BE，则△AEB的面积的最小值为 　　．

6．（2022春•漳州期末）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，BE＝2，EC＝4，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG．现给出以下结论：

①∠EAG＝45°；②EG＝BE+DG；③GF＝GC；④．

其中正确的结论是 　 　．（写出所有正确结论的序号）

7．（2022•连云港）【问题情境】

在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．

【问题探究】

小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．

（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．

（3）连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．

（4）如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 　   ．

8．（2022秋•金东区期末）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点P从A出发，以1个单位每秒速度，沿射线AB方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC方向运动，设运动时间为t秒，连结DP，DQ．

（1）如图1．证明：DP⊥DQ．

（2）作∠PDQ平分线交直线BC于点E；

①图2，当点E与点B重合时，求t的值．

②连结PE，PQ，当△PBE与△PDQ相似时，求t的值．

9．【问题发现】

（1）如图①，在边长为5的等边△ABC中，点D，E分别是BC，AB边上一点，且BD＝2BE＝2，点P是线段AE上一动点，以PD为边向右作等边△PDF．

①过点F作FG⊥BC于点G，连接DE．试探究PE与DG之间的数量关系；

②当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长；

【类比探究】

（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，求CG的最小值．