高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值同步训练题

【优选】3 函数的单调性和最值-4课堂练习

一．填空题

1．设函数(e是自然对数的底数)，若，使得，不等式恒成立，则实数m的取值范围是___________.

2．已知函数，若方程有四个不同的根，，，，则的取值范围是______.

3．已知函数，则______．

4．已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为____

5．已知实数，函数（为自然对数的底数），若关于的方程恰好有3个不相等的实根，则实数的取值范围是__________.

6．设函数，若，则m=___________．

7．函数的定义域是_____________．

8．已知函数，则的值为__________．

9．已知函数，若，则__________.

10．已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为_________．

11．若函数的定义域是，则的值域是___________.

12．已知，，则的解析式为________．

13．已知函数，则不等式的解集为________．

14．设函数，则满足的x的取值范围是___________.

15．已知函数，若，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由已知条件可得当时，，利用导数求得时，，由恒成立，可知的最小值大于的最小值即可，然后分和两种情况求和的最小值即可

详解：解：，当时，，

由，得，

令，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以当时，，即

因为，使得，不等式恒成立，

①当时，，

因为，所以，

解得（舍去）或，

②当时，，

因为，所以，

解得（舍去）或，

综上所述，或

所以实数m的取值范围是，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的应用，解题的关键是对，使得，不等式恒成立，转化为的最小值大于的最小值，然后分和两种情况求和的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题

2．【答案】

【解析】分析：设<<<，由，，则问题转化为，根据，求得范围即可.

详解：设<<<，则，

由图知，，

当时，或4，则

故，易知其在单减，

故

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：找到方程四个不同的根，，，之间的关系，将问题中的四个变量转化为一个变量，即函数问题进行解决.

3．【答案】1

【解析】分析：结合分段函数的表达式，先求出，进而可求出.

详解：由题意，，则，

所以.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：方程在上恰有2021个零点，等价于存在，使在上恰有2021个交点，作出函数的图像，数形结合，再根据函数周期性的应用，使每个交点都处在之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围.

详解：由函数在上的解析式作出如图所示图像，

由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，

若使时，存在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，

则当时，需使最后一个完整周期中的极小值，

即，解得，即

当时，需使最后一个极大值，

即，解得，即，

综上所述，

故答案为：

【点睛】

方法点睛：作出函数图像，数形结合将问题转化为函数交点问题，根据边界条件列出不等式组，从而求得参数取值范围.

5．【答案】

【解析】分析：导数求出函数的单调区间，从而画出函数的大致图像，则可得，，从而得，令，则，有3个解，不妨设从小到大依次为，则可得，不合题意，舍去，所以得，结合图像得，从而可求出的取值范围

详解：解：当时，单调递增，且时，，

当时，，则，

因为在上单调递增，，

所以当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，，当时，，

作出的大致图像如图所示，

由图像可知，，则，

所以，

所以，解得，

令，则，且，

由图像可知，有3个解，不妨设从小到大依次为，

则，不合题意，舍去，

所以，即，

所以有三个解，

所以，解得，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查分段函数，解题的关键是利用导数画出函数图像，利用数形结合的思想求解即可，属于中档题

6．【答案】1

【解析】分析：先求，然后再根据的取值范围分类讨论就可以求符合题意的的值.

详解：根据题意，函数f(x)=，

则f()=5×﹣m=4﹣m，

当m≤3时，4﹣m≥1，f(f())=f(4﹣m)=24﹣m=8，解可得m=1，符合题意，

当m>3时，4﹣m<1，f(f())=f(4﹣m)=5(4﹣m)﹣m=20﹣6m=8，解可得m=2，不符合题意，

综合可得：m=1，

故答案为：1.

7．【答案】

【解析】分析：根据函数解析式直接列出式子即可求解.

详解：，

，解得，故函数的定义域为.

故答案为：.

8．【答案】1.

【解析】分析：根据指数．对数的运算算出答案即可.

详解：因为

所以，

所以

故答案为：1

9．【答案】e

【解析】分析：先根据已知条件判断时，，再计算x和a值即可.

详解：依题意知，时，，即，，故.

故答案为：e.

10．【答案】

【解析】分析：当时，问题转化为当时，，由于，，矛盾，故不满足；当时，问题转化为当时，，由于，，进而得，解不等式，进而得实数的最大值

详解：解：当时，取绝对值得，作出函数的图像如图1，

此时，，，

故对任意的，都存在，使得成立则需满足，

由于，，显然不满足，；

当时，函数图像如图2所示，

此时，，，

故对任意的，都存在，使得成立则需满足，

由于，，

所以当时，才能满足对任意的，都存在，使得成立，

整理不等式得：，解得：，

由于，所以.

由于所求为实数的最大值，故不需要再讨论的情况.

所以，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查分段函数的分类讨论思想，化归转化思想，考查综合分析问题与解决问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于分时和时两种情况分别讨论求解.

11．【答案】

【解析】分析：先分离常数将函数解析式化为，结合的范围，先得出分母的范围，由反比例函数的性质和不等式的性质可得答案.

详解：由

当时，，所以，则

所以，即的值域为

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：将代入条件中，得到，根据两式消元，求得函数的解析式.

详解：由题知，，①；又，②；

由①②得，，

则，

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：分类讨论解不等式即可．

详解：当时，，解得；

当时，，解得；

综上，不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查解分段函数不等式，已知函数值的范围求自变量的范围时，关键要注意分段讨论，特别注意解出的范围是否满足相应段的自变量的取值范围．

14．【答案】

【解析】分析：根据分段函数的表达式，分别讨论的取值范围，进行求解即可.

详解：由题意，函数，

若，则，则等价于，

解得，此时；

若时，此时，

当，即时，此时，，此时满足恒成立，

当时，即时，若，即，

即，解得，

综上可得，实数x的取值范围是.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果.

详解：因为，所以，，

则，

故答案为：.