专题36+切线的条数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题36 切线的条数

【方法点拨】

1.按照过一点求切线方程的一般步骤，设切点、求斜率得切线方程、点代入，将切线的条数问题转化为方程解的个数问题；是否存在切线转化为方程有无解的问题.

2.有时也可考虑相切为“临界状态”，利用参数的几何意义确定参数的取值范围.

【典型题示例】

例1    （2022·全国新高考Ⅰ卷·15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】易知曲线不过原点，故

设切点为，则切线的斜率为

所以切线方程为

又因为切线过原点，所以

即

又因为切线有两条，故上方程有两不等实根

所以，解得，或

所以的取值范围是．

例2   (2022·江苏南京一中学情调研模拟检测·8)若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【分析】由于中要求，故考虑当时的公切线所对应的实数的值为临界值，当增大时，抛物线沿直线上移，公切线与相切的切点左移，横坐标减小，故所求大于此时的临界值.

【解析】先求当时，曲线的切线方程

∵，

∴曲线的切线在处的切线方程为，即

再求当曲线与直线相切时（即直线为公切线）的值

设曲线与直线相切时切点为

则由导数的几何意义得，解得，切点为

将代入得

∵当增大时，抛物线沿直线上移，公切线与相切的切点左移，横坐标减小，即切点的横坐标小于0

∴故所求大于此时的值，即.

例3    （2022·全国甲卷·文20改编）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线,则实数a的取值范围是         ．

【答案】

【分析一】由于中的几何意义为截距，故只需求出、相切时的值，将图象往上平移，即增大，即为所求.

【分析二】设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.

【解析一】设公切点为

则，解之得或（不符合题意，舍去）

故的取值范围为.

【解析二】，则在点处的切线方程为，整理得，

设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，

则，整理得，

令，则，令，解得或，

令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：

则的值域为，故的取值范围为.

例4    （2022·江苏南通期末·16）已知函数，若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为_________．

【答案】

【分析】利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.

【解析】由求导得：，

设直线与曲线相切的切点为，

于是得，且，则，

显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个，

则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根，

令，求导得：，当或时，，当时，，

即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，

方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得，

所以a的取值范围为.

故答案为.

例5     若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a的范围，即可．

【解析】设函数的切点为,该切线斜率,

所以切线方程为,

的切点为,所以切线方程为,

由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得

,解得

得到新方程为,

构造函数解得,表示与存在着共同的交点,而过定点,得到过的切线方程,设切点为,则,该切点在该直线上,代入,得到,解得,

所以直线斜率为,要使得与存在着交点,

则,结合,所以a的取值范围为，故选A．

例6    (2021·全国Ⅰ卷)若过点可以作曲线的两条切线，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合已知条件，利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题，然后通过构造新函数，并求出新函数的单调区间以及最值，利用数形结合的方法即可求解.

【解析】设切点，，因为，即，

则切线方程为，

由得，

则由题意知，关于的方程有两个不同的解．

设，则，

由得，

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以的最大值为，

当时，，所以，

当时，；当时，，

故的图像如下图所示：

故．

故选:D．

【巩固训练】

1.过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．

2.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3.若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（    ）

A． B． C． D．

4.若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5.已知函数，，若曲线与有两条公切线，则实数的取值范围是        ．

6.若曲线与曲线存在公共切线，则实数 a 的取值范围为       ．

7.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是           ．

8.已知函数，若过点只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是           .

【答案或提示】

1.【答案】

【分析】设切点为，利用导数几何意义求得切线方程为，由题意知在上有两个不同解，构造且，利用导数研究单调性及值域，进而确定的范围.

【解析】由，若切点为，则，

∴切线方程为，又在切线上，

∴，即在上有两个不同解，

令，即原问题转化为与有两个交点，而，

（1）当时，，递增，且，

（2）当时，，递增；当时，，递减；

∴，又，时且，

∴要使在上有两个不同解，即.

故答案为：

点评：

   作为填空题，本着“小题小做”的策略，只需先求出点在曲线上时的值为，此时，过点曲线的切线洽有一条，从形上看，当增大时，切线就有两条，故答案为.

2.【答案】A

【解析】设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，

所以有

∵，∴．

又，令，∴．

设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A．

3.【答案】C

【解析】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线.

设的切点为，.

设的切点为，,

所以.

由题得.

设，

所以，

所以函数在上单调递减，在单调递增.

又，

当时，，

所以方程另外一个零点一定大于.

所以方程小的零点为，

所以.

故选：C.

4.【答案】A

【解析】设切点为，

∵，∴，

∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，

代入点P的坐标，化简得，

∵过点可以作三条直线与曲线相切，

∴方程有三个不等实根.

令，求导得到，

可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

如图所示，故，即.

故选：A.

5.【答案】，

【解析一】根据二次函数和代数函数的性质得：

当时，曲线与有两条公切线，

即在上恒成立，即在上恒成立，

设，，令，，

即，因此，，

【解析二】取两个函数相切的临界条件：，解得，，

由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，，

故的取值范围是，．

6.【答案】

【提示】取对数转化为曲线与直线有交点，临界状态是相切.

7. 【答案】

【解答】 设切点为，

切线斜率为：

切线方程为：①

又切线过点，带入①化简为：

令 与

 ，（1），；

，令，；

在，单调递减，上单调递增；

过点可作曲线的三条切线，即存在三个，也即是与有三个交点．

故如图所知：．

8.【答案】

【解析】设过点的直线与曲线相切于点，，

则，且切线斜率为，

所以切线方程为．

因此，

整理得．

设，

则“过点只有一条直线与曲线相切”等价于“只有一个零点”． ．

当变化时，与的变化情况如下：

所以，是的极大值，（1）是的极小值．

当只有一个零点时，有或（1），解得或．

因此当过点只有一条直线与曲线相切时，的取值范围是或．