2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 13.爪型三角形及应用

高三二轮微专题：爪型三角形及应用

    如图所示中，从其中一个顶点出发引一条射线与所在直线交于点，这样，就得到一个爪字型的三角形，由于线段的引入，结合正余弦定理，会产生很多有趣的结论和问题. 因此以爪型三角形为背景的问题是高考或者模考中的常考题型.

    爪型三角形的基本几何特征: . 其他几何性质会随着线段不同特点而定.

一．为中线：平面向量来相伴

当为中线时，借助平面向量有：，这样我们就可以借助向量运算及正余弦定理实现解题.

1例1．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

解析：，故

.

练习1. 在中，角、、所对的边为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

解：（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，.

（2）由，又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

二.为高线：道不尽的特殊值.

为高线时，图中就会出现两个直角三角形，那我们就可以在这两个直角三角形中大胆的使用直角三角形的正弦，余弦，正切定义，使用特数值，顺利求解题目.

例2．（2016年全国3卷）在中，，BC边上的高等于,则

A．           B．           C．         D．

解析：直角三角形中，取，再由题意，，故，最后由余弦定理可得：.

练习2.中，是边上的高，，则（     ）

A.               B.                C.              D.

解析：选A.

三.为角平分线：角平分线定理

如图，可设，这样可得.另一方面，设的高为，则，联立上面两式可得：

，即角平分线性质定理.

例3. （2015全国2卷）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．

(1) 求；

(例2. （2015全国2卷）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．

(1) 求；

(2) 若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

解析：（1）有角平分线定理可得.（2）利用爪型三角形角度之间的关系.

（1），，

∵，，∴．

由正弦定理可知.

（2）∵，，∴．

设，则，在△与△中，由余弦定理可知，

，

，∵，∴，∴，解得，即．

练习3.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

选A

四．一般情形：可借助平面向量实现.且.

例4．（2018全国1卷）在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

解析：选A.

小结：本节围绕高考或者模考中常见的一类三角形：爪型三角形展开.

如图，由于的具体特征不同，我们依次可以得到中线，角平分线，高线所对应的一些常见的解题手段和思路，应用过程中，要善于结合正余弦定理，内角关系，平面向量准确解题，希望通过本节课，能够在今后所出现的爪型三角形解题中丰富解题手段，提高解题能力.

练习题

1．在中，，则BC边上的中线AD的长为　　

A．1 B． C．2 D．

2.中，是边上的高，，则（     ）

A.               B.                C.              D.

3.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

4．（2018全国1卷）在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

5．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为

A．    B．     C．       D．

6．（2018全国3卷）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A． B． C． D．

7．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

8．如图，在中，，，点D在线段BC上．

(1)当时，求的值；

(2)若AD是的平分线，，求的面积．

1．A

【分析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】

根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】

该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

2．B

【详解】

分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．

详解：由题可知

在中，

在中,

故选B.

点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．

3．A

【分析】

由已知条件，令，，则在△中结合余弦定理可知，根据三角形面积公式即可求最大值

【详解】

由题意，可得如下示意图

令，，又，即有

∴由余弦定理知：

，当且仅当时等号成立

∴有

∴

故选：A

【点睛】

本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值

4．A

【分析】

在和中，由余弦定理，化简可得；在中，由余弦定理可知，由此可得，由此即可求出的周长.

【详解】

在和中，由余弦定理，可知

∴

在中，由余弦定理可知

∴

∴

所以的周长为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中等题.

5．D

【分析】

由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，即可．

【详解】

由余弦定理可得：．

 在中，由余弦定理可得：，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

6．D

【分析】

由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.

【详解】

如图可知x，y均为正，且，

，当且仅当，即时等号成立，

则的最小值为9.

故选:D.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

7．A

【解析】

因为，所以；因为是直线上的一点，所以设,则 ，即

，则；故选A.

8．C

【分析】

首先由三点共线得到，然后，即可计算出答案.

【详解】

因为，

所以

因为三点共线，所以，即

因为，所以

所以

故选：C

【点睛】

三点共线，若，则

9．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；

（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.

【详解】

（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，；

（2）如下图，由，

又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

10．（1）；（2）.

【分析】

（1）先根据正弦定理完成角化边，然后利用余弦定理求解出的值；

（2）先根据已知条件表示出，再利用基本不等式求解出的范围，从而可求解出的最大值.

【详解】

（1）因为，所以，

所以且，所以，

所以；

（2）因为，所以，

又因为，所以，所以（取等号时），

所以，所以（取等号时），

所以的最大值为.

【点睛】

本题考查解三角形的综合应用，其中涉及到正弦定理完成边化角以及利用余弦定理求解最值，对学生的转化与计算能力要求较高，难度一般.注意：使用基本不等式时要说明取等号的条件.

11．(1) (2) 或．

【分析】

（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用正弦定理可求，由已知利用二倍角的正弦函数公式可得，在中，利用正弦定理可求的值；

（2）设，则，由余弦定理可得x的值，进而可求DC，又由（1）可求的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

【详解】

解：（1），B是三角形内角，

，

，

．

，

，

，

∴在中，．

（2）设，则，

在中，由余弦定理可得：，

解得：或．

因为AD是的平分线，

所以，

即，而，

所以．

又由（1）知，

①当时，；

②当时，．

综上，的面积为或．