七年级数学下册考点精练专题29 分组分解法因式分解

专题29 分组分解法因式分解

【例题讲解】

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．

如“2+2”分法：

ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（x+y）（a+b）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；

（2）分解因式：9m2﹣4x2+4xy﹣y2；

（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1．

试题解析：

（1）x2﹣y2﹣x﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y）=（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）=（x+y）（x﹣y﹣1）；

（2）9m2﹣4x2+4xy﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m）2﹣（2x﹣y）2=（3m+2x﹣y）（3m﹣2x+y）；

（3）4a2+4a﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b）（1﹣b）．

【综合解答】

1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．

；

也可以

．

以上分解因式的方法称为分组分解法，

(1)请用分组分解法分解下列因式：

①

②

(2)拓展延伸

①若求x，y的值；

②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？

2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：

拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

(1)分解因式：；

(2)分解因式：；

(3)若三边、、满足，试判断的形状．

3．先阅读材料：

分解因式：．

解：

以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：．

4．阅读下列材料：

因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，

过程如下：

．

这种因式分解的方法叫分组分解法．

利用这种分组的思想方法解决下列问题：

(1)因式分解：；

(2)因式分解：．

5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，

(1)因式分解：①；②；

(2)若，都是正整数且满足，求的值．

6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．

①分解因式：；

②若都是正整数且满足，求的值；

（2）若为实数且满足，，求的最小值．

7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：

（分成两组）

（直接提公因式）

．

乙：

（分成两组）

（直接运用公式）

（再用平方差公式）

请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：

（1）

（2）．

8．阅读理解：如何将进行因式分解呢？小明同学是这样做的：

我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．

【尝试应用】借助上述方法因式分解

①__________；

②__________；

③___________；

【拓展提高】若整数x，y满足，求x，y的值．

9．用分组分解法分解下列因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

10．把下列多项式分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：

当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：

（1）

=

=

=

（2）

=

=

=

（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：

(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)= (_____________)(_____________)；

=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)= (_____________)(______________)．

（2）分解下列因式：

①；

②．

12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.

例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式.

解法1：am＋an＋bm＋bn

＝（am＋an）＋（bm＋bn）

＝  a（m＋n）＋b（m＋n）

＝（m＋n）（a＋b）.   

解法2：am＋an＋bm＋bn

＝（am＋bm）＋（an＋bn）

＝ m（a＋b）＋n（a＋b）

＝（a＋b）（m＋n）.

根据你的发现，把下面的多项式分解因式:

(1)mx－my＋nx－ny；

(2)2a＋4b－3ma－6mb.

13．先阅读下面的材料，再分解因式．

要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得

．

这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有

．

这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．

请用上面材料中提供的方法因式分解：

（请你完成分解因式下面的过程）

______

；

．

专题29  分组分解法因式分解

【例题讲解】

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．

如“2+2”分法：

ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（x+y）（a+b）

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；

（2）分解因式：9m2﹣4x2+4xy﹣y2；

（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1．

试题解析：

（1）x2﹣y2﹣x﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y）=（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）=（x+y）（x﹣y﹣1）；

（2）9m2﹣4x2+4xy﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m）2﹣（2x﹣y）2=（3m+2x﹣y）（3m﹣2x+y）；

（3）4a2+4a﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b）（1﹣b）．

【综合解答】

1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．

；

也可以

．

以上分解因式的方法称为分组分解法，

(1)请用分组分解法分解下列因式：

①

②

(2)拓展延伸

①若求x，y的值；

②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？

【答案】(1)①；②

(2)①，；②，，最小值：

【分析】（1）①正确分组，然后用提取公因式，利用平方差公式求解；②将化为，再利用完全平方公式，平方差公式求解；

（2）①将化为，求出x和y的值；②将分组分解得到，结合，，求出x和y的值，的最小值．

（1）

解：①

；

②

；

（2）

解：①，

，

，

，，

，；

②

，

，，

，时，有最小值，最小值是-10，

，，

，

即当，时，代数式有最小值，最小值是-10．

【点睛】本题考查了因式分解的方法-分组分解法，平方差公式和完全平方公式；正确进行分组是解决问题的关键．

2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．

分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：

拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

(1)分解因式：；

(2)分解因式：；

(3)若三边、、满足，试判断的形状．

【答案】(1)

(2)

(3)等腰三角形，理由见解析

【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；

（2）把-6x拆成-7x+x，再用分组分解法进行解答；

（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a、b、c之间的关系便可．

【详解】（1）

=a2-4a+4-b2

=（a-2）2-b2

=（a+b-2）（a-b-2）；

（2）

=x2-7x+x-7

=x（x-7）+（x-7）

=（x-7）（x+1）

（3）∵a2-ab-ac+bc=0，

∴a（a-b）-c（a-b）=0，

∴（a-b）（a-c）=0，

∴a-b=0或a-c=0，

∴a=b或a=c，

∴△ABC是等腰三角形．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．

3．先阅读材料：

分解因式：．

解：

以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：．

【答案】见解析

【分析】仿照例题，利用分组分解法因式分解，然后利用公式法和提公因式法因式分解即可求解．

【详解】解：

【点睛】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键．

4．阅读下列材料：

因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，

过程如下：

．

这种因式分解的方法叫分组分解法．

利用这种分组的思想方法解决下列问题：

(1)因式分解：；

(2)因式分解：．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；

（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．

（1）

解：，

，

，

；

（2）

解：，

，

，

．

【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．

5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，

(1)因式分解：①；②；

(2)若，都是正整数且满足，求的值．

【答案】(1)①(x+y)(x-y+1)；②(a-1)(b-1)

(2)12或18

【分析】（1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可；

（2）利用（1）题结论进行讨论，即可求解．

(1)

解：①原式=(x+y)(x-y)+ (x+y)

=(x+y)(x-y+1)；

②原式=a(b-1)- (b-1)

=(a-1)(b-1)；

(2)

解：由（1）②可知，(a-1)(b-1)=7，

∵a，b都是正整数，

∴a-1，b-1都是整数，

∴或，

解得或，

当a=2，b=8时，2a+b=2×2+8=12；

当a=8，b=2时，2a+b=2×8+2=18；

∴2a+b的值为12或18．

【点睛】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解．

6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．

①分解因式：；

②若都是正整数且满足，求的值；

（2）若为实数且满足，，求的最小值．

【答案】（1）①；②8；（2）

【分析】（1）①根据题意分组分解即可；

②根据①的结论可得，进而根据都是正整数，列二元一次方程组解决问题；

（2）先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值．

【详解】解：（1）①

②由题即

∵为正整数且

∴

即

∴

（2）由题

∴

∵

∴，当且仅当时取等号

经验证当时满足

综上，的最小值为．

【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，二元一次方程组，非负数的性质，整体代入是解题的关键．

7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：

甲：

（分成两组）

（直接提公因式）

．

乙：

（分成两组）

（直接运用公式）

（再用平方差公式）

请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：

（1）

（2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）先分组因式分解，再提公因式即可求解；

（2）先分组因式分解，再利用平方差公式即可求解．

【详解】解：（1）原式；

（2）原式．

【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题中的方法进行灵活运用进行因式分解．

8．阅读理解：如何将进行因式分解呢？小明同学是这样做的：

我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．

【尝试应用】借助上述方法因式分解

①__________；

②__________；

③___________；

【拓展提高】若整数x，y满足，求x，y的值．

【答案】[尝试应用] ①；②；③；[拓展提高] x=1，y=-1

【分析】[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；

[拓展提高]原方程变形为：（2x-3）（3y+2）=1，根据题意有2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，即可求出方程的整数解．

【详解】解：[尝试应用]

①

=

=；

②

=

=；

③

=

=；

[拓展提高]

，

∴，

∴，

∴，

∵原方程有整数解，

∴2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，

解得：x=2，y=（舍），或x=1，y=-1；

∴x=1，y=-1．

【点睛】本题考查了因式分解—分组分解法及其应用，解题的关键是将已知式子合理分组．

9．用分组分解法分解下列因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【分析】利用分组分解法运算即可．

【详解】解：（1）

=

=；

（2）

=

=

=；

（3）

=

=

=；

（4）

=

=

=；

（5）

=

=；

（6）

=

=

=

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．

10．把下列多项式分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；

（4）利用完全平方公式分解即可．

【详解】解：（1）

=

=；

（2）

=

=

=；

（3）

=

=

=

=；

（4）

=

=

=

【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．

11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：

当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：

（1）

=

=

=

（2）

=

=

=

（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：

(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)= (_____________)(_____________)；

=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)= (_____________)(______________)．

（2）分解下列因式：

①；

②．

【答案】（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②

【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；

（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；

②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；

【详解】解：（1）()-()=-= ()()；

=()+()= +()=

故答案为：；；；；；；；；；；；；

（2）①

=

=

②

=

=

=

【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．

12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.

例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式.

解法1：am＋an＋bm＋bn

＝（am＋an）＋（bm＋bn）

＝  a（m＋n）＋b（m＋n）

＝（m＋n）（a＋b）.   

解法2：am＋an＋bm＋bn

＝（am＋bm）＋（an＋bn）

＝ m（a＋b）＋n（a＋b）

＝（a＋b）（m＋n）.

根据你的发现，把下面的多项式分解因式:

(1)mx－my＋nx－ny；

(2)2a＋4b－3ma－6mb.

【答案】（1）（x－y）（m＋n）；（2）（a＋2b）（2-3m）

【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；

(2)分组后提取公因式即可得到结果．

【详解】解：(1)解法一：

原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)

解法二：

原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)

(2)解法一：

原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)

解法二：

原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)

【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．

13．先阅读下面的材料，再分解因式．

要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得

．

这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有

．

这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．

请用上面材料中提供的方法因式分解：

（请你完成分解因式下面的过程）

______

；

．

【答案】(1)；(2) （m+x）（m-n）；(3) （y-2）（x2y-4）．

【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．

【详解】解：（1）ab-ac+bc-b2

=a（b-c）-b（b-c）

=（a-b）（b-c）；

故答案为（a-b）（b-c）．

（2）m2-mn+mx-nx

=m（m-n）+x（m-n）

=（m+x）（m-n）；

（3）x2y2-2x2y-4y+8

=x2y（y-2）-4（y-2）

=（y-2）（x2y-4）．

【点睛】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．