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七年级数学下册考点精练专题21 完全平方公式与几何图形
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这是一份七年级数学下册考点精练专题21 完全平方公式与几何图形，共38页。
专题21 完全平方公式与几何图形
【例题讲解】
如图是个直角三角形和个小正方形，直角三角形的三条边长分别是、、其中、是直角边．正方形的边长分别是、．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：___________；方法二：___________；
(2)观察图，试写出、、、这四个代数式之间的等量关系；
(3)请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是，图②的大正方形面积是，求的值．
(4)利用你发现的结论，求的值．
【详解】（1）解：方法一：4个完全一样的直角三角形的面积是，2个小正方形面积是，∴围成大正方形的面积是：；
方法二：围成大正方形的边长是，∴大正方形的面积是：，
故答案为：，．
（2）解：根据（1）中两种方法都是计算的大正方形的面积，且相等，
∴，故答案为：．
（3）解：由题意得，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（4）解：
，故答案为：．
【综合解答】
1．（1）在下列横线上用含有的代数式表示相应图形的面积．___________
（2）请在图画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：___________．
（3）利用（2）的结论计算的值．
2．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_________．
(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
3．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
(1)由图1可得等式：_________．
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为___________．
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c=5，ab+bc+ac=2，求a2+b2+c2的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若m+n=12，mn=24，则图3中阴影部分的面积为 ．
4．若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)若x满足，求代数式的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
5．【阅读理解】
“若x满足，求的值”．
解：设，
则，
．
【解决问题】
(1)若，求的值；
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
(1)由图2，可得等式________________________________；
(2)利用(1)所得等式，解决问题：已知a+b+c=16，ab+bc+ac=68，求a2+b2+c2的值．
(3)如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一直线上，连接AE和GE，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b=8，ab=6．请求出阴影部分的面积．
7．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：_____；
(2)解决问题：如果a+b=5，ab=3；求a2+b2的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
8．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
(2)观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、4mn之间的等量关系式．
(3)请运用（2）中的关系式计算：若x+y=﹣4，xy= 3.75，求x﹣y的值．
9．图1是由边长分别为a、b的两个正方形拼成的图形（），其面积为；图2是长、宽分别为a、b的长方形，其面积为．
(1)图3是由图1中的图形补成的大正方形，其中的阴影部分为后补部分．
①则后补部分的面积为______；（用含有字a、b的代数式表示）
②若此时这个大正方形的面积为，则，，的数量关系是______；
(2)将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形内部左上角，并把小正方形的两边延长与大正方形相交，得图4．
①则图4中阴影部分的面积为______；（用含有字母a、b的代数式表示）
②若图4和（1）中图3的阴影部分面积分别为6和16，试求边长分别为a、b的两个正方形的面积之和．
10．阅读下列材料：若满足，求的值．
设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形．
①______，______；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
11．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
由图，可得出三个代数式：，，之间的等量关系；
(1)根据上述方法，要拼出一个面积为的矩形，需要卡片张，卡片张，卡片_____张．
(2)根据得出的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值：
②已知，求的值．
12．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号卡片，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片，这些卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙），根据已有的学习经验，解决下列问题：
【发现】图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的大正方形，那么图中阴影部分的边长为_________________．
【探究】用两种不同的方法，求图1中阴影部分面积：
方法1：_________；
方法2：________；
你能得到的等式是______________．
【应用】计算．
【解决问题】
若Ⅲ号长方形卡片的两边长分别为和，且满足，求的值．
13．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
14．许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达．如图①，根据图中面积关系可以得到：（2m＋n）（m＋n）＝2m2＋3mn＋n2．
(1)如图②，根据图中面积关系，写出一个关于m、n的等式 ；
(2)若，，求a＋b的值．
15．若x满足，求的值．
解：设，则，
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若 x 满足(x+2) (x-7)＝6，求(x+2)2+(x－7)2的值．
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积．
16．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为α的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）：方法1： ；方法2： ；
(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
(3)如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝16，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
17．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，；所以，；所以，；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)请直接写出下列问题答案：
①若，，则______；
②若，则______．
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
18．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：________；
方法2：________；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：_______；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
专题21 完全平方公式与几何图形
【例题讲解】
如图是个直角三角形和个小正方形，直角三角形的三条边长分别是、、其中、是直角边．正方形的边长分别是、．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：___________；方法二：___________；
(2)观察图，试写出、、、这四个代数式之间的等量关系；
(3)请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是，图②的大正方形面积是，求的值．
(4)利用你发现的结论，求的值．
【详解】（1）解：方法一：4个完全一样的直角三角形的面积是，2个小正方形面积是，∴围成大正方形的面积是：；
方法二：围成大正方形的边长是，∴大正方形的面积是：，
故答案为：，．
（2）解：根据（1）中两种方法都是计算的大正方形的面积，且相等，
∴，故答案为：．
（3）解：由题意得，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（4）解：
，故答案为：．
【综合解答】
1．（1）在下列横线上用含有的代数式表示相应图形的面积．___________
（2）请在图画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：___________．
（3）利用（2）的结论计算的值．
【答案】（1）①，②，③，④；（2）；（3）400
【分析】（1）根据正方形、长方形面积公式即可解答；
（2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积；
（3）借助于（2）中的结论解答即可．
【详解】解：（1）①，②，③，④；
（2）画出的拼图为：
，
观察图形可知，；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式及其应用，难易程度适中，解题的关键是掌握几种特殊几何图形的面积表达式．
2．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_________．
(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)13
【分析】（1）根据大正方形面积=两个边长分别为a、b的小正方形面积+2个长方形面积进行求解即可；
（2）根据空白部分的面积=大正方形面积-4个长方形面积进行求解即可；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙的阴影部分面积求出，，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（4）解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得：，，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
3．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
(1)由图1可得等式：_________．
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为___________．
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c=5，ab+bc+ac=2，求a2+b2+c2的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若m+n=12，mn=24，则图3中阴影部分的面积为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)21
(4)36
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形的面积即可；
（2）用两种方法表示同一个图形的面积即可；
（3）找到三个代数式的关系，再求值；
（4）先表示阴影部分面积，再求值．
【详解】（1）解：图1正方形面积可以表示为：
又可表示为：
∴
故答案为：；
（2）解：图2中正方形面积可以表示为：
又可表示为：
∴
故答案为：；
（3）解：由（2）知：
；
（4）解：
故答案为：36．
【点睛】本题考查用面积表示代数恒等式，完全平方公式，用两种不同的方法表示同一图形面积是解本题关键．
4．若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)若x满足，求代数式的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)13
(3)28
【分析】（1）设（5－x）＝a，（x－2）＝b，再利用进行运算即可；
（2）设（6－x）＝a，（3－x）＝b，再利用进行运算即可；
（3）正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，可得MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，则（x－3）•（x－5）＝48，（x－3）－（x－5）＝2，由阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．从而可得答案．
（1）
解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b，
则（5－x）（x－2）＝ab＝2，
a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，
∴（5－x）2＋（x－2）2
＝（a＋b）2－2ab
＝32－2×2
＝5；
（2）
设（6－x）＝a，（3－x）＝b，
（6－x）（3－x）＝ab＝1，
a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，
∵（a＋b）2
＝（a－b）2＋4ab
＝13，
∴（a＋b）2＝13，
∵（6－x）＋（3－x）＝a＋b，
∴9－2x＝a＋b，
∴（9－2x）2＝（a＋b）2＝13．
（3）
∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，
∴（x－3）•（x－5）＝48，
∴（x－3）－（x－5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．
设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，
a－b＝（x－3）－（x－5）＝2，
∴
∴a＋b＝14，（负根舍去）
∴（x－3）2－（x－5）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与几何图形的面积之间的关系，利用平方根的含义解方程，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键．
5．【阅读理解】
“若x满足，求的值”．
解：设，
则，
．
【解决问题】
(1)若，求的值；
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)5
(2)4
【分析】（1）参照题干，设，，；
（2）设，，则，然后代入即可得出答案．
（1）
解：设，，
则，
，
．
（2）
解：设，，则，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即阴影部分的面积为4．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形，套用题目中解决问题的方法，是解题的关键．
6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
(1)由图2，可得等式________________________________；
(2)利用(1)所得等式，解决问题：已知a+b+c=16，ab+bc+ac=68，求a2+b2+c2的值．
(3)如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一直线上，连接AE和GE，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b=8，ab=6．请求出阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)阴影部分面积为23
【分析】（1）根据图形可知正方形的边长为，然后问题可求解；
（2）根据（1）中的结论可把条件代入求解即可；
（3）根据题意阴影部分的面积=两个正方形的面积-两个直角三角形的面积，进而问题可求解．
（1）
解：由图可得：
；
（2）
解：由（1）可知：，
∵a+b+c=16，ab+bc+ac=68，
∴，
∴；
（3）
解：由图可知：，
∵a+b=8，ab=6，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查完全平方公式与几何图形面积关系，解题的关键是由几何图形得到恒等式．
7．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：_____；
(2)解决问题：如果a+b=5，ab=3；求a2+b2的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
【答案】(1)（a+b）2=a2+b2+2ab
(2)19
(3)长方形的面积为8
【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
（1）
解：大图形的面积为（a+b）2；
小图形面积和为a2+2ab+b2．
∴写出一个我们熟悉的数学公式为：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）
解：∵a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；
（3）
解：设8-x=a，x-2=b，
∴a+b=8-x+x-2=6，a2+b2=（8﹣x）2+（x﹣2）2=20，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，即62=20+2ab，
∴ab=8，
∴这个长方形的面积=（8-x）（x-2）=ab=8．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
(2)观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、4mn之间的等量关系式．
(3)请运用（2）中的关系式计算：若x+y=﹣4，xy= 3.75，求x﹣y的值．
【答案】(1)（m-n）2；（m+n）2-4mn；
(2)（m-n）2=（m+n）2-4mn；
(3)x-y=±1．
【分析】（1）从整体、部分两个方面分别表示阴影部分的面积即可；
（2）由（1）可直接得出答案；
（3）利用（2）中的结论，代入计算即可．
（1）
解：方法一：图②中，阴影部分是边长为m-n的正方形，因此面积为（m-n）2；
方法二：阴影部分可以看作大正方形的面积减去4个长m、宽为n的长方形的面积，即（m+n）2-4mn；
；
（2）
解：由（1）得，（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（3）
解：由（2）可知（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=-4，xy=3.75，
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=16-15=1，
∴x-y=±1．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式的变形是正确解答的关键．
9．图1是由边长分别为a、b的两个正方形拼成的图形（），其面积为；图2是长、宽分别为a、b的长方形，其面积为．
(1)图3是由图1中的图形补成的大正方形，其中的阴影部分为后补部分．
①则后补部分的面积为______；（用含有字a、b的代数式表示）
②若此时这个大正方形的面积为，则，，的数量关系是______；
(2)将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形内部左上角，并把小正方形的两边延长与大正方形相交，得图4．
①则图4中阴影部分的面积为______；（用含有字母a、b的代数式表示）
②若图4和（1）中图3的阴影部分面积分别为6和16，试求边长分别为a、b的两个正方形的面积之和．
【答案】(1)①2ab；②S3=S1+2S2
(2)①a2+b2-2ab；②11．
【分析】（1）①用图3的面积减去图1的面积，代入计算即可得结果；
②由（a+b）2=a2+b2+2ab，即可得出S3=S1+2S2；
（2）①图4中阴影部分为边长为（a-b）的正方形，代入正方形面积公式进行计算，即可得出答案；
②由题意得：（a-b）2=a2+b2-2ab=6①，（a+b）2=a2+b2+2ab=16②，两式相加得出2a2+2b2=22，进而得出答案．
（1）
解：①（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2
=2ab，
故答案为：2ab；
②∵（a+b）2
=a2+b2+2ab，
∴S3=S1+2S2，
故答案为：S3=S1+2S2；
（2）
①∵图4中阴影部分为边长为（a-b）的正方形，
∴图4中阴影部分的面积为（a-b）2=a2+b2-2ab，
故答案为：a2+b2-2ab；
②由题意得：（a-b）2=a2+b2-2ab=6①，（a+b）2=a2+b2+2ab=16②，
∴①+②得：2a2+2b2=22，
∴a2+b2=11，
∴边长分别为a、b的两个正方形的面积之和为11．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，列代数式，数形结合是解题的关键．
10．阅读下列材料：若满足，求的值．
设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形．
①______，______；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)①x-1；x-3；②24
【分析】（1）设5-x=a，x-2=b，则5-x+x-2=a+b=3，根据代入计算即可得出答案．
（2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
（1）
解∶ 设，，则
，，
∴
（2）
解：①由题意得，MF=DE=AD-AE=x-1，DF=CD-CF=x-3．
故答案为：x-1；x-3．
②设x-1=a，x-3=b，
∴（x-1）-（x-3）=a-b=2，
∵长方形的面积是35，
∴（x-1）（x-3）=ab=35，
∴，
∴a+b=12，
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、平方差公式，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解答本题的关键．
11．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
由图，可得出三个代数式：，，之间的等量关系；
(1)根据上述方法，要拼出一个面积为的矩形，需要卡片张，卡片张，卡片_____张．
(2)根据得出的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值：
②已知，求的值．
【答案】(1)3；
(2)①；②
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则，可得（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2；
（2）①由a＋b＝6可得出（a＋b）2＝36，将其和a2＋b2＝14代入（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2中即可求出ab的值；
②设x−2021＝a，则x−2020＝a＋1，x−2022＝a−1，再根据完全平方公式求解即可．
（1）
解：∵（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，
∴要拼出一个面积为（a＋2b）（a＋b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．
故答案为：3．
（2）
①∵，
又∵，
∴，
∴；
②设x−2021＝a，则x−2020＝a＋1，x−2022＝a−1，则，
∴，
解得：，
即．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：利用长方形、正方形的面积公式，找出结论．
12．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号卡片，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片，这些卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙），根据已有的学习经验，解决下列问题：
【发现】图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的大正方形，那么图中阴影部分的边长为_________________．
【探究】用两种不同的方法，求图1中阴影部分面积：
方法1：_________；
方法2：________；
你能得到的等式是______________．
【应用】计算．
【解决问题】
若Ⅲ号长方形卡片的两边长分别为和，且满足，求的值．
【答案】【发现】a＋b；【探究】（a＋b）2； a2＋2ab＋b2；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．【应用】25；【解决问题】73
【分析】根据图形可知阴影部分的边长是a＋b；
方法1，从整体求出边长为（a+b）的正方形的面积，方法2，整体的面积等于各个部分面积和，即可得出答案；
把原式写成完全平方公式的性质，再利用完全平方公式进行计算即可；
设a＝16−m，b＝m−7，根据，即可得出2ab＝8，再根据完全平方公式即可得出答案．
【详解】解：【发现】根据题意，阴影部分的边长为a＋b．
【探究】方法1：（a＋b）2；
方法2：a2＋2ab＋b2；
得到的等式是：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
【应用】4.322＋8.64×0.68＋0.682
＝4.322＋2×4.32×0.68＋0.682
＝（4.32＋0.68）2
＝52
＝25
【解决问题】可设a＝16−m，b＝m−7，
∵，
∴2ab＝8，
∵（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
∴a2＋b2＝（a＋b）2−2ab
即（16−m）2＋（m−7）2
＝[（16−m）＋（m−7）]2−2（16−m）（m−7）
＝（16−m＋m−7）2−8
＝92−8
＝81-8
＝73
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式，关键是灵活运用完全平方公式进行变形计算．
13．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
【答案】(1)2，5，21
(2)120
(3)﹣1009
(4)44
【分析】（1）根据题干步骤进行求解即可；
（2）由（1）的步骤进行求解即可；
（3）根据题干的步骤反向求解即可；
（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；
（1）
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．
（2）
设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．
（3）
设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，
则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．
（4）
∵
∴
∵，
∴
阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，将完全平方公式进行变换求解是解题的关键．
14．许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达．如图①，根据图中面积关系可以得到：（2m＋n）（m＋n）＝2m2＋3mn＋n2．
(1)如图②，根据图中面积关系，写出一个关于m、n的等式 ；
(2)若，，求a＋b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和，可得等式．
（2）由（1）中等式，可得，将，代入，进而可得答案．
（1）
解：由图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和，
可得等式为．
故答案为：．
（2）
解：，，
，
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、数形结合思想，熟练掌握完全平方公式并正确列方程组是解答本题的关键．
15．若x满足，求的值．
解：设，则，
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若 x 满足(x+2) (x-7)＝6，求(x+2)2+(x－7)2的值．
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)93
(2)阴影部分的面积24
【分析】（1）设，，从而可得，，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；
（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．
【详解】（1）解：设，，则，，
∴
（2）由题意得：，，
则，
∵阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
∴阴影部分的面积为：，
设，，
则，，
∴，
∴或（不符题意，舍去），
∴
故阴影部分的面积为24．
【点睛】本题考查了乘法公式与图形面积，完全平方公式的变形应用，熟练掌握并灵活运用乘法公式是解题关键．
16．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为α的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）：方法1： ；方法2： ；
(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
(3)如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝16，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)所需种纸片张，B种卡片3张，种纸片7张
(3)5
【分析】（1）根据大正方形的面积公式和大正方形由1个A、1个B、2个C拼接而成，即可得到答案；
（2）将化简后即可判断出所需各种纸片的张数；
（3）设，则，根据可得到，然后利用（1）中的式子即可求出，阴影部分的面积为，从而得到阴影部分的面积．
（1）解：方法1：由题意得大正方形的边长为，则其面积为 ；方法2：∵大正方形由1个A、1个B、2个C拼接而成，∴大正方形面积，故答案为：；；
（2）解：∵所需种纸片张，B种卡片3张，种纸片7张；
（3）设，则，，∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何应用问题，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
17．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，；所以，；所以，；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)请直接写出下列问题答案：
①若，，则______；
②若，则______．
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)①；②15
(2)5
【分析】（1）①将利用完全平方公式转化为，再整体代入求出，最后求出的值即可；
②根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可；
（２）设，，然后利用正方形面积公式及完全平方公式进行计算求解即可．
（1）
解：①=，
∵，，
∴，
即，
∴±1，
故答案为：±1；
②
∵，
∴9+2×3=15；
故答案为：15；
（2）
设，，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式，，，ab之间的关系，是解题的关键．
18．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：________；
方法2：________；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：_______；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)（a+b）2；a2+2ab+b2
(2)（a+b）2＝a2+b2+2ab
(3)①ab＝2；②-3
【分析】（1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出；
（2）由图二可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，从而得到（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）①（a+b）2＝a2+b2+2ab可得，先求出的值，再求出的值即可；
②令，从而得到,由可得，利用（2）中的公式求出的值即可．
(1)
方法1：大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2．
方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，
∴S＝a2+2ab+b2．
故答案为：a2+2ab+b2．
(2)
由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
故答案为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
(3)
①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
a2+b2＝21，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4，
∴ab＝2；
②令，
∴，
由可得，
2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝－6，
∴＝xy＝-3.
【点睛】本题主要考查完全平方式的几何背景和转化，熟练运用转化公式是解题关键．
专题21 完全平方公式与几何图形
【例题讲解】
如图是个直角三角形和个小正方形，直角三角形的三条边长分别是、、其中、是直角边．正方形的边长分别是、．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：___________；方法二：___________；
(2)观察图，试写出、、、这四个代数式之间的等量关系；
(3)请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是，图②的大正方形面积是，求的值．
(4)利用你发现的结论，求的值．
【详解】（1）解：方法一：4个完全一样的直角三角形的面积是，2个小正方形面积是，∴围成大正方形的面积是：；
方法二：围成大正方形的边长是，∴大正方形的面积是：，
故答案为：，．
（2）解：根据（1）中两种方法都是计算的大正方形的面积，且相等，
∴，故答案为：．
（3）解：由题意得，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（4）解：
，故答案为：．
【综合解答】
1．（1）在下列横线上用含有的代数式表示相应图形的面积．___________
（2）请在图画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：___________．
（3）利用（2）的结论计算的值．
2．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_________．
(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
3．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
(1)由图1可得等式：_________．
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为___________．
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c=5，ab+bc+ac=2，求a2+b2+c2的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若m+n=12，mn=24，则图3中阴影部分的面积为 ．
4．若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)若x满足，求代数式的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
5．【阅读理解】
“若x满足，求的值”．
解：设，
则，
．
【解决问题】
(1)若，求的值；
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
(1)由图2，可得等式________________________________；
(2)利用(1)所得等式，解决问题：已知a+b+c=16，ab+bc+ac=68，求a2+b2+c2的值．
(3)如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一直线上，连接AE和GE，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b=8，ab=6．请求出阴影部分的面积．
7．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：_____；
(2)解决问题：如果a+b=5，ab=3；求a2+b2的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
8．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
(2)观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、4mn之间的等量关系式．
(3)请运用（2）中的关系式计算：若x+y=﹣4，xy= 3.75，求x﹣y的值．
9．图1是由边长分别为a、b的两个正方形拼成的图形（），其面积为；图2是长、宽分别为a、b的长方形，其面积为．
(1)图3是由图1中的图形补成的大正方形，其中的阴影部分为后补部分．
①则后补部分的面积为______；（用含有字a、b的代数式表示）
②若此时这个大正方形的面积为，则，，的数量关系是______；
(2)将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形内部左上角，并把小正方形的两边延长与大正方形相交，得图4．
①则图4中阴影部分的面积为______；（用含有字母a、b的代数式表示）
②若图4和（1）中图3的阴影部分面积分别为6和16，试求边长分别为a、b的两个正方形的面积之和．
10．阅读下列材料：若满足，求的值．
设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形．
①______，______；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
11．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
由图，可得出三个代数式：，，之间的等量关系；
(1)根据上述方法，要拼出一个面积为的矩形，需要卡片张，卡片张，卡片_____张．
(2)根据得出的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值：
②已知，求的值．
12．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号卡片，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片，这些卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙），根据已有的学习经验，解决下列问题：
【发现】图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的大正方形，那么图中阴影部分的边长为_________________．
【探究】用两种不同的方法，求图1中阴影部分面积：
方法1：_________；
方法2：________；
你能得到的等式是______________．
【应用】计算．
【解决问题】
若Ⅲ号长方形卡片的两边长分别为和，且满足，求的值．
13．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
14．许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达．如图①，根据图中面积关系可以得到：（2m＋n）（m＋n）＝2m2＋3mn＋n2．
(1)如图②，根据图中面积关系，写出一个关于m、n的等式 ；
(2)若，，求a＋b的值．
15．若x满足，求的值．
解：设，则，
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若 x 满足(x+2) (x-7)＝6，求(x+2)2+(x－7)2的值．
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积．
16．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为α的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）：方法1： ；方法2： ；
(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
(3)如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝16，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
17．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，；所以，；所以，；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)请直接写出下列问题答案：
①若，，则______；
②若，则______．
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
18．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：________；
方法2：________；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：_______；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
专题21 完全平方公式与几何图形
【例题讲解】
如图是个直角三角形和个小正方形，直角三角形的三条边长分别是、、其中、是直角边．正方形的边长分别是、．
(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：___________；方法二：___________；
(2)观察图，试写出、、、这四个代数式之间的等量关系；
(3)请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是，图②的大正方形面积是，求的值．
(4)利用你发现的结论，求的值．
【详解】（1）解：方法一：4个完全一样的直角三角形的面积是，2个小正方形面积是，∴围成大正方形的面积是：；
方法二：围成大正方形的边长是，∴大正方形的面积是：，
故答案为：，．
（2）解：根据（1）中两种方法都是计算的大正方形的面积，且相等，
∴，故答案为：．
（3）解：由题意得，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（4）解：
，故答案为：．
【综合解答】
1．（1）在下列横线上用含有的代数式表示相应图形的面积．___________
（2）请在图画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：___________．
（3）利用（2）的结论计算的值．
【答案】（1）①，②，③，④；（2）；（3）400
【分析】（1）根据正方形、长方形面积公式即可解答；
（2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积；
（3）借助于（2）中的结论解答即可．
【详解】解：（1）①，②，③，④；
（2）画出的拼图为：
，
观察图形可知，；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式及其应用，难易程度适中，解题的关键是掌握几种特殊几何图形的面积表达式．
2．【知识生成】通过第九章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_________．
(2)如图2，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是________．
(3)【知识应用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【灵活应用】图3中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A，B的面积之和_______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)13
【分析】（1）根据大正方形面积=两个边长分别为a、b的小正方形面积+2个长方形面积进行求解即可；
（2）根据空白部分的面积=大正方形面积-4个长方形面积进行求解即可；
（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图甲和图乙的阴影部分面积求出，，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（4）解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得：，，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
3．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
(1)由图1可得等式：_________．
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为___________．
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c=5，ab+bc+ac=2，求a2+b2+c2的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若m+n=12，mn=24，则图3中阴影部分的面积为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)21
(4)36
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形的面积即可；
（2）用两种方法表示同一个图形的面积即可；
（3）找到三个代数式的关系，再求值；
（4）先表示阴影部分面积，再求值．
【详解】（1）解：图1正方形面积可以表示为：
又可表示为：
∴
故答案为：；
（2）解：图2中正方形面积可以表示为：
又可表示为：
∴
故答案为：；
（3）解：由（2）知：
；
（4）解：
故答案为：36．
【点睛】本题考查用面积表示代数恒等式，完全平方公式，用两种不同的方法表示同一图形面积是解本题关键．
4．若x满足，求的值．
解：设，则
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)若x满足，求代数式的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)13
(3)28
【分析】（1）设（5－x）＝a，（x－2）＝b，再利用进行运算即可；
（2）设（6－x）＝a，（3－x）＝b，再利用进行运算即可；
（3）正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，可得MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，则（x－3）•（x－5）＝48，（x－3）－（x－5）＝2，由阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．从而可得答案．
（1）
解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b，
则（5－x）（x－2）＝ab＝2，
a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，
∴（5－x）2＋（x－2）2
＝（a＋b）2－2ab
＝32－2×2
＝5；
（2）
设（6－x）＝a，（3－x）＝b，
（6－x）（3－x）＝ab＝1，
a－b＝（6－x）－（3－x）＝3，
∵（a＋b）2
＝（a－b）2＋4ab
＝13，
∴（a＋b）2＝13，
∵（6－x）＋（3－x）＝a＋b，
∴9－2x＝a＋b，
∴（9－2x）2＝（a＋b）2＝13．
（3）
∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，
∴MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，
∴（x－3）•（x－5）＝48，
∴（x－3）－（x－5）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．
设（x－3）＝a，（x－5）＝b，则（x－3）（x－5）＝ab＝48，
a－b＝（x－3）－（x－5）＝2，
∴
∴a＋b＝14，（负根舍去）
∴（x－3）2－（x－5）2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与几何图形的面积之间的关系，利用平方根的含义解方程，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键．
5．【阅读理解】
“若x满足，求的值”．
解：设，
则，
．
【解决问题】
(1)若，求的值；
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边在AB的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)5
(2)4
【分析】（1）参照题干，设，，；
（2）设，，则，然后代入即可得出答案．
（1）
解：设，，
则，
，
．
（2）
解：设，，则，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即阴影部分的面积为4．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形，套用题目中解决问题的方法，是解题的关键．
6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
(1)由图2，可得等式________________________________；
(2)利用(1)所得等式，解决问题：已知a+b+c=16，ab+bc+ac=68，求a2+b2+c2的值．
(3)如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，E三点在同一直线上，连接AE和GE，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b=8，ab=6．请求出阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)阴影部分面积为23
【分析】（1）根据图形可知正方形的边长为，然后问题可求解；
（2）根据（1）中的结论可把条件代入求解即可；
（3）根据题意阴影部分的面积=两个正方形的面积-两个直角三角形的面积，进而问题可求解．
（1）
解：由图可得：
；
（2）
解：由（1）可知：，
∵a+b+c=16，ab+bc+ac=68，
∴，
∴；
（3）
解：由图可知：，
∵a+b=8，ab=6，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查完全平方公式与几何图形面积关系，解题的关键是由几何图形得到恒等式．
7．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：_____；
(2)解决问题：如果a+b=5，ab=3；求a2+b2的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
【答案】(1)（a+b）2=a2+b2+2ab
(2)19
(3)长方形的面积为8
【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；
（2）根据完全平方公式变形即可求解；
（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．
（1）
解：大图形的面积为（a+b）2；
小图形面积和为a2+2ab+b2．
∴写出一个我们熟悉的数学公式为：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）
解：∵a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；
（3）
解：设8-x=a，x-2=b，
∴a+b=8-x+x-2=6，a2+b2=（8﹣x）2+（x﹣2）2=20，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，即62=20+2ab，
∴ab=8，
∴这个长方形的面积=（8-x）（x-2）=ab=8．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
(2)观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、4mn之间的等量关系式．
(3)请运用（2）中的关系式计算：若x+y=﹣4，xy= 3.75，求x﹣y的值．
【答案】(1)（m-n）2；（m+n）2-4mn；
(2)（m-n）2=（m+n）2-4mn；
(3)x-y=±1．
【分析】（1）从整体、部分两个方面分别表示阴影部分的面积即可；
（2）由（1）可直接得出答案；
（3）利用（2）中的结论，代入计算即可．
（1）
解：方法一：图②中，阴影部分是边长为m-n的正方形，因此面积为（m-n）2；
方法二：阴影部分可以看作大正方形的面积减去4个长m、宽为n的长方形的面积，即（m+n）2-4mn；
；
（2）
解：由（1）得，（m-n）2=（m+n）2-4mn；
（3）
解：由（2）可知（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=-4，xy=3.75，
∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=16-15=1，
∴x-y=±1．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式的变形是正确解答的关键．
9．图1是由边长分别为a、b的两个正方形拼成的图形（），其面积为；图2是长、宽分别为a、b的长方形，其面积为．
(1)图3是由图1中的图形补成的大正方形，其中的阴影部分为后补部分．
①则后补部分的面积为______；（用含有字a、b的代数式表示）
②若此时这个大正方形的面积为，则，，的数量关系是______；
(2)将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形内部左上角，并把小正方形的两边延长与大正方形相交，得图4．
①则图4中阴影部分的面积为______；（用含有字母a、b的代数式表示）
②若图4和（1）中图3的阴影部分面积分别为6和16，试求边长分别为a、b的两个正方形的面积之和．
【答案】(1)①2ab；②S3=S1+2S2
(2)①a2+b2-2ab；②11．
【分析】（1）①用图3的面积减去图1的面积，代入计算即可得结果；
②由（a+b）2=a2+b2+2ab，即可得出S3=S1+2S2；
（2）①图4中阴影部分为边长为（a-b）的正方形，代入正方形面积公式进行计算，即可得出答案；
②由题意得：（a-b）2=a2+b2-2ab=6①，（a+b）2=a2+b2+2ab=16②，两式相加得出2a2+2b2=22，进而得出答案．
（1）
解：①（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2
=2ab，
故答案为：2ab；
②∵（a+b）2
=a2+b2+2ab，
∴S3=S1+2S2，
故答案为：S3=S1+2S2；
（2）
①∵图4中阴影部分为边长为（a-b）的正方形，
∴图4中阴影部分的面积为（a-b）2=a2+b2-2ab，
故答案为：a2+b2-2ab；
②由题意得：（a-b）2=a2+b2-2ab=6①，（a+b）2=a2+b2+2ab=16②，
∴①+②得：2a2+2b2=22，
∴a2+b2=11，
∴边长分别为a、b的两个正方形的面积之和为11．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，列代数式，数形结合是解题的关键．
10．阅读下列材料：若满足，求的值．
设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若满足，求的值；
(2)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是35，分别以、为边作正方形．
①______，______；（用含的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)5
(2)①x-1；x-3；②24
【分析】（1）设5-x=a，x-2=b，则5-x+x-2=a+b=3，根据代入计算即可得出答案．
（2）①根据正方形ABCD的边长为x，即可表示出MF与DF；②根据矩形的面积公式、正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
（1）
解∶ 设，，则
，，
∴
（2）
解：①由题意得，MF=DE=AD-AE=x-1，DF=CD-CF=x-3．
故答案为：x-1；x-3．
②设x-1=a，x-3=b，
∴（x-1）-（x-3）=a-b=2，
∵长方形的面积是35，
∴（x-1）（x-3）=ab=35，
∴，
∴a+b=12，
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、平方差公式，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解答本题的关键．
11．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
由图，可得出三个代数式：，，之间的等量关系；
(1)根据上述方法，要拼出一个面积为的矩形，需要卡片张，卡片张，卡片_____张．
(2)根据得出的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值：
②已知，求的值．
【答案】(1)3；
(2)①；②
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则，可得（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2；
（2）①由a＋b＝6可得出（a＋b）2＝36，将其和a2＋b2＝14代入（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2中即可求出ab的值；
②设x−2021＝a，则x−2020＝a＋1，x−2022＝a−1，再根据完全平方公式求解即可．
（1）
解：∵（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，
∴要拼出一个面积为（a＋2b）（a＋b）的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张．
故答案为：3．
（2）
①∵，
又∵，
∴，
∴；
②设x−2021＝a，则x−2020＝a＋1，x−2022＝a−1，则，
∴，
解得：，
即．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，解题的关键是：利用长方形、正方形的面积公式，找出结论．
12．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号卡片，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片，这些卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙），根据已有的学习经验，解决下列问题：
【发现】图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的大正方形，那么图中阴影部分的边长为_________________．
【探究】用两种不同的方法，求图1中阴影部分面积：
方法1：_________；
方法2：________；
你能得到的等式是______________．
【应用】计算．
【解决问题】
若Ⅲ号长方形卡片的两边长分别为和，且满足，求的值．
【答案】【发现】a＋b；【探究】（a＋b）2； a2＋2ab＋b2；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．【应用】25；【解决问题】73
【分析】根据图形可知阴影部分的边长是a＋b；
方法1，从整体求出边长为（a+b）的正方形的面积，方法2，整体的面积等于各个部分面积和，即可得出答案；
把原式写成完全平方公式的性质，再利用完全平方公式进行计算即可；
设a＝16−m，b＝m−7，根据，即可得出2ab＝8，再根据完全平方公式即可得出答案．
【详解】解：【发现】根据题意，阴影部分的边长为a＋b．
【探究】方法1：（a＋b）2；
方法2：a2＋2ab＋b2；
得到的等式是：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
【应用】4.322＋8.64×0.68＋0.682
＝4.322＋2×4.32×0.68＋0.682
＝（4.32＋0.68）2
＝52
＝25
【解决问题】可设a＝16−m，b＝m−7，
∵，
∴2ab＝8，
∵（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
∴a2＋b2＝（a＋b）2−2ab
即（16−m）2＋（m−7）2
＝[（16−m）＋（m−7）]2−2（16−m）（m−7）
＝（16−m＋m−7）2−8
＝92−8
＝81-8
＝73
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式，关键是灵活运用完全平方公式进行变形计算．
13．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝ ，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝ ．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ．
(1)请补全小明的解法；
(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 ．
类比研究
(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．
拓伸延伸
(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 （结果必须是一个具体数值）．
【答案】(1)2，5，21
(2)120
(3)﹣1009
(4)44
【分析】（1）根据题干步骤进行求解即可；
（2）由（1）的步骤进行求解即可；
（3）根据题干的步骤反向求解即可；
（4）先表示出相应的量，再按照题干方法步骤求解即可；
（1）
解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，
则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．
（2）
设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，
则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝-10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．
所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．
（3）
设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，
则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．
因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．
所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(22-2022)÷2=-1009．
（4）
∵
∴
∵，
∴
阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，将完全平方公式进行变换求解是解题的关键．
14．许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达．如图①，根据图中面积关系可以得到：（2m＋n）（m＋n）＝2m2＋3mn＋n2．
(1)如图②，根据图中面积关系，写出一个关于m、n的等式 ；
(2)若，，求a＋b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和，可得等式．
（2）由（1）中等式，可得，将，代入，进而可得答案．
（1）
解：由图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和，
可得等式为．
故答案为：．
（2）
解：，，
，
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、数形结合思想，熟练掌握完全平方公式并正确列方程组是解答本题的关键．
15．若x满足，求的值．
解：设，则，
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若 x 满足(x+2) (x-7)＝6，求(x+2)2+(x－7)2的值．
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)93
(2)阴影部分的面积24
【分析】（1）设，，从而可得，，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；
（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．
【详解】（1）解：设，，则，，
∴
（2）由题意得：，，
则，
∵阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
∴阴影部分的面积为：，
设，，
则，，
∴，
∴或（不符题意，舍去），
∴
故阴影部分的面积为24．
【点睛】本题考查了乘法公式与图形面积，完全平方公式的变形应用，熟练掌握并灵活运用乘法公式是解题关键．
16．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为α的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）：方法1： ；方法2： ；
(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
(3)如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝16，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)；
(2)所需种纸片张，B种卡片3张，种纸片7张
(3)5
【分析】（1）根据大正方形的面积公式和大正方形由1个A、1个B、2个C拼接而成，即可得到答案；
（2）将化简后即可判断出所需各种纸片的张数；
（3）设，则，根据可得到，然后利用（1）中的式子即可求出，阴影部分的面积为，从而得到阴影部分的面积．
（1）解：方法1：由题意得大正方形的边长为，则其面积为 ；方法2：∵大正方形由1个A、1个B、2个C拼接而成，∴大正方形面积，故答案为：；；
（2）解：∵所需种纸片张，B种卡片3张，种纸片7张；
（3）设，则，，∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何应用问题，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
17．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，；所以，；所以，；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)请直接写出下列问题答案：
①若，，则______；
②若，则______．
(2)如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)①；②15
(2)5
【分析】（1）①将利用完全平方公式转化为，再整体代入求出，最后求出的值即可；
②根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可；
（２）设，，然后利用正方形面积公式及完全平方公式进行计算求解即可．
（1）
解：①=，
∵，，
∴，
即，
∴±1，
故答案为：±1；
②
∵，
∴9+2×3=15；
故答案为：15；
（2）
设，，则，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式，，，ab之间的关系，是解题的关键．
18．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1：________；
方法2：________；
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系：_______；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)（a+b）2；a2+2ab+b2
(2)（a+b）2＝a2+b2+2ab
(3)①ab＝2；②-3
【分析】（1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出；
（2）由图二可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，从而得到（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
（3）①（a+b）2＝a2+b2+2ab可得，先求出的值，再求出的值即可；
②令，从而得到,由可得，利用（2）中的公式求出的值即可．
(1)
方法1：大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2．
方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，
∴S＝a2+2ab+b2．
故答案为：a2+2ab+b2．
(2)
由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
故答案为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
(3)
①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
a2+b2＝21，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4，
∴ab＝2；
②令，
∴，
由可得，
2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝－6，
∴＝xy＝-3.
【点睛】本题主要考查完全平方式的几何背景和转化，熟练运用转化公式是解题关键．
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