初中数学中考复习 专题01：平行线之侧M型-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）

专题01:平行线之侧M型

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°

2．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ）

A． B．

C． D．

3．如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（   ）

A．101° B．103° C．105° D．107°

4．如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（   ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°

C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[

二、填空题

5．如图，，平分，，，则__________．

6．如图，已知AB//CD，，，，则____度．

三、解答题

7．请你探究：如图（1），木杆与平行，木杆的两端、用一橡皮筋连接．

（1）在图（1）中，与有何关系？

（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则、、之间有何关系？

（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则、、之间有何关系？

（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则、、之间有何关系？

（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则、、之间有何关系？

（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）

8．如图，ABCD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．

在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：

（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　   　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；

（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；

（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQnF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

9．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．

（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠2＝　   　°．

（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；

（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．

10．如图，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将沿轴向右平移，平移后得到，点的对应点是点，已知点的坐标为，点的坐标为，且，，满足．

（1）求点的坐标；

（2）求证：；

（3）点是线段上一动点（不与点，重合），连接，，在点运动过程中，，，之间是否存在永远不变的数量关系？若存在，写出它们之间的数量关系，并请证明；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．

【详解】

如图，过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，

∵∠BCD＝70°，

∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，

∴∠α+∠β＝70°．

故选B．

【点评】

本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.

2．D

【解析】

【分析】

通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．

【详解】

解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,

∵CGAB,DHAB,

∴CGDHAB,
∵ABEF,
∴ABEFCGDH,

∵CGAB,
∴∠BCG=α,
∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,
∵CGDH,
∴∠CDH=∠GCD=β-α,
∵HDEF,
∴∠HDE=γ,
∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,
∴γ+β-α=90°,
∴β=α+90°-γ．
故选：D．

【点评】

本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．

3．B

【解析】

【分析】

如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．

【详解】

解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，
∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°，
∴∠2=∠AMO=103°．
故选：B．

【点评】

该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础．

4．C

【解析】

【分析】

过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．

【详解】

解：过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故选：C．

【点评】

本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．

5．

【解析】

【分析】

过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．

【详解】

解：过E点作EM∥AB，

∴∠B=∠BEM，

∵AB∥CD，

∴EM∥CD，

∴∠MED=∠D，

∴∠BED=∠B+∠D，

∵EF平分∠BED，

∴∠DEF=∠BED，

∵∠DEF+∠D=66°，

∴∠BED+∠D=66°，

∴∠BED+2∠D=132°，

即∠B+3∠D=132°，

∵∠B-∠D=28°，

∴∠B=54°，∠D=26°，

∴∠BED=80°．

故答案为：80°．

【点评】

本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．

6．90

【解析】

【分析】

【详解】

解：如图，过点E作EH∥AB，过点F作FG∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥FG∥CD，AB∥EH∥CD，

∴，，

，，

又∵，，

∴，，

∴，，

∴，

即：，

∴．

故答案为：90．

【点评】

本题考查了平行线的性质，平行公理，作辅助线构造内错角是解题的关键．

7．（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B

【解析】

【分析】

（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；

（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；

（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；

（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；

（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．

【详解】

（1）如图（1）∵与平行，∴∠B+∠C=180º；

（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），

∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，

∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，

即∠B+∠C=∠A；

（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，

∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，

∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，

即∠B+∠A+∠C=360º；

（4）如图（4），设BE与AC相交与D，

∵与平行，

∴∠C=∠ADE，

∵∠ADE=∠A+∠B，

∴∠A+∠B=∠C；

（5）如图（5），设CF与AB相交与D，

∵与平行，

∴∠B=∠ADF，

∵∠ADF=∠A+∠C，

∴∠A+∠C=∠B．

【点评】

本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．

8．（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由见解析；（3）∠EPF+（2n+1）•∠EQnF＝360°．

【解析】

【分析】

（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；

（2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QNAB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°；

（3）根据（1）中的解题方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果，从而得出结论．

【详解】

解：（1）过P作PMAB，过Q作QNAB，

∵ABCD，

∴ABCDPM，ABCDQN，

∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，

∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝；

猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：

∵ABCD，

∴ABCDPM，ABCDQN，

∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，

∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，

即∠EPF＝2∠EQF；

故答案为55°；

（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：

如图2，过P作PMAB，过Q作QNAB，

∵ABCD，

∴ABCDPM，ABCDQN，

∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，

∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，

∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，

∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，

∴2∠EQF+∠EPF＝360°；

（3）根据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），

∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β），

…

则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），

∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，

∴∠EPF+2n+1•∠EQnF＝360°．

【点评】

本题考查平行线的性质、角平分线的性质、角的规律等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

9．（1）50；（2）∠α＝∠1+∠2，证明见解析；（3）不成立．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解；

（2）由题意过P作PG∥AB，则PG∥AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；

（3）根据题意过P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，利用平行线的性质进行分析即可求解．

【详解】

解：（1）∵AB∥CD，∠α＝50°

∴∠2＝∠α＝50°，

故答案为：50；

（2）∠α＝∠1+∠2．

证明：过P作PG∥AB，

∵AB∥CD，

∴PG∥AB∥CD，

∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，

∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，

∴∠α＝∠1+∠2；

（3）不成立．

理由：过P作PH∥AB，

∵AB∥CD，

∴PH∥AB∥CD，

∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，

∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，

∴∠α＝∠2﹣∠1，

故不成立．

【点评】

本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键．

10．（1）(4，0)；（2）见解析；（3）存在，∠DPA=∠CDP+∠PAE，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据非负数的性质可得关于a、b、c的方程，解方程即可求出a、b、c的值，再根据平移的性质解答即可；

（2）根据平移的性质和平行线的性质即可证得结论；

（3）如图，过点P作PQ∥AB，根据平行公理的推论可得PQ∥CD∥AB，然后根据平行线的性质和角的和差即可得出结论．

【详解】

（1）解：∵，

∴ ，解得：，

∴点A的坐标是(﹣2，0)，点C的坐标是(6，4)，点D的坐标是(0，4)．

∴△AOD沿x轴向右平移6个单位长度得到△BEC．

∴点A的对应点B的坐标是(4，0)；

（2）证明：∵△AOD沿x轴向右平移，平移后得到△BEC，

∴AD∥BC，CD∥AB．

∴∠DAE=∠CBE，∠CBE=∠BCD．

∴∠DAE=∠BCD；

（3）答：∠CDP、∠DPA、∠PAE之间存在永远不变的数量关系∠DPA=∠CDP+∠PAE．

证明：如图，过点P作PQ∥AB．

∵CD∥AB，

∴PQ∥CD∥AB．

∴∠CDP=∠DPQ，∠QPA=∠PAB．

∴∠DPA=∠DPQ+∠QPA=∠CDP+∠PAE．

【点评】

本题考查了非负数的性质、平移的性质、平行公理的推论以及平行线的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．