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初中数学中考复习 考点22 图形的轴对称、平移与旋转-中考数学考点一遍过
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这是一份初中数学中考复习 考点22 图形的轴对称、平移与旋转-中考数学考点一遍过，共27页。试卷主要包含了轴对称图形与轴对称，图形的平移，图形的旋转，中心对称图形与中心对称等内容，欢迎下载使用。
考点22 图形的轴对称、平移与旋转
一、轴对称图形与轴对称
轴对称图形
轴对称
图
形
定
义
如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴
性
质
对应线段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
对应角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
区
别
(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条
(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴
关
系
(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称
(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
1．常见的轴对称图形
等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2．折叠的性质
折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．
3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤
（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；
（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．
4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤
（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；
（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．
二、图形的平移
1．定义
在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．学-科网
2．三大要素
一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质
（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；
（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；
（3）平移前后的图形全等．
4．作图步骤
（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
（2）找出原图形的关键点；
（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
三、图形的旋转
1．定义
在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
2．三大要素
旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3．性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等．
4．作图步骤
（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
（2）找出原图形的关键点；
（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
四、中心对称图形与中心对称
中心对称图形
中心对称
图
形
定
义
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
性
质
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
对应线段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
对应角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
区
别
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
中心对称是指两个图形的关系
联
系
把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称
把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形
常见的中心对称图形
平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
考向一 轴对称
轴对称图形与轴对称的区别与联系
区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.
联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．
典例1 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
1．下列图形中不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
考向二 平移
1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．
2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．
3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．
典例2 下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．
2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是
A． B．
C． D．
3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则
A．乙比甲先到 B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到 D．无法确定
考向三 旋转
通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．
典例3 以下现象：荡秋千；呼啦圈；跳绳；转陀螺．其中是旋转的有
A． B．
C． D．
4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是
A．36° B．60°
C．72° D．90°
5．如图将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，若点B、D、E在同一条直线上，∠BAC=20°，则∠ADB的度数为
A．55° B．60°
C．65° D．70°
考向四 中心对称
识别轴对称图形与中心对称图形：
①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．
②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．
典例4 下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选B．学科-网
6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是
A． B．
C． D．
1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为
A．（0，–2） B．（6，–2）
C．（3，1） D．（3，–5）
3．下列说法中正确的有
①旋转中心到对应点的距离相等；
②对称中心是对称点所连线段的中点；
③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；
④任意一个等边三角形都是中心对称图形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是
A．把△ABC向右平移6格
B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格
D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格
5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为
A．（1，–1） B．（–1，–1）
C．（1，1） D．（–1，1）
6．在任意三角形、锐角、长方形三种图形中，有且只有一条对称轴的是__________．
7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．
8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．
9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．学-科网
10．图中的4个小三角形都是等边三角形，边长为1.3cm，你能通过平移三角形ABC得到其他三角形吗？若能，请说出平移的方向和距离．
11．如图，在中，D为BC上任一点，交AB于点交AC于点F，求证：点关于AD的中点对称．
12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．学科网
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；
（3）判断△ABC的形状．并说明理由．
13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．
（1）△ABC旋转了多少度？
（2）连接CE，试判断△AEC的形状．
（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．
1．（2018·本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（2018·甘孜州）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为
A．（–2，3） B．（–2，–3）
C．（2，–3） D．（–3，–2）
3．（2018·辽阳）下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
4．（2018·台州）在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是
A． B．
C． D．
5．（2018·铁岭）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
6．（2018·梧州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是
A．30° B．35°
C．40° D．45°
7．（2018·宜宾）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于
A．2 B．3
C． D．
8．（2018·济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为
A．（0，4） B．（1，1）
C．（1，2） D．（2，1）
9．（2018·德阳）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为
A．3 B．
C．3– D．3–
10．（2018·大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为
A．90°–α B．α
C．180°–α D．2α
11．（2018·桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为
A．3 B．
C． D．
12．（2018·遂宁）已知，如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MBF=中正确的是
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
13．（2018·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求点A所经过的路径长（结果保留π）．
14．（2018·鄂尔多斯）（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD=__________度．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
15．（2018·青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．
2．【答案】D
【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；
B、可以通过旋转得到，故此选项错误；
C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；
D、可通过平移得到，故此选项正确；
故选D．
5．【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，
∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，
∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．
6．【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是旋转变换图形，故本选项错误．
故选A．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选C．
2．【答案】B
【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），
∴正确答案是B选项.故选B．
4．【答案】D
【解析】根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合．故选D．
5．【答案】C
【解析】菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），
得D点坐标为（，），即（–1，–1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（1，1）；
故选C．
6．【答案】锐角
【解析】因为任意一个三角形有可能不是轴对称图形，也有可能是轴对称图形，所以对称轴的个数不确定，所以不符合题意，因为锐角是关于角平分线所在直线对称，所以对称轴有且只有一条，因为长方形的对称轴有两条，不符合题意，故答案为:锐角．
7．【答案】55
【解析】∵，纸条的两边互相平行，∴
根据翻折的性质，故答案为：55．
10．【解析】沿射线AF方向平移1.3cm得到，
沿射线BD方向平移1.3cm得到；
平移不能得到
11．【解析】如图，连接EF交AD于点O．
交AB于交AC于F，
四边形AEDF是平行四边形，
点关于AD的中点对称．
12．【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：即为所求：C'的坐标为
（3）
∴
∴是直角三角形．
13．【解析】（1）∵∠BAC=40°，∴∠BAD=140°，∴△ABC旋转了140°．
（2）由旋转的性质可知AC=AE，∴△AEC是等腰三角形．
（3）由旋转的性质可知，∠CAE=∠BAD=140°，又AC=AE，
∴∠AEC=（180°–140°）÷2=20°．
直通中考
1．【答案】B
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B．
2．【答案】A
【解析】点A（2，3）关于y轴对称点的坐标为B（–2，3）．故选A．
3．【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
4．【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选D．
5．【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
6．【答案】C
【解析】连接BB′．
∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，
∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选C．
7．【答案】A
【解析】如图，
∵S△ABC=9，S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，
则（）2=，即（）2=，
解得A′D=2或A′D=–（舍），故选A．
8．【答案】C
【解析】由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），
故选C．
9．【答案】C
【解析】连接BM，
在△ABM和△C′BM中，，∴△ABM≌△C′BM，
∠2=∠3==30°．在△ABM中，AM=×tan30°=1，S△ABM==，正方形的面积为：（）2=3，阴影部分的面积为：3–2×=3–，故选C．
10．【答案】C
【解析】由题意可得，∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，
∴∠CAD=180°–α，故选C．
11．【答案】C
【解析】如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．∴∠FAB=∠MAE
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．学-科网
∴∠FAE=∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF=BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=3．
∵DM=1，∴CM=2．∴在Rt△BCM中，BM==，
∴EF=，故选C．
12．【答案】D
【解析】∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG，∴EF=FG，
∵DE=BG，∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，
∵BC=CD=AD=4，EC=1，∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3，CF=4–x，
在Rt△ECF中，（x+3）2=（4–x）2+12，解得x=，
∴BF=，AF==，故②正确，③错误，
∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，∴=（）2，
∴S△FBM=，故④正确，故选D．
13．【解析】（1）如图：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图：△A2B2C2，即为所求；
（3）r==，
A经过的路径长：×2×π×=π．
14．【解析】（1）【操作发现】如图1中，连接BD．
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD=AB，∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，
故答案为60．
（2）【类比探究】如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．
∵∠BAC=∠PAD=60°，∴∠BAP=∠CAD，
∵AB=AC，AP=AD，∴△PAB≌△DAC（SAS），∴BP=CD，
在△PCD中，∵PD+CD＞PC，
又∵PA=PD，∴AP+BP＞PC．
∴以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°–90°–120°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，
∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′=PC，即AP=PC，
∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=（）2，
∴PC=2，∴AP=，∴S△APC=AP·PC=××2=．
（4）【拓展应用】如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC（旋转的性质），
∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°，
在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=5，CE=4，
∴BE===，
即PA+PB+PC的最小值为．
（2）△BCD的面积为．
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，，
∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=DE=a．
∵S△BCD=BC·DE，∴S△BCD=；
（3）如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，，
∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=a．
∵S△BCD=BC·DE=·a·a=a2．
∴△BCD的面积为a2．
考点22 图形的轴对称、平移与旋转
一、轴对称图形与轴对称
轴对称图形
轴对称
图
形
定
义
如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴
性
质
对应线段相等
AB=AC
AB=A′B′，BC=B′C′，
AC=A′C′
对应角相等
∠B=∠C
∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
区
别
(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条
(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴
关
系
(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称
(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
1．常见的轴对称图形
等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2．折叠的性质
折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．
3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤
（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；
（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．
4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤
（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；
（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．
二、图形的平移
1．定义
在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．学-科网
2．三大要素
一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质
（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；
（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；
（3）平移前后的图形全等．
4．作图步骤
（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
（2）找出原图形的关键点；
（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
三、图形的旋转
1．定义
在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
2．三大要素
旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3．性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等．
4．作图步骤
（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
（2）找出原图形的关键点；
（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
四、中心对称图形与中心对称
中心对称图形
中心对称
图
形
定
义
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
性
质
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
对应线段
AB=CD，
AD=BC
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
对应角
∠A=∠C
∠B=∠D
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
区
别
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
中心对称是指两个图形的关系
联
系
把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称
把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形
常见的中心对称图形
平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
考向一 轴对称
轴对称图形与轴对称的区别与联系
区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.
联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．
典例1 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
1．下列图形中不是轴对称图形的是
A． B． C． D．
考向二 平移
1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．
2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．
3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．
典例2 下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．
2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是
A． B．
C． D．
3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则
A．乙比甲先到 B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到 D．无法确定
考向三 旋转
通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．
典例3 以下现象：荡秋千；呼啦圈；跳绳；转陀螺．其中是旋转的有
A． B．
C． D．
4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是
A．36° B．60°
C．72° D．90°
5．如图将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，若点B、D、E在同一条直线上，∠BAC=20°，则∠ADB的度数为
A．55° B．60°
C．65° D．70°
考向四 中心对称
识别轴对称图形与中心对称图形：
①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．
②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．
典例4 下列平面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选B．学科-网
6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是
A． B．
C． D．
1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为
A．（0，–2） B．（6，–2）
C．（3，1） D．（3，–5）
3．下列说法中正确的有
①旋转中心到对应点的距离相等；
②对称中心是对称点所连线段的中点；
③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；
④任意一个等边三角形都是中心对称图形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是
A．把△ABC向右平移6格
B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格
D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格
5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为
A．（1，–1） B．（–1，–1）
C．（1，1） D．（–1，1）
6．在任意三角形、锐角、长方形三种图形中，有且只有一条对称轴的是__________．
7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．
8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．
9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．学-科网
10．图中的4个小三角形都是等边三角形，边长为1.3cm，你能通过平移三角形ABC得到其他三角形吗？若能，请说出平移的方向和距离．
11．如图，在中，D为BC上任一点，交AB于点交AC于点F，求证：点关于AD的中点对称．
12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．学科网
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；
（3）判断△ABC的形状．并说明理由．
13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．
（1）△ABC旋转了多少度？
（2）连接CE，试判断△AEC的形状．
（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．
1．（2018·本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（2018·甘孜州）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为
A．（–2，3） B．（–2，–3）
C．（2，–3） D．（–3，–2）
3．（2018·辽阳）下列图形中，是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
4．（2018·台州）在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是
A． B．
C． D．
5．（2018·铁岭）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
6．（2018·梧州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是
A．30° B．35°
C．40° D．45°
7．（2018·宜宾）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于
A．2 B．3
C． D．
8．（2018·济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为
A．（0，4） B．（1，1）
C．（1，2） D．（2，1）
9．（2018·德阳）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为
A．3 B．
C．3– D．3–
10．（2018·大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为
A．90°–α B．α
C．180°–α D．2α
11．（2018·桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为
A．3 B．
C． D．
12．（2018·遂宁）已知，如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以下结论：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MBF=中正确的是
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
13．（2018·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求点A所经过的路径长（结果保留π）．
14．（2018·鄂尔多斯）（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD=__________度．
（2）【类比探究】
如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC，求证：以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】
如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．
（4）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
15．（2018·青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）
（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．
2．【答案】D
【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；
B、可以通过旋转得到，故此选项错误；
C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；
D、可通过平移得到，故此选项正确；
故选D．
5．【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，
∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，
∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．
6．【答案】A
【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是旋转变换图形，故本选项错误．
故选A．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选C．
2．【答案】B
【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），
∴正确答案是B选项.故选B．
4．【答案】D
【解析】根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合．故选D．
5．【答案】C
【解析】菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），
得D点坐标为（，），即（–1，–1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（1，1）；
故选C．
6．【答案】锐角
【解析】因为任意一个三角形有可能不是轴对称图形，也有可能是轴对称图形，所以对称轴的个数不确定，所以不符合题意，因为锐角是关于角平分线所在直线对称，所以对称轴有且只有一条，因为长方形的对称轴有两条，不符合题意，故答案为:锐角．
7．【答案】55
【解析】∵，纸条的两边互相平行，∴
根据翻折的性质，故答案为：55．
10．【解析】沿射线AF方向平移1.3cm得到，
沿射线BD方向平移1.3cm得到；
平移不能得到
11．【解析】如图，连接EF交AD于点O．
交AB于交AC于F，
四边形AEDF是平行四边形，
点关于AD的中点对称．
12．【解析】（1）如图所示：
（2）如图所示：即为所求：C'的坐标为
（3）
∴
∴是直角三角形．
13．【解析】（1）∵∠BAC=40°，∴∠BAD=140°，∴△ABC旋转了140°．
（2）由旋转的性质可知AC=AE，∴△AEC是等腰三角形．
（3）由旋转的性质可知，∠CAE=∠BAD=140°，又AC=AE，
∴∠AEC=（180°–140°）÷2=20°．
直通中考
1．【答案】B
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选B．
2．【答案】A
【解析】点A（2，3）关于y轴对称点的坐标为B（–2，3）．故选A．
3．【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
4．【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选D．
5．【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
6．【答案】C
【解析】连接BB′．
∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，
∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∴∠ABB′=∠AB′B=40°．故选C．
7．【答案】A
【解析】如图，
∵S△ABC=9，S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，
则（）2=，即（）2=，
解得A′D=2或A′D=–（舍），故选A．
8．【答案】C
【解析】由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），
故选C．
9．【答案】C
【解析】连接BM，
在△ABM和△C′BM中，，∴△ABM≌△C′BM，
∠2=∠3==30°．在△ABM中，AM=×tan30°=1，S△ABM==，正方形的面积为：（）2=3，阴影部分的面积为：3–2×=3–，故选C．
10．【答案】C
【解析】由题意可得，∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，
∴∠CAD=180°–α，故选C．
11．【答案】C
【解析】如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．∴∠FAB=∠MAE
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．学-科网
∴∠FAE=∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF=BM．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=3．
∵DM=1，∴CM=2．∴在Rt△BCM中，BM==，
∴EF=，故选C．
12．【答案】D
【解析】∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG，∴EF=FG，
∵DE=BG，∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，
∵BC=CD=AD=4，EC=1，∴DE=3，设BF=x，则EF=x+3，CF=4–x，
在Rt△ECF中，（x+3）2=（4–x）2+12，解得x=，
∴BF=，AF==，故②正确，③错误，
∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，∴=（）2，
∴S△FBM=，故④正确，故选D．
13．【解析】（1）如图：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图：△A2B2C2，即为所求；
（3）r==，
A经过的路径长：×2×π×=π．
14．【解析】（1）【操作发现】如图1中，连接BD．
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD=AB，∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，
故答案为60．
（2）【类比探究】如图2中，以PA为边长作等边△PAD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．
∵∠BAC=∠PAD=60°，∴∠BAP=∠CAD，
∵AB=AC，AP=AD，∴△PAB≌△DAC（SAS），∴BP=CD，
在△PCD中，∵PD+CD＞PC，
又∵PA=PD，∴AP+BP＞PC．
∴以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形．
（3）【解决问题】如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°–90°–120°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，
∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′=PC，即AP=PC，
∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=（）2，
∴PC=2，∴AP=，∴S△APC=AP·PC=××2=．
（4）【拓展应用】如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC（旋转的性质），
∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=4，∠PCD=60°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°，
在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=5，CE=4，
∴BE===，
即PA+PB+PC的最小值为．
（2）△BCD的面积为．
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，，
∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=DE=a．
∵S△BCD=BC·DE，∴S△BCD=；
（3）如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，，
∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=a．
∵S△BCD=BC·DE=·a·a=a2．
∴△BCD的面积为a2．
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