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初中数学中考复习 考点10 反比例函数-中考数学考点一遍过
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这是一份初中数学中考复习 考点10 反比例函数-中考数学考点一遍过，共37页。试卷主要包含了反比例函数的概念，反比例函数的图象和性质，反比例函数解析式的确定，反比例函数中|k|的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，反比例函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点10 反比例函数
一、反比例函数的概念
1．反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
二、反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3．注意
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
三、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
四、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
五、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
六、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
考向一 反比例函数的定义
1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
典例1 下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是
A．xy= B．3x+2y=0
C．y= D．y=
【答案】A
1．下列函数：①；②；③；④中，是反比例函数的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考向二 反比例函数的图象和性质
当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．学科=网
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
典例2 在同一坐标系中，函数y=和y=–kx+3的大致图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得–k＞0，则k<0，则选项错误；
B、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得–k＞0，则k<0，则选项错误；
C、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k<0，
根据一次函数图象可得–k<0，则k＞0，则选项错误；
D、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得–k<0，则k＞0，故选项正确．
故选D．
典例3 反比例函数的图象在
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【解析】因为，故图象在第二、四象限，故选D．
典例4 已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数的图象上，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵反比例函数，它的图象经过A（1，m），B（2，n）两点，∴m=k<0，n=<0，∴，故选A．
2．对于函数，下列说法错误的是
A．这个函数的图象位于第一、第三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．当x<0时，y随x的增大而减小
3．下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的是
A．y=x B．y=2x–1
C．y= D．y=–
4．如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为
A．k1>k2>k3 B．k3>k2>k1
C．k2>k3>k1 D．k3>k1>k2
考向三 反比例函数解析式的确定
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
典例5 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设反比例函数为：．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k=3×（-2）=-6．故反比例函数为：，故选B．
典例6 如图，某反比例函数的图象过点M（-2，1），则此反比例函数表达式为
A．y= B．y=-
C．y= D．y=-
【答案】B
【解析】设反比例函数表达式为y=，把M（，1）代入y=得，k=（-2）×1=-2，∴，故选B．
典例7 如图，C1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x＞0）．
【答案】y=–
【解析】∵C2与C1关于x轴对称，
∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，
∵点A（2，1），
∴A′坐标（2，–1），
∴C2对应的函数的表达式为y=–，
故答案为y=–．
5．已知反比例函数y=-，下列各点中，在其图象上的有
A．（-2，-3） B．（2，3）
C．（2，-3） D．（1，6）
6．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为
A．y= B．y=-
C．y= D．y=-
7．在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．
考向四 反比例函数中k的几何意义
三角形的面积与k的关系
（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．
（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
典例8 如图，点A为函数（x>0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接OA，如果△AOB的面积为2，那么k的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】设点A坐标为（m，n），则有AB=m，OB=n，由题意可得：=2，所以mn=4，又点A在双曲线上，所以k=mn=4，故选D．
典例9 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为9，则k=__________．
【答案】6
【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算．
8．如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，则
A．8 B．6
C．5 D．4
9．如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为
A．2 B．3
C．4 D．6
10．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是
A．一直不变 B．先增大后减小
C．先减小后增大 D．先增大后不变
考向五 反比例函数与一次函数的综合
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
典例10 在同一平面直角坐标系中，函数与函数y=x的图象交点个数是
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】∵y=x的图象是过原点经过一、三象限，的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A．
典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1
A．x<-1或03
C．-13
【答案】B
【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y13，故选B．
【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
典例12 如图，已知直线y=–x+与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，过A作AE⊥OD于E，
∵直线解析式为y=–x+，∴C（0，），D（3，0），
∴OC=，OD=3，∴Rt△COD中，CD==10，
∵OA⊥AB，∴CO×DO=CD×AO，
∴AO=3，∴AD==9，
∵OD×AE=AO×AD，∴AE=，
∴Rt△AOE中，OE===，
∴A（，），
∴代入双曲线y=，可得k=×=，
故选B．
11．已知反比例函数y=（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
12．如图，已知A（–4，n），B（2，–4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
考向六 反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：
（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；
（2）求反比例函数y=__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．
（2）将x=40代入y=1.5x+20，得y=80，∴点E（40，80），
∵点E在反比例函数y=的图象上，
∴80=，得k=3200，
即反比例函数y=，
当y=20时，20=，得x=160，
即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160．
13．如图为某种材料温度y（℃）随时间x（min）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y与时间x成反比例关系．
（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是
A．x(y–1)=1 B．
2．已知反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是
A．k＞8 B．k≥8
C．k≤8 D．k<8
3．已知反比例函数y=的图象过点A(–3，2)，则k的值为
A．3 B．6
C．–6 D．–3
4．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数（k<0）的图象上，则y1、y2的大小关系为
A．y1＞y2 B．y1
5．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则不等式的解集为
A． 或
C． 或
6．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是
A．–2 B．±4
C．2 D．±2
7．反比例函数y=(a＞0，a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B．当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
8．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是
A．- B．-
C．- D．-
9．如图，直线y=x与双曲线的一个交点为A，且OA=2，则k的值为__________．
10．如图，直线分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．
11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．
12．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=__________．
13．如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
14．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；
（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？
1．（2018·辽宁省阜新市）反比例函数y=的图象经过点（3，–2），下列各点在图象上的是
A．（–3，–2） B．（3，2）
C．（–2，–3） D．（–2，3）
2．（2018·甘肃省天水市）函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是
A．x<–1或x＞1 B．x<–1或0
A． B．
C． D．
4．（2018·广西玉林市）如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于
A． B．2
C．4 D．3
5．（2018·吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为
A．4 B．2
C．2 D．
6．（2018·广西贺州市）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（–3，–2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是
A．–3
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
8．（2018·四川省攀枝花市）如图，已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k=__________．
9．（2018·四川省泸州市）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，–6），且与反比例函数y=–的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2=的图象相交，求使y1
变式拓展
1．【答案】C
【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C．
2．【答案】C
【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k=4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C．
3．【答案】C
【解析】A、为一次函数，k的值大于0，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、为一次函数，k的值大于0，y随x的增大而增大，不符合题意；
C、为反比例函数，k的值大于0，x<0时，y随x的增大而减小，符合题意；
D、为反比例函数，k的值小于0，x<0时，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选C．
4．【答案】B
【解析】由图知，y=的图象在第二象限，y=，y=的图象在第一象限，∴k1<0，k2>0，k3>0，又当x=1时，有k2k2>k1，故选B．
5．【答案】C
【解析】∵反比例函数y=-中，k=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C．
7．【答案】y=
【解析】∵点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，
∴代入得：a==1，
即P点的坐标为（2，1），
∵把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，
∴Q的坐标是（5，3），
设经过点Q的反比例函数的解析式是y=，
把Q点的坐标代入得：c=15，
即y=，
故答案为：y=．
8．【答案】B
【解析】∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故选B．
10．【答案】A
【解析】如图，作CD⊥AB交AB于点D，则S△ACD=，∵AC=BC，∴AD=BD，∴S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC=2S△ACD=2×=k，∴△ABC的面积不变，故选A．
11．【答案】B
【解析】∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴反比例函数（k≠0）的图象在二、四象限，∴k<0，
∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B．
12．【解析】（1）∵B（2，–4）在y=图象上，
∴m=–8．
∴反比例函数的解析式为y=–．
∵点A（–4，n）在y=–图象上，
∴n=2，
∴A（–4，2）．
∵一次函数y=kx+b图象经过A（–4，2），B（2，–4），
∴，解得．
∴一次函数的解析式为y=–x–2；
（2）如图，令一次函数y=–x–2的图象与y轴交于C点，
当x=0时，y=–2，
∴点C（0，–2）．
∴OC=2，
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6．
13．【解析】（1）当0≤x<5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，
由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），
所以，解得：，
所以y=9x+15，
当x≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=，
由于图象过点（5，60），所以m=300．
则y=；学-科网
（2）当0≤x<5时，y=9x+15=30，得x=，
因为y随x的增大而增大，所以x＞，
当x≥5时，y==30，
得x=10，因为y随x的增大而减小，
所以x<10，10–=．
答：可加工min．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由反比例函数的定义知，是y关于x的反比例函数，其余的不是y关于x的反比例函数.故选C．
2．【答案】A
【解析】∵反比例函数y=的图象位于第一、三象限，∴k–8＞0，解得k＞8，故选A．
3．【答案】C
【解析】∵函数的图象过点A（–3，2），∴，解得.故选C．
6．【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴k＞0，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，且点A、点B关于坐标原点对称，
∴S△AOD=S△BOE=k，∴S矩形OECD=2△AOD=k，
∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=2k=4，解得k=2．
故选C．
8．【答案】
【解析】∵矩形OABC，∴CB∥x轴，AB∥y轴，∵点B坐标为（6，4），∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，∵D，E在反比例函数y=的图象上，∴D（6，1），E（，4），∴BE=6-=，BD=4-1=3，∴ED==，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，∵B，B′关于ED对称，∴BF=B′F，BB′⊥ED，∴BF•ED=BE•BD，即BF=3×，∴BF=，∴BB′=，设EG=x，则BG=-x，∵BB′2-BG2=B′G2=EB′2-GE2，∴（）2-（-x）2=（）2-x2，∴x=，∴EG=，∴CG=，∴B′G=，∴B′（，-），∴k=-，故选B．
9．【答案】2
【解析】∵点A在直线y=x上，且OA=2，∴点A的坐标为，把代入得，，∴k=2，故答案为：2．
10．【答案】5
【解析】过点作轴，垂足于点；过点作轴，垂足为点．∵点是中点，∴．易得△APF≌△BPE，∴,∴，故答案为5．
11．【答案】-4
【解析】∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=AD=2，设B（，2），∵E是CD边中点，∴E（-2，1），∴-2=k，解得k=-4，故答案为：-4．
12．【答案】6
【解析】∵点P（6，3），∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y=得，点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM=，NB=，∵S四边形OAPB=12，即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12，6×3-×6×-×3×=12，解得k=6，故答案为：6．
13．【解析】（1）∵已知反比例函数经过点A（1，-k+4），
∴，即-k+4=k，
∴k=2，∴A（1，2）．
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2），
∴2=1+b，∴b=1，
∴反比例函数的表达式为，
一次函数的表达式为y=x+1．
（2）由，消去y，得x2+x-2=0，
即（x+2）（x-1）=0，
∴x=-2或x=1．
∴y=-1或y=2．
∴或．
∵点B在第三象限，
∴点B的坐标为（-2，-1），
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x<-2或0
∵CD⊥x轴，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，
∴=，∴=，∴CD=20，
∴点C坐标为（–4，20），∴n=xy=–80，
∴反比例函数解析式为：y=–，
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：，解得，
∴一次函数解析式为：y=–2x+12；
（2）当–=–2x+12时，解得x1=10，x2=–4；
当x=10时，y=–8，∴点E坐标为（10，–8），
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=×20×10+×8×10=140；
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象；
∴由图象得，x≥10，或–4≤x＜0．
（2）将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，
将y=40代入y2=得：x=55．
55-5=50．
所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．
直通中考
1．【答案】D
【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（3，–2），∴xy=k=–6，
A、（–3，–2），此时xy=–3×（–2）=6，不合题意；
B、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意；
C、（–2，–3），此时xy=–3×（–2）=6，不合题意；
D、（–2，3），此时xy=–2×3=–6，符合题意；
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键．
2．【答案】C
【解析】观察图象可知当–1
3．【答案】B
【解析】分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx–3与y轴的交点在负半轴，过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k<0时，y=kx–3与y轴的交点在负半轴，过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，观察只有B选项符合，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．
4．【答案】B
【解析】点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC=BC，∴=3a–a，解得a=1（负值已舍去），
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5．【答案】A
【解析】作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4，故选A．
【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.
6．【答案】C
【解析】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（–3，–2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是–3
【名师点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
8．【答案】8
【解析】∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD=DC，∴∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，
又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，
∴，即BC×OE=BO×AB．
又∵S△BEC=4，
∴BC•EO=4，
即BC×OE=8=BO×AB=|k|．
∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．
∴k=8．
故答案是：8．
【名师点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义．反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
9．【解析】（1）∵反比例函数y=–的图象过点B（a，4），
∴4=–，解得：a=–3，
∴点B的坐标为（–3，4）．学=科网
将A（2，–6）、B（–3，4）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴一次函数的解析式为y=–2x–2．
（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1=–2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0
考点10 反比例函数
一、反比例函数的概念
1．反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
二、反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3．注意
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
三、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法
确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
四、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
五、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
六、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
考向一 反比例函数的定义
1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
典例1 下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是
A．xy= B．3x+2y=0
C．y= D．y=
【答案】A
1．下列函数：①；②；③；④中，是反比例函数的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考向二 反比例函数的图象和性质
当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．学科=网
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
典例2 在同一坐标系中，函数y=和y=–kx+3的大致图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得–k＞0，则k<0，则选项错误；
B、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得–k＞0，则k<0，则选项错误；
C、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k<0，
根据一次函数图象可得–k<0，则k＞0，则选项错误；
D、由反比例函数图象得函数y=（k为常数，k≠0）中k＞0，
根据一次函数图象可得–k<0，则k＞0，故选项正确．
故选D．
典例3 反比例函数的图象在
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【答案】D
【解析】因为，故图象在第二、四象限，故选D．
典例4 已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数的图象上，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵反比例函数，它的图象经过A（1，m），B（2，n）两点，∴m=k<0，n=<0，∴，故选A．
2．对于函数，下列说法错误的是
A．这个函数的图象位于第一、第三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．当x<0时，y随x的增大而减小
3．下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的是
A．y=x B．y=2x–1
C．y= D．y=–
4．如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为
A．k1>k2>k3 B．k3>k2>k1
C．k2>k3>k1 D．k3>k1>k2
考向三 反比例函数解析式的确定
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
典例5 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设反比例函数为：．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k=3×（-2）=-6．故反比例函数为：，故选B．
典例6 如图，某反比例函数的图象过点M（-2，1），则此反比例函数表达式为
A．y= B．y=-
C．y= D．y=-
【答案】B
【解析】设反比例函数表达式为y=，把M（，1）代入y=得，k=（-2）×1=-2，∴，故选B．
典例7 如图，C1是反比例函数y=在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x＞0）．
【答案】y=–
【解析】∵C2与C1关于x轴对称，
∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，
∵点A（2，1），
∴A′坐标（2，–1），
∴C2对应的函数的表达式为y=–，
故答案为y=–．
5．已知反比例函数y=-，下列各点中，在其图象上的有
A．（-2，-3） B．（2，3）
C．（2，-3） D．（1，6）
6．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为
A．y= B．y=-
C．y= D．y=-
7．在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．
考向四 反比例函数中k的几何意义
三角形的面积与k的关系
（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．
（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
典例8 如图，点A为函数（x>0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接OA，如果△AOB的面积为2，那么k的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】设点A坐标为（m，n），则有AB=m，OB=n，由题意可得：=2，所以mn=4，又点A在双曲线上，所以k=mn=4，故选D．
典例9 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为9，则k=__________．
【答案】6
【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算．
8．如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，则
A．8 B．6
C．5 D．4
9．如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为
A．2 B．3
C．4 D．6
10．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是
A．一直不变 B．先增大后减小
C．先减小后增大 D．先增大后不变
考向五 反比例函数与一次函数的综合
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
典例10 在同一平面直角坐标系中，函数与函数y=x的图象交点个数是
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】∵y=x的图象是过原点经过一、三象限，的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A．
典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1
A．x<-1或0
C．-1
【答案】B
【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y1
【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
典例12 如图，已知直线y=–x+与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，过A作AE⊥OD于E，
∵直线解析式为y=–x+，∴C（0，），D（3，0），
∴OC=，OD=3，∴Rt△COD中，CD==10，
∵OA⊥AB，∴CO×DO=CD×AO，
∴AO=3，∴AD==9，
∵OD×AE=AO×AD，∴AE=，
∴Rt△AOE中，OE===，
∴A（，），
∴代入双曲线y=，可得k=×=，
故选B．
11．已知反比例函数y=（k≠0），当x>0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
12．如图，已知A（–4，n），B（2，–4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
考向六 反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：
（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；
（2）求反比例函数y=__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．
（2）将x=40代入y=1.5x+20，得y=80，∴点E（40，80），
∵点E在反比例函数y=的图象上，
∴80=，得k=3200，
即反比例函数y=，
当y=20时，20=，得x=160，
即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160．
13．如图为某种材料温度y（℃）随时间x（min）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y与时间x成反比例关系．
（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是
A．x(y–1)=1 B．
2．已知反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是
A．k＞8 B．k≥8
C．k≤8 D．k<8
3．已知反比例函数y=的图象过点A(–3，2)，则k的值为
A．3 B．6
C．–6 D．–3
4．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数（k<0）的图象上，则y1、y2的大小关系为
A．y1＞y2 B．y1
5．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则不等式的解集为
A． 或
C． 或
6．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是
A．–2 B．±4
C．2 D．±2
7．反比例函数y=(a＞0，a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B．当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
8．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是
A．- B．-
C．- D．-
9．如图，直线y=x与双曲线的一个交点为A，且OA=2，则k的值为__________．
10．如图，直线分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．
11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．
12．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=__________．
13．如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
14．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；
（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？
1．（2018·辽宁省阜新市）反比例函数y=的图象经过点（3，–2），下列各点在图象上的是
A．（–3，–2） B．（3，2）
C．（–2，–3） D．（–2，3）
2．（2018·甘肃省天水市）函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是
A．x<–1或x＞1 B．x<–1或0
A． B．
C． D．
4．（2018·广西玉林市）如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于
A． B．2
C．4 D．3
5．（2018·吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为
A．4 B．2
C．2 D．
6．（2018·广西贺州市）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（–3，–2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是
A．–3
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
8．（2018·四川省攀枝花市）如图，已知点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k=__________．
9．（2018·四川省泸州市）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，–6），且与反比例函数y=–的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2=的图象相交，求使y1
变式拓展
1．【答案】C
【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C．
2．【答案】C
【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k=4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C．
3．【答案】C
【解析】A、为一次函数，k的值大于0，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、为一次函数，k的值大于0，y随x的增大而增大，不符合题意；
C、为反比例函数，k的值大于0，x<0时，y随x的增大而减小，符合题意；
D、为反比例函数，k的值小于0，x<0时，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选C．
4．【答案】B
【解析】由图知，y=的图象在第二象限，y=，y=的图象在第一象限，∴k1<0，k2>0，k3>0，又当x=1时，有k2
5．【答案】C
【解析】∵反比例函数y=-中，k=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C．
7．【答案】y=
【解析】∵点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，
∴代入得：a==1，
即P点的坐标为（2，1），
∵把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，
∴Q的坐标是（5，3），
设经过点Q的反比例函数的解析式是y=，
把Q点的坐标代入得：c=15，
即y=，
故答案为：y=．
8．【答案】B
【解析】∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故选B．
10．【答案】A
【解析】如图，作CD⊥AB交AB于点D，则S△ACD=，∵AC=BC，∴AD=BD，∴S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC=2S△ACD=2×=k，∴△ABC的面积不变，故选A．
11．【答案】B
【解析】∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴反比例函数（k≠0）的图象在二、四象限，∴k<0，
∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B．
12．【解析】（1）∵B（2，–4）在y=图象上，
∴m=–8．
∴反比例函数的解析式为y=–．
∵点A（–4，n）在y=–图象上，
∴n=2，
∴A（–4，2）．
∵一次函数y=kx+b图象经过A（–4，2），B（2，–4），
∴，解得．
∴一次函数的解析式为y=–x–2；
（2）如图，令一次函数y=–x–2的图象与y轴交于C点，
当x=0时，y=–2，
∴点C（0，–2）．
∴OC=2，
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6．
13．【解析】（1）当0≤x<5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，
由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），
所以，解得：，
所以y=9x+15，
当x≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=，
由于图象过点（5，60），所以m=300．
则y=；学-科网
（2）当0≤x<5时，y=9x+15=30，得x=，
因为y随x的增大而增大，所以x＞，
当x≥5时，y==30，
得x=10，因为y随x的增大而减小，
所以x<10，10–=．
答：可加工min．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由反比例函数的定义知，是y关于x的反比例函数，其余的不是y关于x的反比例函数.故选C．
2．【答案】A
【解析】∵反比例函数y=的图象位于第一、三象限，∴k–8＞0，解得k＞8，故选A．
3．【答案】C
【解析】∵函数的图象过点A（–3，2），∴，解得.故选C．
6．【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴k＞0，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，且点A、点B关于坐标原点对称，
∴S△AOD=S△BOE=k，∴S矩形OECD=2△AOD=k，
∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=2k=4，解得k=2．
故选C．
8．【答案】
【解析】∵矩形OABC，∴CB∥x轴，AB∥y轴，∵点B坐标为（6，4），∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，∵D，E在反比例函数y=的图象上，∴D（6，1），E（，4），∴BE=6-=，BD=4-1=3，∴ED==，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，∵B，B′关于ED对称，∴BF=B′F，BB′⊥ED，∴BF•ED=BE•BD，即BF=3×，∴BF=，∴BB′=，设EG=x，则BG=-x，∵BB′2-BG2=B′G2=EB′2-GE2，∴（）2-（-x）2=（）2-x2，∴x=，∴EG=，∴CG=，∴B′G=，∴B′（，-），∴k=-，故选B．
9．【答案】2
【解析】∵点A在直线y=x上，且OA=2，∴点A的坐标为，把代入得，，∴k=2，故答案为：2．
10．【答案】5
【解析】过点作轴，垂足于点；过点作轴，垂足为点．∵点是中点，∴．易得△APF≌△BPE，∴,∴，故答案为5．
11．【答案】-4
【解析】∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=AD=2，设B（，2），∵E是CD边中点，∴E（-2，1），∴-2=k，解得k=-4，故答案为：-4．
12．【答案】6
【解析】∵点P（6，3），∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y=得，点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM=，NB=，∵S四边形OAPB=12，即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12，6×3-×6×-×3×=12，解得k=6，故答案为：6．
13．【解析】（1）∵已知反比例函数经过点A（1，-k+4），
∴，即-k+4=k，
∴k=2，∴A（1，2）．
∵一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2），
∴2=1+b，∴b=1，
∴反比例函数的表达式为，
一次函数的表达式为y=x+1．
（2）由，消去y，得x2+x-2=0，
即（x+2）（x-1）=0，
∴x=-2或x=1．
∴y=-1或y=2．
∴或．
∵点B在第三象限，
∴点B的坐标为（-2，-1），
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x<-2或0
∵CD⊥x轴，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，
∴=，∴=，∴CD=20，
∴点C坐标为（–4，20），∴n=xy=–80，
∴反比例函数解析式为：y=–，
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：，解得，
∴一次函数解析式为：y=–2x+12；
（2）当–=–2x+12时，解得x1=10，x2=–4；
当x=10时，y=–8，∴点E坐标为（10，–8），
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=×20×10+×8×10=140；
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象；
∴由图象得，x≥10，或–4≤x＜0．
（2）将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，
将y=40代入y2=得：x=55．
55-5=50．
所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．
直通中考
1．【答案】D
【解析】∵反比例函数y=的图象经过点（3，–2），∴xy=k=–6，
A、（–3，–2），此时xy=–3×（–2）=6，不合题意；
B、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意；
C、（–2，–3），此时xy=–3×（–2）=6，不合题意；
D、（–2，3），此时xy=–2×3=–6，符合题意；
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键．
2．【答案】C
【解析】观察图象可知当–1
3．【答案】B
【解析】分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx–3与y轴的交点在负半轴，过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k<0时，y=kx–3与y轴的交点在负半轴，过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，观察只有B选项符合，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．
4．【答案】B
【解析】点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC=BC，∴=3a–a，解得a=1（负值已舍去），
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5．【答案】A
【解析】作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4，故选A．
【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.
6．【答案】C
【解析】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（–3，–2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是–3
【名师点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
8．【答案】8
【解析】∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD=DC，∴∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，
又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，
∴，即BC×OE=BO×AB．
又∵S△BEC=4，
∴BC•EO=4，
即BC×OE=8=BO×AB=|k|．
∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．
∴k=8．
故答案是：8．
【名师点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义．反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
9．【解析】（1）∵反比例函数y=–的图象过点B（a，4），
∴4=–，解得：a=–3，
∴点B的坐标为（–3，4）．学=科网
将A（2，–6）、B（–3，4）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴一次函数的解析式为y=–2x–2．
（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1=–2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0
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