八年级数学下册专题18 分式有意义无意义值为零

专题18 分式有意义无意义值为零

【例题讲解】

下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________

【答案】①③

【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．

【详解】①正确．∵a不论为何值不论a2+2＞0，∴不论a为何值都有意义；

②错误．∵当a=﹣1时，a2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；

③正确．∵若的值为负，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此结论正确；

④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．

故答案为①③．

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．

【综合解答】

1．下列关于分式的各种说法中，错误的是（  ）．

A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为负数

C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为

2．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ）

A． B． C． D．的值不存在

3．式子的值不可能等于(　　)

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

4．若三角形三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是（　　）

A．不等边三角形 B．腰与底边不等的等腰三角形

C．等边三角形 D．直角三角形

5．当x取_____时，分式有意义．

6．若,则x的取值范围是____________．

7．若式子有意义，则实数的取值范围是__________

8．已知分式，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于 _____．

9．要使分式没有意义，则的值为__________．

10．已知式子，当__________时，分式无意义，当__________时，分式的值为0．

11．若无意义，且分式的值等于零，那么＝_____．

12．（1）当=______时，分式的值为零；

（2）当=________时，分式无意义

13．下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0；③若分式的值为0，则x的值为±3；④分式的值为整数，则整数x的值有6个；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其中错误的有______．（填序号）

14．已知：代数式．

(1)当为何值时，该式无意义？

(2)当为何整数时，该式的值为正整数？

15．已知，取哪些值时：

(1)的值是正数；

(2)的值是负数；

(3)的值是零；

(4)分式无意义．

16．已知，x取哪些值时：

(1)y的值是正数；

(2)y的值是负数；

(3)y的值是零；

(4)分式无意义．

17．当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？

（1）；（2）；（3）；（4）．

18．已知分式，回答下列问题．

（1）若分式无意义，求x的取值范围；

（2）若分式的值是零，求x的值；

（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．

19．已知分式

（1）当x取什么值时，分式有意义？

（2）当x取什么值时，分式为零？

（3）当x取什么值时，分式的值为负数？

答案与解析

【例题讲解】

下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________

【答案】①③

【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．

【详解】①正确．∵a不论为何值不论a2+2＞0，∴不论a为何值都有意义；

②错误．∵当a=﹣1时，a2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；

③正确．∵若的值为负，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此结论正确；

④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．

故答案为①③．

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．

【综合解答】

1．下列关于分式的各种说法中，错误的是（  ）．

A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为负数

C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为

【答案】B

【分析】根据分式的定义和性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．

【详解】当时，分式无意义，选项A正确；

当时，分式的值可能为负数，可能为正数，故选项B错误；

当时，，分式的值为正数，选项C正确；

当时，，分式的值为，选项D正确；

故选：B．

【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式的性质，从而完成求解．

2．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ）

A． B． C． D．的值不存在

【答案】A

【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可．

【详解】解：∵x为﹣2时方程无意义，

∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，

故分式为：，

当x=2时，分式的值为0，

故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，

故分式为：，

当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，

故，故C正确，

当时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，

故选：A．

【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．

3．式子的值不可能等于(　　)

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

【答案】C

【分析】根据分式的加减运算，对式子进行化简，然后根据分式有意义，即可得出答案.

【详解】解：

= ，

分式的值不能为0，因为只有a=b=c时，分母才为0，此时分式没意义，

故选：C．

【点睛】本题主要考察了分式的加减运算以及分式有意义的定义，解题的关键是分式的加减运算要正确进行通分，以及注意分式的分母不能为零.

4．若三角形三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是（　　）

A．不等边三角形 B．腰与底边不等的等腰三角形

C．等边三角形 D．直角三角形

【答案】B

【详解】根据分式等于0的条件，分母不为0，分子等于0，即a-c≠0，ab-ac+bc-b2= ab -b2-ac+bc =b（a-b）-c（a-b）=（a-b）（b-c）=0，所以a≠c，a=b，或b=c，因此可知此三角形一定是腰与底边不等的等腰三角形.

故选B.

点睛：此题主要考查了分式的值为0的条件，解题关键是明确分式的值为0的条件为分母不为0，分子为0，然后根据结果，由边的关系判断三角形的形状.

5．当x取_____时，分式有意义．

【答案】x≠0且x≠±1

【详解】分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围．

详解：由题意可知，只有当：时，原分式才有意义，解得：，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．

    故答案为x≠0且x≠±1．

点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．

    本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是的分母，所以x≠0；

    x﹣是的分母，所以x﹣≠0；1﹣又是整个分式的分母，因此1﹣≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．

6．若,则x的取值范围是____________．

【答案】x＜1

【详解】根据x-1的绝对值与本身的比为-1，说明绝对值与本身互为相反数，故可知x-1＜0，即x＜1.

故答案为x＜1.

7．若式子有意义，则实数的取值范围是__________

【答案】

【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可．

【详解】解：由题意得：，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

8．已知分式，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于 _____．

【答案】1

【分析】先把x=a代入分式，根据分式值为0得出a+1＝0，求出解得：a＝﹣1时，该分式的值为0；把x=b代入分式，根据分式无意义，由分母为零，求出b＝2，再求代数式的值即可．

【详解】解：分式，

当x=a时，，

当a+1＝0时，

解得：a＝﹣1时，该分式的值为0；

当x=b时，，

当2﹣b＝0时，

解得：b＝2，

即x＝2时分式无意义，此时b＝2，

则ab＝（﹣1）2＝1．

故答案为：1．

【点睛】本题考查分式，分式的值为0的条件，分式无意的条件，代数式的值，掌握分式，分式的值为0的条件，分式无意的条件，代数式的值是解题关键．

9．要使分式没有意义，则的值为__________．

【答案】0或

【分析】本题是繁分式，根据分式没有意义，分式的分母为0列方程求解即可．

【详解】解：根据题意，分式没有意义，

则3a=0或=0，

解得a=0或a=，

经检验a=是方程=0的解，

故答案为：0或．

【点睛】本题主要考查了分式没有意义的条件是分母等于0．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零．

10．已知式子，当__________时，分式无意义，当__________时，分式的值为0．

【答案】     =1或-1     =8

【分析】分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0、分母不为0．据此可解．

【详解】解：根据题意，得

当分母=0，即x=1或-1时，分式无意义；

当分子=0且分母≠0时，分式的值为0，即当x=8时，分式的值等于0．

故答案是：=1或-1；=8．

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可；还考查了分式有意义的条件：分式有意义，分母不为零．

11．若无意义，且分式的值等于零，那么＝_____．

【答案】2

【分析】直接利用分式的值为零的条件“分子为0且分母不为0”分析得出答案．

【详解】解：∵无意义,

∴a+2＝0，

∴a＝﹣2

∵分式的值等于零，

∴|b|﹣1＝0，b﹣1≠0，

∴b＝﹣1，

∴＝＝2，

故答案为2．

【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．

12．（1）当=______时，分式的值为零；

（2）当=________时，分式无意义

【答案】     x=-1；     或

【分析】（1）根据分式值为零的条件可得x+1=0，且x2+2x-3≠0，再解即可．

（2）根据分式无意义的条件可得，再解方程即可；

【详解】（1）因为的值为零

所以

∴

（2）因为无意义

所以     

所以

故答案为（1）x=-1；（2）

【点睛】此题主要考查了分式的值为零以及分式无意义，关键是掌握分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可

13．下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0；③若分式的值为0，则x的值为±3；④分式的值为整数，则整数x的值有6个；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其中错误的有______．（填序号）

【答案】①②③④⑤

【分析】①根据象限点的坐标特征判断即可；

②根据分母不为0，除式不为0，确定出所求即可；

③根据分式值为0的条件：分母不为0，分子为0，判断即可；

④分式变形后，根据分式值为整数，确定出整数x的值，判断即可；

⑤根据底数为1或﹣1，指数为0三种情况判断即可．

【详解】解：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第二象限，符合题意；

②若÷有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0且x≠﹣5，符合题意；

③若分式的值为0，则x的值为3，符合题意；

④分式＝＝3+的值为整数，则整数x的值有2个，符合题意；

⑤若已知＝1，则整数x的值为3或1或5，符合题意，

则错误的有①②③④⑤．

故答案为：①②③④⑤．

【点睛】本题考查分式的取值以及幂的性质，掌握分式的基本性质以及负整数指数幂和零指数幂是解决问题的关键，注意1的任何次方、任何一个不为0的数的零指数幂、-1的偶数次方都是1．

三、解答题(共0分)

14．已知：代数式．

(1)当为何值时，该式无意义？

(2)当为何整数时，该式的值为正整数？

【答案】(1)

(2)或0

【分析】（1）根据分母等于0计算即可；

（2）根据值为整数进行判断求解即可；

【详解】（1）解：由题意得：，

解得：；

（2）解：代数式的值为正整数，

或，

解得：或0．

【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．

15．已知，取哪些值时：

(1)的值是正数；

(2)的值是负数；

(3)的值是零；

(4)分式无意义．

【答案】(1)

(2) 或

(3)

(4)

【分析】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况，列不等式组，即可求解；

（2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论，列不等式组，即可求解；

（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0，列不等式组，即可求解；

（4）分式无意义的条件是分母等于0．

【详解】（1）解：的值是正数，

或，

解得或

故当时，y为正数；

（2）解：的值是负数，

或，

解得或

故当或时，y为负数；

（3）解：当时，即时，y值为零；

（4）解：当时，即时，分式无意义．

【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式有意义的条件．掌握分式的概念及分式的值为正或负时，分子与分母的符号关系是解题的关键．

16．已知，x取哪些值时：

(1)y的值是正数；

(2)y的值是负数；

(3)y的值是零；

(4)分式无意义．

【答案】(1)

(2)x＜或x＞2

(3)x＝2

(4)x＝

【分析】（1）分式的值为正数，则分子、分母同号，列不等式组求解；

（2）分式的值是负数，则分子、分母异号，列不等式组求解；

（3）分式的值为0，则分子为0，分母不等于0；

（4）分式无意义，则分母等于0．

【详解】（1）根据题意，得

或，

解得；

（2）根据题意，得

或，

解得x＜或x＞2；

（3）根据题意，得

，

解得x＝2；

（4）根据题意，得

3﹣4x＝0，

x＝．

【点睛】本题考查了分数的取值范围，分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为正数，则分子、分母同号；分式的值为负数，则分子、分母异号．

17．当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？

（1）；（2）；（3）；（4）．

【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，．

【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；

（2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；

（3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；

（4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可．

【详解】（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或．

（2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．

（3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义．

（4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．

【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么．

18．已知分式，回答下列问题．

（1）若分式无意义，求x的取值范围；

（2）若分式的值是零，求x的值；

（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．

【答案】（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．

【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；

（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；

（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．

【详解】解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，

解得：x＝；

（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，

解得：x＝1；

（3）由题意得：①，

此不等式组无解；

②，

解得：＜x＜1．

∴分式的值是正数时，＜x＜1．

【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．

19．已知分式

（1）当x取什么值时，分式有意义？

（2）当x取什么值时，分式为零？

（3）当x取什么值时，分式的值为负数？

【答案】（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3

【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案．

（2）根据分式值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零．

（3）根据分子和分母异号时值为负数．

【详解】（1）∵分式有意义，∴x+30，∴x-3，∴当x-3时，分式有意义．

（2）∵分式.的值为零，∴2-18=0且x+30，∴x=3，∴当x=3时，分式为零．

（3）∵=2（x-3），∵分式. 的值为负数，∴2（x-3）0且x+30

    ∴x＜3且x≠－3，∴当x＜3且x≠－3时，分式. 的值为负数．

【点睛】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式有意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为正数和负数的条件是解题关键．