专题30 圆篇-备战2023年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）

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专题30 圆
考点一：垂径定理
知识回顾


1. 圆的定义：
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
2. 与圆有关的概念：
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3. 垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
4. 垂径定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
微专题


1．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　 　m．

【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．

2．（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　 　．
【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连接OA，

∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM＝，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝．
综上所述，AC的长为4或2．
故答案为：4或2．
3．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 　 　．

【分析】根据已知条件证得△AOD≌△BCD（SAS），则BC＝OA＝7．
【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，

∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
故答案为：7．
4．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 　 　厘米．

【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 　 　．

【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB＝2AD＝2＝2＝2．
故答案为：2．

6．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 　 　.（结果保留π）

【分析】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，
∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD＝BD＝AB＝（AC+BC）＝×（11+21）＝16，
∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，
在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，
∴S⊙O＝π×OB2＝400π，
故答案为：400π．

7．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 　 　千米．

【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：作OK⊥BC，则∠BKO＝90°，
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∵∠B＝∠AOB＝28°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
∴BK＝OB×cosB≈6400×0.88＝5632，
∴北纬28°的纬线长C＝2π•BK
≈2×3×5632
＝33792（千米）．
故答案为：33792．

8．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是 　 　．

【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得，
∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，
故答案为：90°．

考点二：圆周角定理：
知识回顾


1. 圆心角、弦以及弧之间的关系：
①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
2. 圆周角的定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3. 圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4. 圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5. 圆的内接四边形：
①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
微专题


9．（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 　 　．
【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．
【解答】解：如图，

∵OA＝OC＝1，AC＝，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AD'C＝135°，
故答案为：45°或135°．
10．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 　．

【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接AC，

∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），
所以圆形镜面的半径为cm，
故答案为：cm．
11．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝　 　度．

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
12．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝　 　°．

【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．
【解答】解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案为：62．
13．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是 　 　．

【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD＝∠BOD，进而得出∠AOD＝60°，由圆周角定理得出∠APD＝∠AOD＝30°，得出答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，
故答案为：30°．
14．（2022•徐州）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝　 　．

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
故答案为：72°．
15．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 　 　．

【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°．
16．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 　 　．

【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
17．（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝　 　°．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．


考点三：切线
知识回顾


1. 点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为，点到圆心的距离，则有：
①点在圆外⇔
②点在圆上⇔
①点在圆内⇔
2. 三角形的外接圆与外心：
经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心。
3. 直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点。直线和⊙O相离⇔。
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和⊙O相切⇔。
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线。直线和⊙O相交⇔。
4. 切线的性质：
①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。
5. 切线的判定：
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
微专题



18．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 　　．

【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝45°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出⊙O的半径，即可解答．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴AD＝＝＝2，
∴⊙O的半径是1，
故答案为：1．
19．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 　 　cm．

【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ADB＝60°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），
故答案为：3．
20．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 　 　．

【分析】由网格利用勾股定理分别求解OA，OB，OC，OD，OE，根据三角形的外心到三角形顶点的距离相等可求解．
【解答】解：由图可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
21．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 　 　．

【分析】先连接AD，BD，然后根据题意，可以求得cos∠ADB的值，再根据圆周角定理可以得到∠ACB＝∠ADB，从而可以得到cos∠ACB的值．
【解答】解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝6，BD＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴cos∠ADB＝＝＝，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴cos∠ACB的值是，
故答案为：．
22．（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 　 　度．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根据切线的性质可得∠BAD＝90°，即可求解．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∵AD与⊙O相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．
故答案为：35．
23．（2022•衢州）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC．若∠A＝40°，则∠C的度数为 　 　．

【分析】连接OB，先根据切线的性质求出∠AOB，再根据OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OB．

∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC，
∴∠C＝25°．
故答案为：25°．
24．（2022•盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝　 　°．

【分析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE＝55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠OAD＝90°，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，
∴∠C＝∠E＝35°，
故答案为：35．
25．（2022•上海）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 　 　．
【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：如图，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当⊙O过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即CG＝CF＝DE，此时⊙O最大，
过点O分别作弦CG、CF、DE的垂线，垂足分别为P、N、M，连接OC、OA、OB，
∵CG＝CF＝DE，
∴OP＝OM＝ON，
∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝BC，
∴AC＝BC＝×2＝，
由S△AOC+S△BOC+S△AOB＝S△ABC，
∴AC•OP+BC•ON+AB•OM＝S△ABC＝AC•BC，
设OM＝x，则OP＝ON＝x，
∴x+x+2x＝×，
解得x＝﹣1，
即OP＝ON＝﹣1，
在Rt△CON中，OC＝ON＝2﹣，
故答案为：2﹣．

26．（2022•泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 　 　°．

【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，求出∠AOP＝64°，由圆周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．
【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，

∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，
∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，
∵点C在上，且与点A、B不重合，
∴∠C＝∠D＝32°，
故答案为：32．
27．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　 ．

【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，
∵圆与AC相切于点A．
∴OA⊥AC，
由题意可知：D点位置分为两种情况，
①当∠CAD为90°时，此时D点与O点重合，设圆的半径＝r，
∴OA＝r，OC＝4﹣r，
∵AC＝2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，
解得：r＝，
即AD＝AO＝；
②当∠ADC＝90°时，AD＝，
∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，
∴AD＝，
综上所述，AD的长为或，
故答案为：或．
28．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　 　cm．

【分析】连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，

∵长边与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．
设⊙O的半径为rcm，
则OA＝OB＝rcm，
∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
解得：r＝．
故答案为：．
29．（2022•湖北）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：
①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为⊙O的切线．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

【分析】根据题意可得AB是CD的垂直平分线，从而可得AD＝AC，BD＝BC，再利用等腰三角形和平行线的性质可得CD平分∠BCE，即可判断①；根据圆内接四边形对角互补和平角定义可得∠DEB＝∠ACB，再利用SSS证明△ADB≌△ACB，然后利用全等三角形的性质可得∠ADB＝∠ACB，从而可得∠DEB＝∠ADB，即可判断②；根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得△AEF与△ABE不相似，即可判断③；连接OB，交EC于点H，利用①②的结论可得BE＝BC，从而可得＝，然后利用垂径定理可得∠OHE＝90°，最后利用平行线的性质可求出∠OBD＝90°，即可解答．
【解答】解：∵点C与点D关于AB对称，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AD＝AC，BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵BD∥CE，
∴∠BDC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠BCD，
∴CD平分∠BCE；
故①正确；
∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB+∠AEB＝180°，
∵∠AEB+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝∠ACB，
∵AD＝AC，BD＝BC，AB＝AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠ADB＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ADB，
∴BD＝BE，
故②正确；
∵AC≠AE，
∴≠，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，
故③不正确；
连接OB，交EC于点H，

∵BD＝BE，BD＝BC，
∴BE＝BC，
∴＝，
∴OB⊥CE，
∴∠OHE＝90°，
∵BD∥CE，
∴∠OHE＝∠OBD＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BD为⊙O的切线，
故④正确；
所以给出上面四个结论，其中所有正确结论的序号是：①②④，
故答案为：①②④．
考点四：三角形的内切圆与内心
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1. 相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦交于点，则。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若是直径，垂直于点，则。
2. 弦切角定理：
（1）弦切角的定义：如图像∠ACP这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。等于这条弧所对的圆周角。即∠PCA=∠PBC。
3. 切线长定理：
（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4. 切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC=PA•PB
由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
5. 三角形的内切圆与内心：
内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
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30．（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） 　 　．

【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．
【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，
∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，
∴四边形CEOD是正方形，
∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，
∴＝，
解得OD＝OE＝OF＝1，
∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，
故答案为：5﹣π．

31．（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 　 　．

【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．
【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，

∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，
当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，
∴∠BCO＝∠COD，
∴BC∥DE，
∴∠CBO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
则DE＝CD+BE，
设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，
在Rt△ABC中，AB＝＝10，
∴，即，
解得，
∴CD＝2，
过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，

∵点O为△ABC的内心，
∴OD＝OE′，
在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，
，
∴△ODD′≌△OE′E（ASA），
∴OE＝OD′，
∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，
在△AD′E′和△ABC中，
，
∴△AD′E′∽△ABC，
∴，
∴，
解得：AD′＝，
∴CD′＝AC﹣AD′＝，
故答案为：2或．
32．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 　 　cm2．（结果用含π的式子表示）

【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，
∴S扇形DOE＝＝（cm2），
故答案为：．
33．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　 　．

【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．
【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE＝OD＝3＝，
∴AC+BC﹣AB＝6，
∴AC+BC＝AB+6，
∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，
∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，
而BC2+AC2＝AB2，
∴2BC×AC＝12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴（BC﹣AC）2＝49，
∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，
把①代入②中得
AB2﹣12AB﹣85＝0，
∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，
∴AB＝17（负值舍去），
∴大正方形的面积为 289．
故答案为：289．




考点五：正多边形与圆

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1. 正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2. 正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
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34．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为 　 　厘米．

【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．
【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），
∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），
故答案为：54．



35．（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝ 　度．

【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．
【解答】解：设正六边形的边长为1，
正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∵AB＝BC，∠B＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∵∠BAF＝120°，
∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，
如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），
∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝，
∴AM＝＝＝，
∴AC＝2AM＝，
∵tan∠ACF＝＝＝，
∴∠ACF＝30°，
故答案为：30．




36．（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为 　 　（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 　 　．

【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝＝108°，
∴S扇形＝＝；
又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，
∴圆锥底面直径为，
故答案为：；．
37．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为 　 度．

【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．
【解答】解：如图，连接OA，

正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，
正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，
∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．
故答案为：12．
38．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为 　 　．

【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB，即可求出答案．
【解答】解：连接OE、OB，
由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，
∴EA＝EO，
∵OA＝OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝30°，
∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB
＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB
＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB
＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB
＝+﹣
＝．
故答案为：．

39．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 　 　．

【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．
【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，

∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，
∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴OA＝OF＝AF＝6，
∵AM＝2，
∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，
∵MH⊥OF，
∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，
∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，
∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，
∴OM＝＝＝2，
∴NO＝OM＝2，
∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，
故答案为：4．