北师大版七年级数学下册 4.1.3 三角形的中线、角平分线 教案

第四章      三角形

1 认识三角形

课时3  三角形的中线与角平分线

【知识与技能】

(1)会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，并理解它们的含义.

(2)通过画图，了解三角形的三条高所在的直线交于一点；三角形的三条中线交于一点——三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点.

(3)了解三角形的稳定性.

【过程与方法】

经历折纸、画图等实践活动，认识三角形的高、中线与角平分线.

【情感态度与价值观】

培养学生的动手实践能力.

(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.

(2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一点.

(3)了解三角形的稳定性.

(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.

(2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一点.

(3)了解三角形的稳定性.

多媒体课件、直角三角尺、硬纸条、钉子

教师提出：同学们，我们以前学习过“过一点画已知直线的垂线”，谁能说一说是怎样画的？(教师可让几名同学到黑板上演示一下，其他学生在作业本上画.教师要注意强调画法的规范性)

教师进一步提出问题：过三角形的一个顶点如何画三角形的高？这节课我们就来研究这个问题(教师板书）

探究1：三角形的高

教师让学生动手画出一个锐角三角形的高，然后找学生描述三角形的高的画法与定义.教师总结三角形的高的定义：

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.如图11-1.2-1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，所以AD是△ABC的一条高.

教师引导学生注意垂直符号的书写.

接着，教师提出问题：想一想，一个三角形有几条高？

然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，要求学生作出它们的高，最后同学间进行交流.

教师点评学生的作法后出示投影(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以及它们的高，如图11-1.2-2)，并出示结论：

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高.

教师继续让学生观察：每个三角形的三条高有什么位置关系？小组之间进行讨论、交流，然后归纳结果：

锐角三角形的三条高在三角形的内部，相交于一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，三条高不相交，但三条高所在的直线相交于三角形外一点.

教师进一步让学生练习：教材P5练习第1题.

探究2：三角形的中线

教师提问：你能画一条线段将三角形的面积平分吗？

教师先让学生思考、尝试，再引出这条线段就是三角形的另一条特殊的线段——三角形的中线.教师紧接着指出三角形的中线的定义：

连接三角形顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分，最后教师点评并说明：中线可以把这个三角形分成两个等底等高的三角形，所以这两个三角形的面积相等.接着让学生任意画出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，然后分析这三条中线的位置关系，同桌之间互相讨论、交流.(教师多让几位同学发言，分别指出他们画出的是什么样的三角形，这样三角形的任意性就有了)

师生共同总结：任意三角形的三条中线都交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.教师出示几何语言表述：

(由中线推线段相等)如图11-1.2-3，AD是△ABC的边BC上的中线(已知)，所以BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点.

图11-1.2-3(由线段相等推中线)如图11-1.2-3，因为BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点(已知)，所以线段AD为边BC上的中线(三角形的中线的定义).

最后教师将这部分知识进行归纳：

(1)一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，相交于一点.

(2)三角形的中线是一条线段.

(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

探究3：三角形的角平分线

教师指出三角形的角平分线的定义，然后仿照三角形的高或中线的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题.学生动手操作，然后交流、探讨，师生共同归纳总结：

(1)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点.

(2)三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线.

最后教师强调：三角形的高、中线、角平分线都是线段.

教师出示例题：

如图11-1.2-4，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.

(1)画出△BED中BD边上的高;

(2)若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离.

教师带领学生进行分析，让学生自主完成第(1)问，教师给出第(2)问的规范解答过程.

分析：(1)△BED是钝角三角形，BD边上的高在BD边的延长线上.(2)先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再求出点E到BC边的距离即可.

解：(1)如图11-1.2-5，EF即为△BED中BD边上的高.

(2)因为AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，S△ABC=60,

所以S△BED=12S△ABD=14S△ABC=15.

因为BD=5，所以EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，

即点E到BC边的距离为6.

教师进一步让学生练习：教材P5练习第2题.

探究4：三角形的稳定性

教师把学生分成四人一组，发给他们三张硬纸条、三枚钉子，分组合作探究实验.

教师出示实验(投影)：如图11-1.2-6，把三张硬纸条用钉子钉成一个三角形，然后扭动它，它的形状会改变吗？这说明什么问题？

(教师巡回检查，并指导，指定个别同学归纳结论)

师生共同总结：三角形具有稳定性.

教师让学生举手发言：在现实生活中，三角形的稳定性有哪些方面的应用呢？举例子说明. (对于学生的发言，只要符合实际，教师都要给予肯定)

图11-1.2-7表示其中的一些例子.

教师接着类比三角形的方法，与学生一起探究四边形、五边形是否具有稳定性，并且寻找使四边形、五边形具有稳定性的方法，最后师生共同总结：三角形的稳定性是三角形特有的性质，除三角形以外的多边形都不具有稳定性，要使其稳固，可以引入三角形.三角形在生产、生活中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状.

教师进一步让学生练习：教材P7练习.

1.三角形的高、中线、角平分线的定义及画法.

2.运用三角形的高、中线、角平分线可得到相等的线段和相等的角.

3.三角形具有稳定性，多边形不具有稳定性.

【正式作业】教材P8习题11.1第3，4，8题