2023中考数学一轮复习专题02 二次根式(精讲学案）（通用版）

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第02讲 二次根式（精讲）



1. 了解二次根式的概念，借助现实情境了解代数式
2. 了解二次根式乘除运算法则，会进行简单的运算
3. 了解最简二次根式的概念
4. 了解二次根式的加减运算法则，会进行有关的简单运算


























知识点精析
（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.


考点1：二次根式有意义的条件


1. （2021•内江）函数中，自变量的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0计算即可．
【解答】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
2. （2021•襄阳）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
3. （2021•日照）若分式有意义，则实数的取值范围为 　且　．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再得出答案即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须且，
解得：且，
故答案为：且．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出且是解此题的关键．
4. （2021•徐州）若有意义，则的取值范围是 　　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【解答】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
5. （2021•营口）若代数式有意义，则的取值范围是 　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．














【例题1】 （2021春•西宁期末）下列各式中，一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据平方根、算术平方根，二次根式以及二次根式的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：．因为没有平方根，因此选项不符合题意；
表示的立方根，因此选项不符合题意；
．因为，因此选项符合题意；
．当时，负数没有平方根，因此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次根式的定义，理解二次根式的定义是解决问题的关键．
【例题2】 （2021春•连云港期末）若是二次根式，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查二次根式．解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．
【例题3】 （2021秋•洛宁县月考）若实数，满足，则的值是　　
A．1 B． C．4 D．6
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出，代入关系式中求出，从而得到的值．
【解答】解：，，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
【例题4】 （2021秋•上蔡县月考）在函数中，自变量的取值范围是　　
A． B．且 C．且 D．且
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
【例题5】 （2021•恩平市模拟）已知，则的值为　　
A．6 B． C．4 D．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：，而，，
，
解得，
，
解得，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
【例题6】 （2021秋•普宁市期中）若，则a﹣b的算术平方根为 　3　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而得出b的值，最后利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：（1）∵与都有意义，
∴，
解得：a＝3，
∴b＝﹣6；
∴a﹣b＝3﹣（﹣6）＝9，
∴a﹣b的算术平方根是：3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，能够正确得出a，b的值是解题的关键．
【例题7】 （2021秋•宝山区校级期中）使等式成立的条件时 　﹣3≤x＜2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件解决此题．
【解答】解：由题意得：x+3≥0且2﹣x＞0．
∴x≥﹣3且x＜2．
∴﹣3≤x＜2．
故答案为：﹣3≤x＜2．
【点评】本题主要考查二次根式有意义条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决本题的关键．
















【变式1】 （2021春•淮北月考）若是二次根式，则的值不可能是　　
A． B． C．0 D．1
【分析】根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，从而得出答案．
【解答】解：是二次根式，
，
解得，
四个选项中不可能取到选项中的1，
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的定义，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
【变式2】 （2021春•林州市月考）在式子，，，，和中，是二次根式的有　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式进行分析即可．
【解答】解：式子，，，是二次根式，共4个，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．
【变式3】 （2021春•天津期中）如果是二次根式，那么应满足的条件是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可知，解出的范围即可．
【解答】解：由题意可知：，
．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
【变式4】 （2021春•恩施市期末）成立的条件是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、二次根式的乘法运算法则得出关于的不等式组，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法运算，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键．
【变式5】 （2021春•饶平县校级期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
在数轴上表示为：，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义和分式的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
【变式6】 （2021秋•杨浦区期中）如果有意义，那么实数的取值范围是 　　．
【分析】根据所给二次根式含有分母，除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．进而可得结果．
【解答】解：如果有意义，那么实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握所给式子中含有分母，除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【变式7】 （2021秋•淮安区校级月考）已知实数满足，那么的值是 　2022　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
则，
整理得：，
，
，
原式，
故答案为：2022．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．













知识点精析
最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
考点2：最简二次根式


1. （2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
2. （2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式，符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意；
、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
3. （2020•西宁）下列二次根式中，最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式；
、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．























【例题1】 （2021秋•长清区期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
【例题2】 （2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
故选：．
【点评】此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
【例题3】 （2021春•靖宇县期末）二次根式、均为正数）化成最简二次根式，结果为 　　．
【分析】根据计算即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．
【例题4】 （2021春•永嘉县校级期中）化简成最简二次根式：　　；　　．
【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可．
【解答】解：（1）原式，
故答案为：；
（2）原式．
故答案为：．
【点评】此题考查的是二次根式，掌握其性质概念是解决此题关键．
【例题5】 （2019秋•宝山区校级月考）将式子化为最简二次根式　　．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
原式

故答案为：
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．








【变式1】 （2021秋•苏州期中）下列二次根式中最简二次根式是（　　）
A． B．0.1 C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B．0.1不是二次根式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
【变式2】 （2021秋•浦东新区期中）下列根式中，不是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可．
【解答】解：、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、不是最简二次根式，故本选项符合题意；
、是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【变式3】 （2020秋•新蔡县期末）若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是　　．
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：二次根式是最简二次根式，
，
，
，
取整数值，
当时，二次根式为，不是最简二次根式，不合题意；
当时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意；
若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．
【变式4】 （2021秋•平昌县校级月考）化简：化成最简二次根式为　　．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，
，
故答案为：．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．






知识点精析
（1）双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0；
②二次根式的值是非负数，即≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.

(2)两个重要性质：
①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；
(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)．
考点3：二次根式的性质


1. （2021•娄底）2、5、是某三角形三边的长，则等于　　
A． B． C．10 D．4
【分析】直接利用三角形三边关系得出的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：、5、是某三角形三边的长，
，
故，


．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．


2. （2021•荆门）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，二次根式化简及整式乘法分别计算求解．
【解答】解：．，错误，不满足题意．
，错误，不满足题意．
．，错误，不满足题意．
．，正确，满足题意．
故选：．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、二次根式的化简、整式的运算，解题关键是熟练掌握各种运算的方法．
3. （2021•聊城）下列各数中，是负数的是　　
A． B． C． D．
【分析】：根据绝对值运算法则进行计算即可得出答案；
：根据二次根式的性质进行计算即可得出答案；
：根据零指数幂法则进行计算即可得出答案；
：先根据一个数平方的计算方法求出，再求根据相反数的方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：：因为，所以选项不符合题意；
：因为，所以选项不符合题意；
：因为，所以选项不符合题意；
：因为，所以选项符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查绝对值、零指数幂、相反数的运算，熟练应用相关法则进行计算是解决本题的关键．
4. （2020•呼伦贝尔）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是　　

A． B． C．1 D．
【分析】根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：，
，，
原式．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．























【例题1】 （2021秋•北碚区校级期中）化简的结果为　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件进行化简即可．
【解答】解：当，时，
原式

．
当，时，
原式

．
故选：．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键．
【例题2】 （2021秋•高新区校级月考）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是　　

A． B． C．1 D．
【分析】根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：，
，，
原式．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．
【例题3】 （2021秋•下城区校级期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简+|a+c|+﹣|c|＝　c　．

【分析】利用数轴表示数的方法得到c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，再利用二次根式的性质、绝对值的意义和立方根的定义得到原式＝﹣（b﹣a）﹣（a+c）+b+c+c，然后去括号合并即可．
【解答】解：根据题意得c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，
所以原式＝﹣（b﹣a）﹣（a+c）+b+c+c
＝﹣b+a﹣a﹣c+b+c+c
＝c．
故答案为：c．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
【例题4】 （2021秋•北碚区校级期中）三边分别为、、，为斜边，则代数式的化简结果为 　　．
【分析】将代数式化简为，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：三边分别为、、，为斜边，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，根据勾股定理和二次根式的性质进行化简是解题关键．
【例题5】 （2021秋•浦东新区校级月考）设，其中为正整数，，则　　．
【分析】先把化简求出的值，再根据为正整数，在0，1之间求出符合条件的的值，求出对应的的值，代入原式进行计算即可．
【解答】解：．
．
为正整数，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值及估算无理数的大小，根据题意求出符合条件的、的值是解答此题的关键．
【例题6】 （2020秋•雁江区期末）已知，化简　　．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：，，
，
原式，
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
















【变式1】 （2021秋•宝山区月考）若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
【变式2】 （2021秋•隆昌市校级期中）当时，化简结果是　　
A． B．3 C． D．5
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：当时，，，



，
故选：．
【点评】本题考查二次根式的化简，理解最简二次根式的意义和二次根式的化简方法是正确解答的前提．
【变式3】 （2021春•越秀区期中）如图，字母的取值如图所示，化简：　4　．

【分析】先利用数轴表示数的方法得到，再利用二次根式的性质得原式，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：由数轴得，
所以原式


．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类的关键．也考查了数轴．
【变式4】 （2021春•阳东区期末）如图，数轴上点表示的数为，化简　2　．

【分析】根据进行二次根式化简，再去绝对值合并同类项即可．
【解答】解：原式，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握．
【变式5】 （2021春•惠州期末）实数、在数轴上位置如图，化简：　　．

【分析】根据绝对值与二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，，
原式

，
故答案为：
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．




知识点精析
二次根式的加减法：先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．

二次根式的乘除法：
（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
二次根式的混合运算：运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．
考点4：二次根式的运算


1. （2021•绵阳）计算的结果是　　
A．6 B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：


，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
2. （2021•黑龙江）下列运算中，计算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】选项利用合并同类项法则判断得出答案；
选项利用积的乘方运算法则计算得出答案；
选项利用完全平方公式计算得出答案；
选项利用二次根式除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：．与，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
，故此选项符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了合并同类项、积的乘方运算、完全平方公式、二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. （2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是　　
A．与 B．与 C．与 D．与
【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．
【解答】解：、和不是同类二次根式，本选项不合题意；
、与不是同类二次根式，本选项不合题意；
、与不是同类二次根式，本选项不合题意；
、，是同类二次根式，本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
4. （2021•重庆）计算的结果是　　
A．7 B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘法法则和减法法则运算．
【解答】解：原式


．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5. （2021•包头）若，则代数式的值为　　
A．7 B．4 C．3 D．
【分析】利用条件得到，两边平方得，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，
，
，即，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
6. （2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为　　

A． B． C．18 D．
【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；
【解答】解：，，．
，
的面积；
故选：．
【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．



【例题1】 （2021春•武安市期末）若□，则□中是　　
A．2 B． C．3 D．
【分析】根据二次根式的运算性质即可得到结论．
【解答】解：因为□，
所以□，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式，熟记二次根式的运算性质是解题的关键．
【例题2】 （2021春•南充期末）计算的结果正确的是　　
A．1 B．2.5 C．5 D．6
【分析】先化简原式，再运算即可求解．
【解答】解：


，
故选：．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【例题3】 （2021春•海淀区校级期末）化简结果正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】原式分子分母乘以有理化因式，计算即可得到结果．
【解答】解：原式
．
故选：．
【点评】此题考查了分母有理化，找出原式的有理化因式是解本题的关键．
【例题4】 （2021秋•晋江市期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为　　
A．2019 B． C．2023 D．
【分析】根据同类二次根式的意义得出，进而求出的值即可．
【解答】解：最简二次根式与可以合并，即最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故选：．
【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，理解同类二次根式的意义是解决问题的关键．
【例题5】 （2016•德州）化简的结果是　　．
【分析】先把分子分母都乘以，然后约分即可．
【解答】解：原式
．
故答案为．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．
【例题6】 （2018•烟台）与最简二次根式是同类二次根式，则　2　．
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于的方程，解出即可．
【解答】解：与最简二次根式是同类二次根式，且，
，解得：．
故答案为2．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【例题7】 （2021•哈尔滨）计算的结果是 　　．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
【例题8】 （2021•威海）计算的结果是 　　．
【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式

．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．
【例题9】 （2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 　4　．
【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．
【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得；
故答案为：4．
【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．
【例题10】 （2021秋•闵行区校级期中）若二次根式与是同类二次根式，则　2或3　．
【分析】根据同类二次根式的定义得出，再求出方程的解即可．
【解答】解：二次根式与是同类二次根式，
，
解得：或3，
经检验或3都符合题意，
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
【例题11】 （2021•汉寿县模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为　　

A．14 B．20 C． D．
【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；
【解答】解：，，．
，
的面积；
故选：．
【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算．














【变式1】 （2021•铜仁市）计算　3　．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式


．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．
【变式2】 （2019•菏泽）已知，那么的值是　4　．
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：4
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．
【变式3】 （2021秋•虹口区校级期中）计算：×＝　3　．
【分析】根据二次根式的乘法法则：＝（a≥0，b≥0）计算．
【解答】解：原式＝＝3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法则，最后的化简是解题关键．
【变式4】 （2021秋•普陀区校级月考）分母有理化：　　．
【分析】根据平方差公式进行二次根式的分母有理化计算．
【解答】解：原式

，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式分母有理化计算，掌握平方差公式的结构是解题关键．
【变式5】 （2021秋•宝山区校级月考）分母有理化：　　．
【分析】分子分母都乘，化简即可得出答案．
【解答】原式

，
故答案为：．
【点评】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解题的关键．
【变式6】 （2021春•莆田期末）分母有理化：　　．
【分析】利用平方差公式将原式进行分母有理化，从而进行计算．
【解答】解：原式


，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的分母有理化计算，掌握平方差公式的结构特点是解题关键．
【变式7】 （2021秋•宝山区月考）已知最简二次根式和是同类二次根式，则　　．
【分析】根据同类二次根式的概念列方程组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，解二元一次方程组，理解同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式是解题关键．
【变式8】 （2021春•饶平县校级月考）如果最简二次根式和是同类二次根式，则　0　．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，根指数为2，列出方程求解．
【解答】解：最简二次根式和是同类二次根式，
且，
解得，，
．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义．解题的关键是掌握同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【变式9】 （2021春•泰山区期末）已知，为实数，且，则的值是 　9　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，求出，进而求出，根据算术平方根的概念计算即可．
【解答】解：由题意得：，，
解得：，
，
则，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式10】 （2021秋•洛宁县月考）如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的周长为 　　．

【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到阴影部分的周长．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
则两个小正方形的边长分别是，．
阴影部分的周长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题的关键．
【变式11】 （2021秋•孝南区月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为　 　　．
【分析】把，代入得到，然后求出的取值范围，再代入公式得到的表达式，利用配方法求最值即可．
【解答】解：，，，
，
，
不妨设，则，
解得：，
，
，
，
，



，
，
当时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了配方法的应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．