2022-2023学年安徽省合肥市第一六八中学高一上学期期中数学试题

合肥一六八中学2022级高一第一学期学情调研

数学试题

一、选择题（共8小题）

1．已知集合，，则子集的个数为（）．

A．2 B．4 C．6 D．8

2．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（）．

（）A． B． C． D．

3．设，，，则a，b，c的大小关系是（）．

A． B． C． D．

4．设M、P是两个非空集合，称集合为集合M与P的差集，现定义如下：，则（）．

A．P B． C．M D．

5．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（）．

A． B． C． D．

6．为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前（）分钟进行消毒工作．

A．25 B．30 C．45 D．60

7．下列命题中，正确命题的个数为（）．

①当时，的最小值是5；

②与表示同一函数；

③函数的定义域是，则函数的定义域为；

④已知，，且，则最小值为．

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（）．

A． B．

C．  D．

二、多选题（共4小题）

9．设全集，集合，，则（）．

A．  B．

C． D．

10．下列表达式的最小值为2的有（）．

A．当时， B．当时，

C．  D．

11．已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（）．

A． B． C． D．

12．已知定义在R上的函数，满足：

①；

②对任意实数，，都有；

③存在大于零的常数a，使得，且当时，，．

下列说法正确的是（）．

A．

B．当时，

C．函数在R上的最大值为2

D．对任意的，都有

三、填空题（共4小题）

13．命题“，”的否定是__________．

14．已知函数，且，则的值为__________．

15．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．

16．设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为__________．

四、解答题（共5小题）

17．计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

18．设全集为R，集合，．

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）在①；②；③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

19．（1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）已知条件，条件，且p是q的一个必要不充分条件，求实数a的取值范围．

20．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本（万元），若年产量不足80千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于80千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

21．已知函数（且）经过定点A，函数（且）的图象经过点A．

（1）求函数的定义域与值域；

（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．

22．已知函数，，其中．

（1）若在上的最大值为，求实数a的值；

（2）设函数，若对任意，总存在唯一的，使得成立，求实数a的取值范围．

高一数学期中调研解析

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题）

1．【分析】先求出B，再利用集合的子集个数为个，n为集合中元素的个数，可得结论．

【解答】解：集合，，

则集合中含有3个元素，

故集合的子集个数为．

故选：D．

【点评】本题主要考查两个集合的交集及其运算，利用集合的子集个数为个，n为集合中元素的个数，属于基础题．

2．【分析】易知，“，使”是真命题，再分和两种情况，根据一元二次不等式与二次函数之间的联系，得解．

【解答】解：由题意知，“，使”是真命题，

当，即时，不等式可化为，符合题意；

当，即时，有，解得，

综上，实数m的取值范围为．

故选：C．

【点评】本题考查存在命题的否定，不等式恒成立的条件，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

3．【分析】利用幂函数的单调性求解．

【解答】解：∵，，，

在上单调递增，∴，

故．

故选：A．

【点评】本题主要考查了利用幂函数的单调性比较大小，是基础题．

4．【分析】由条件中差集的定义便可表示，然后用venn图表示集合M，P，由图形即可得出答案．

【解答】解：根据差集的定义，，用venn图表示集合M，P的关系如下图：

阴影部分表示，∴．

故选：B．

【点评】考查对差集定义的理解，描述法表示集合，借助venn图解决集合问题的方法．

5．【分析】由题意知函数是函数的反函数，根据反函数的定义求出，再由复合函数的单调性即可求出的单调减区间．

【解答】解：由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数，

所以，即，

令，解得，

又是减函数，在上增，在上减，

由复合函数的单调性知，单调减区间为．

故选：C．

【点评】本题考查复合函数的单调性及反函数的定义，解答的关键是熟练掌握反函数的定义及复合函数单调性的判断规则，本题是一个易错题，易因为忘记求函数的定义域导致误选A．

6．【分析】由题意求得函数解析式，求解空气中每立方米的含药量逐渐下降至0.5的时间t得答案．

【解答】解：∵函数图象过点，分别代入函数和（a为常数，），

求得，，

∴，

当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至；

当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，取，

解得小时＝45分钟，

∴学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作．

故选：C．

【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查分段函数的应用，正确理解题意是关键，是中档题．

7．【分析】对于①：由得，利用基本不等式可得，即可判断①是否正确；

对于②：分析与的定义域和对应关系是否一致，即可判断②是否正确；

对于③：分母不能为0，则，即可判断③是否正确；

对于④：，

由，得，利用基本不等式，即可判断④是否正确．

【解答】解：对于①：因为，所以，

所以，所以，

所以，所以，

所以无最小值，最大值为1，故①错误；

对于②：，，

因为与定义域，解析式一致，故②正确；

对于③：分母不能为0，所以，故③错误；

对于④：

因为，所以，

原式

，故④正确．

故选：B．

【点评】本题考查基本不等式的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

8．【分析】令，，有一解，

，，有两解，

，有3解，

得到有两不相等的实根，，

且，或，成立，构造函数列出不等式组求解即可．

【解答】解：令，，有一解，

，，有两解，

，有3解，

所以有两不相等的实根，，

且，或，成立，

令，，或，

解得．

故选：A．

【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

二、多选题（共4小题）

9．【分析】先解分式不等式求出集合A，B，再根据集合的基本运算即可求解．

【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

A，∵，∴A错误，

B，∵，∴B正确，

C，∵，∴C错误，

D，∵，∴D正确，

故选：BD．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，分式不等式的解法，比较基础．

10．【分析】根据基本不等式的性质判断即可．

【解答】解：对选项A，当a，b均为负值时，，故最小值不为2；

对选项B，因为，所以a，b同号，

所以，所以，所以，

当且仅，即时取等号，故最小值为2；

对选项C，，当时，取最小值2；

对选项D，，

当且仅当，即时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2．

故选：BC．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

11．【分析】根据函数与方程的关系，可将原问题转化为a、b、c分别为直线和曲线，，的交点的横坐标，从而确定a，b，c的取值范围，再逐一判断选项，即可．

【解答】解：∵函数，，的零点分别为a，b，c，

∴，，，

∴，，，

∴a、b、c分别为直线和曲线，，的交点的横坐标，

∴，，，即选项A正确，B错误；

∴，即选项C错误；

∵，互为反函数，其图象关于直线对称，

∴a与b互为相反数，即，

∴，即选项D正确．

故选：AD．

【点评】本题考查函数与方程的关系，熟练掌握指对幂函数的图象与性质，零点存在性定理是解题的关键，考查转化思想，数形结合思想和运算求解能力，属于中档题．

12．【分析】A．利用赋值法，令和求解判断；

B．令，得到，

再由时，，，得以，求解判断；

C．由求解判断；

D．令，求解判断．

【解答】解：对于A，令，，

即，解得；

令，得，

又因为，所以，所以，A正确；

对于B，令，得，

当时，，，

所以，，

所以，，

故，所以，B错误；

又，知，C正确：

令，，得，

则，D正确．

故选：ACD．

三、填空题（共4小题）

13．，

14．【分析】根据题意，求出函数的表达式，分析可得，由的值，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，

函数，

则有，则，

若，则，

故答案为：．

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题，

15．【分析】先求出，再求解即可；作出函数的图象，利用二次函数的对称性得到，由对数的运算以及函数图象可得，求解即可．

【解答】解：函数，

作出函数图象如图所示，

因为互不相等的实数，，满足，

不妨设，

当时，，图象的对称轴为，所以，

当时，，令，解得，

由图象可知，

所以则的取值范围是．

故答案为：．

【点评】本题考查了分段函数的综合应用，分段函数的求值问题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，分段函数问题的一般解题方法是：数形结合法以及分类讨论法，属于中档题．

16．【分析】构造函数，判断函数为偶函数，利用单调性的定义结合已知条件，确定函数的单调性，将所求解的不等式变形为，然后分和两种情况，分别求解不等式即可得到答案．

【解答】解：令，

因为是定义在上的奇函数，

则，故函数为偶函数，

因为对任意的，，，满足，

则在上为单调递增函数，

故在上为单调递减函数，

因为，则，

所以，

当时，，即，所以，故；

当时，，即，所以，故．

综上所述，不等式的解集为．

故答案为：．

【点评】本题考查了抽象函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断，函数单调性定义的应用，不等式的求解，解题的关键是将不等式进行变形，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．

四、解答题（共5小题）

17．（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．

（2）利用对数的运算性质求解．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

18．【分析】（Ⅰ）求出集合A，B，利用交集和补集定义能求出结果；

（Ⅱ）先推导出，分和两种情况讨论，能求出实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）全集为R，集合，

时，，

∴，

∴．

（Ⅱ）①；②；③，

选择①②③均得到，

当时，，解得；

当时，或，

解得或，∴，

综上，实数a的取值范围是．

【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19．【解答】解：（1）因为不等式的解集为，

所以和2是方程的解，且，

由根与系数的关系知，解得，，

所以不等式可化为，

解得或，

所以该不等式的解集为．

（2）解：由解得，

由得，

当时，可得q：；

当时，可得q：；

当时，可得q：．

由题意得，p是q的一个必要不充分条件，

当时，满足条件；当时，得，

当时，得．

综上，．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．

20．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，

∴x千件商品销售额为万元，

①当时，根据年利润＝销售收入－成本，

∴；

②当时，根据年利润＝销售收入－成本，

∴．

综合①②可得，．

（2）由（1）可知，，

①当时，，

∴当时，取得最大值万元；

②当时，，

当且仅当，即时，取得最大值万元．

综合①②，由于，

∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．

21．【分析】（1）令指数的幂指数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标；将点A的坐标代入函数的解析式，求得a的值，可得函数的解析式，从而求得函数的定义域和值域．

（2）化简的解析式，设，则，由题意，在上有两个零点，再利用二次函数的性质，分类讨论，求得的范围．

【解答】解：（1）令，求得，，故点．

将点A的坐标代入函数，得，则．

从而函数，由，得，

所以，函数的定义域为．

因为，所以，函数的值域为．

（2）由（1）可知，函数

在上有两个零点，

设，则，

因为t为关于x的单调递增函数，所以，在上有两个零点，

等价于函数在上有两个零点．

①当时，由，得，有一个零点，则不合题意．

②当时，由，解得．

③当时，由，求得不等式组无解．

综上所述，的取值范围是．

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，函数的零点，属于中档题．

22．【解答】解：（1），

在上单调递增，在上单调递减；

①当时，当时，，解得：；

②当时，当时，，无解；

③当时，当时，，解得：；

综上所述，或．

（2）①若，由，，

，，

故不可能成立．

②若，当时，，

故在上单调递减，

故；

若2，由时，，

∴在上单调递增，从而，

要使成立，只需成立即可，

由于函数在上单调递增，且，

∴．

若，由时，，

∴在上单调递增，在上单调递减；

从而，

要使成立，只需，且成立即可，

即成立即可，

由得：，，

故当时，恒成立．

综上所述：．