三视图及平面展开图

考点1：投影

分析：认识点光投影和平行光投影，点光一般是灯发出的光，都从一点引出的直线，平行光是太阳发出的光线，作平行线.

例题1：如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（　　）

A．逐渐变短   B．先变短后变长  C．先变长后变短 D．逐渐变长

答案：B

解析：晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．故选B

例题2：如图，在A时测得某树的影长为4 m，B时又测得该树的影长为9 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　   　 m．

答案：6；

解析：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9；易证Rt△EDC∽Rt△FDC，∴DC2=ED•FD，

∴DC2=36，解得DC=6（负数舍去）；故答案为6．

例题3：如图，太阳光线与地面成60°的角，照在地面的一只排球上，排球在地面的投影长是cm，则排球的直径是　   　cm．

答案：21

解析：如图，点A与点B为太阳光线与球的切点，则AB为排球的直径，CD=AB，CE=14cm，在Rt△CDE中，sinE=，

所以CD=14•sin60°=14×=21，即排球的直径为21cm．故答案为21．

考点2：认识几何体的三视图

分析：三视图的基本，看得见的用实线，看不见空心用虚线.

例题1：下列几何体中，其主视图为三角形的是（　　）

A． B． C． D．

解：A，主视图是长方形，错误；B.主视图是正方形，错误；C.主视图是圆，错误；D.主视图是三角形.选D.

例题2：如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

解：从左边看是三个矩形，中间矩形是左右两边是虚线.选B.

考点3：几何题的展开图

分析：得要有一定的想象能力，实在吃力可以动手操作下.

例题1：如图，四个图形是由立体图形展开得到的，相应的立体图形顺次是（　　）

A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B．正方体、圆锥、三棱柱、圆柱

C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D．正方体、圆柱、四棱柱、圆锥

答案：A

例题2：如图1所示，将一个正四棱锥（底面为正方形，四条侧棱相等）的其中四条边剪开，得到图2，则被剪开的四条边有可能是（　　）

A．PA，PB，AD，BC          B．PD，DC，BC，AB 

C．PA，AD，PC，BC          D．PA，PB，PC，AD

解：根据图2中的展开图可知，底面正方形ABCD的左边一个三角形是独立的，据此可知，需剪开图1中的PA，PB，根据正方形右边三个三角形脱离正方形的上下两边可知，需剪开AD，BC，选：A．

例题3：如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（　　）

A． B． C． D．

答案：D

考点4：正方体的展开图

分析：正方体的侧面展开图有11种情况我们要熟悉，还要知道各个面的对面.

口诀为：

例题1：一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（　　）

A．中 B．考 C．顺 D．利

解：由题意可得，右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，那么长方体的下底面共有花数4+6+2+5=17朵．答案选D．

例题2：把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色和花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面有（　　）朵花．

A．15 B．16 C．21 D．17

解：由题意可得，右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，那么长方体的下底面共有花数4+6+2+5=17朵．答案选D．

例题3：如图，下面两个正方体的六个面都按相同规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么黄色的对面是　   　．

解：由图可得与黄色相邻的颜色分别为红、蓝、白、黑，
故与黄色相对的颜色是绿色．
故答案为：绿色．

例题4：有一个正方体，A，B，C的对面分别是x，y，z三个字母，如图所示，将这个正方体从现有位置依此翻到第1，2，3，4，5，6格，当正方体翻到第3格时正方体向上一面的字母是　   　．

解：翻到1时，C与1重合，
翻到2时，B与2重合，
翻到3时，A与3重合，
∵A的对面是x，
∴正方体向上一面的字母是x．
答案为：x．

例题5：如图是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．

（1）填空：a=　   　，b=　   　，c=　   　；

（2）先化简，再求值：5a2b﹣[2a2b﹣3（2abc﹣a2b）+4abc]．

解：（1）3与c是对面；a与b是对面；a与-1是对面．∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数，
∴a=1，b=-2，c=-3．
（2）原式=5a2b-[2a2b-6abc+3a2b+4abc]=5a2b-2a2b+6abc-3a2b-4abc=5a2b-2a2b-3a2b+6abc-4abc=2abc．
当a=1，b=-2，c=-3时，原式=2×1×（-2）×（-3）=12．

考点5：正方体组合图形的三视图

分析：熟悉主视图、左视图和俯视图的关系.

例题1：如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

答案选C

例题2：由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（　　）

A．三个视图的面积一样大      B．主视图的面积最小

C．左视图的面积最小          D．俯视图的面积最小

解：主视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，俯视图有4个小正方形，
因此左视图的面积最小．故选：C．

例题3：如图所示的几何体由7个大小相同的小正方体紧密摆放而成，且每个小正方体的棱长均为1，则这个几何体主视图的面积为　   　．

解：如图所示：几何体主视图为：
，
则这个几何体主视图的面积为：6．故答案为：6．

考点6：由三视图得出正方体的个数

分析：我们在俯视图上填数字，然后数出正方体的个数.

例题1：由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图是（　　）

答案：B

例题2：如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ）

 A．5 B．6              C．7  D．8

解：如图：答案为：1+2+1+1+1=6，选B

例题3：如图是一些大小相同的小正方体组成的几何题得主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体最少快数是________.

解：俯视图如图，，答案是：4

考点7：由三视图描述物体

分析：三视图的特点是长对正，高平齐，宽相等，最好先画出立体图形，然后标上长度.

例题1：已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为　   　．

答案：48+12．

解析：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为2，高为4，故其边心距为，

所以其表面积为2×4×6+2××6×2×=48+12，故答案为：48+12．

例题2：一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（   ）

A．3，　　　B．2，　　　C．3，2　　　D．2，3

答案：C

解析：设底面边长为x，则x2+x2=，解得x=2，即底面边长为2，根据图形，这个长方体的高是3，根据求出的底面边长是2，只能选C，故选C．

例题3：如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，则图形的表面积_________.

答案：180+120（cm）；

解析：根据题意，作出实际图形的上底，如图：AC，CD是上底面的两边．则AC=60÷2=30（cm），∠ACD=120°，作CB⊥AD于点B，那么AB=AC×sin60°=15（cm），所以AD=2AB=30（cm），胶带的长至少=30×6+20×6=180+120（cm）；

考点8：截一个几何体

分析：和解多边形一样，将会有多种情况

例题1：长方体的截面中，边数最多的多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

答案：C

解析：长方体的截面中，边数最多的多边形是六边形．

如：在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，取BC，CD，BB′，DD′，A′B′，A′D′的中点，可以证明它们都在同一平面，那么，这个截面就是六边形．故选C．

例题2：用平面去截五棱柱，在所得的截面中，不可能出现的是（　　）

A．八边形 B．四边形 C．六边形 D．三角形

答案：A

解析：用一个平面去截五棱柱，边数最多的截面是七边形．故选A

例题3：要锻造一件长100 mm，宽60 mm，高25 mm的长方体毛坯刚需要横截面积为50×50 mm2的方钢长度为　   　mm．

答案：60；

解析：设需要截面50×50 mm2的方钢x mm，由题意得：100×60×25=50×50x，解之得：x=60，故答案是：60．

例题4：如图①，从大正方体上截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体．

（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，那么S1与S的大小关系是　   　

A．S1＞S         B．S1=S         C．S1＜S          D．无法确定

（2）小明说：“设图①中大正方体各棱的长度之和为l，图②中几何体各棱的长度之和为l1，那么l1比l正好多出大正方体3条棱的长度．”你认为这句话对吗？为什么？

（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图③是图②中几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正．

解答：（1）设原大正方体的表面积为S，图②中几何体的表面积为S1，那么S1与S的大小关系是相等；

故选：B；

 （2）设大正方体棱长为1，小正方体棱长为x，那么l1﹣l=6x．只有当x=时，才有6x=3，所以小明的话是不对的；

（3）如图所示：．

考点9：求圆锥的侧面积

分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，并且扇形的弧长等于底面周长.母线是扇形的半径.得到公式为S=，其中l是母线长，r为底面半径.

例题1：如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（　　）

A．4π B．6π C．12π D．16π

答案：C；

解析：由圆锥侧面积公式=π×2×6=12π，故选C；

例题2：圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（　　）

A．12π B．15π C．24π D．30π

答案：B；

解析：母线===5，则圆锥的侧面积=π×3×5=15π，故选B；

例题3：已知圆锥的底面面积为9π cm2，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是（　　）

A．18π cm2 B．27π cm2 C．18 cm2 D．27 cm2

答案：18π；

解析：由题意，可知底面半径r==3，则圆锥的侧面积=π×3×6=18π；

考点10：直角三角形旋转成圆锥

分析：直角三角形绕一条直角边旋转后得到一个圆锥，如图，若绕AC旋转一周，则BC为半径，斜边AB为母线，则侧面积S=，绕BC旋转同理.若斜边旋转，则是两个圆锥拼成的图形，半径为斜边上的高，母线分别是AC和BC.

例题1：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（　　）

A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2

C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4

答案：A；
解析：∵l1=2π×BC=2π，l2=2π×AB=4π，∴l1：l2=1：2，∵S1=×2π×=π，S2=×4π×=2π，∴S1：S2=1：2，故选A．

例题2：已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．

解答：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=13cm，AC=5cm，∴BC=12cm；∴r=OC=；

∴S=π×r×AC+π×r×BC=+=；

考点11：通过扇形圆心角求圆锥的底面半径.

分析：圆锥中只有一个等量关系，就是扇形的弧长等于底面周长，我们可以通过公式2πr=，得到r=.还要记住一个结论，半圆围成的圆锥的主视图为正三角形.

例题1：一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（　　）

A．120°     B．180°      C．240°    D．300°

答案：A；

解析：∵S=3S，∴πr=3πr²，即=3r；∵侧面展开后扇形的弧长为，即，解得n=120°；故选A；

例题2：“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是（　　）

A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2

答案：C；

解析：∵OD==4cm，CD=3cm，∴母线长OC==5cm；

S=π×4²+2π×4×6+π×4×5=16π+48π+20π=84π（cm²），故选C；

例题3：若一个圆锥的侧面展开图是半径为12 cm的半圆，则这个圆锥的底面半径是　   　cm．

答案：6；

解析：圆锥的底面周长=半圆的弧长=12π；故圆锥底面半径r==6；

例题4：如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°．

（1）求该圆锥的母线长l；（2）求该圆锥的侧面积．

解答：（1）设母线长为；则4π=，解得=6；∴圆锥的母线长为6cm；

（2）S==π·2·6=12π.

考点12：通过展开图求圆锥最值问题

分析：一定要把圆锥侧面展开，然后连成直线来求最值，若到对边的中点则是展开图的角平分线的中点上.

例题1：如图所示，已知圆锥底面半径r=10 cm，母线长为40 cm．

（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．

（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？

解答：（1）=2π×10，解得n=90．故圆锥侧面展开图的表面积=π×102+π×10×40=500π cm2．

（2）如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，∴AB=20（cm）．

∴甲虫走的最短路线的长度是20cm．

例题2：如图，一只纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成，AB=18，AD=9，r=3．

（1）求纺锤的表面积；   

（2）一只蚂蚁要从C点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长．

解答：（1）S=S1+S2=27π+54π=81π；

（2）∵∴==120°，连接CC′，过点D作CC′的垂线，垂足为E，

则由垂径定理可知CE=C′E，∴CC′=2CE=2CD×sin60°=2×9×=9．

如经左边，同理可得另一最短路线为18．∵9＜9×=9×2=18，∴蚂蚁爬过的最短路线长为．

例题3：如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm、底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A处，求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离．若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜的最短距离．

                                 图1                    图2

解答：如图1：由题意可得；CD=9侧面，AD=12﹣4﹣4=4（cm），∴AC==（cm），

答：蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离为cm，

如图2：将杯子侧面展开，作A关于EQ的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，

则A′D=×18cm=9cm，CQ=12cm﹣4cm=8cm，CD=4cm+8cm=12cm，

在Rt△A′DC中，由勾股定理得：A′C===15（cm），

答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．